常麗麗 薛紅霞 馬婷

摘? 要：學(xué)生自主選擇日常生活中常見的問題，如身高與鞋碼、臂長、小腿長的關(guān)系，上網(wǎng)時(shí)間與學(xué)習(xí)時(shí)間、視力、考試成績的關(guān)系，通過完整的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;真實(shí)問題;數(shù)據(jù)收集;解決問題

數(shù)學(xué)建模是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中指出的四條主線之一，在人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）中設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并給出了確定的課時(shí)要求. 數(shù)學(xué)建模的程序師生容易了解，那么在教學(xué)中怎樣落實(shí)呢？為此我們做了嘗試，該嘗試依托教材，但是又區(qū)別于教材. 變化之處是問題的選擇，變化的原因是為了提高可操作性，特別是便于學(xué)生收集數(shù)據(jù). 下面從教學(xué)設(shè)計(jì)到課題研究成果及反思，再現(xiàn)本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的全過程.

一、單元教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題：預(yù)測本班學(xué)生腳長、衣服尺碼，以及合理玩手機(jī)問題.

建議課時(shí)：2課時(shí). 第1課時(shí)通過小組討論確定研究的課題，撰寫、展示開題報(bào)告，并審核課題研究的可行性;第1課時(shí)課后及第2課時(shí)開展課題研究，形成課題研究報(bào)告;第2課時(shí)課后修改并完善研究報(bào)告.

2. 內(nèi)容解析

數(shù)學(xué)建模指向數(shù)學(xué)外部，旨在用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題. 根據(jù)本班學(xué)生生活中常見的問題，選擇研究學(xué)生腳長、衣服尺碼與身高的關(guān)系，以及玩手機(jī)時(shí)長與學(xué)習(xí)成績的關(guān)系等問題.

提出問題：由于個(gè)人腳長和衣服尺碼主要是由身高決定的，故可以選身高作為自變量. 上衣的尺碼可以用臂長來衡量，褲子的尺碼可以用腿長來衡量，鑒于腿長起點(diǎn)不好把握，最終決定用小腿長來衡量. 預(yù)設(shè)問題最終定為研究身高與腳長、臂長、小腿長的關(guān)系.

收集數(shù)據(jù)：確定好研究變量后收集本班學(xué)生身高、腳長、臂長、小腿長的數(shù)據(jù). 為確保數(shù)據(jù)的真實(shí)準(zhǔn)確，可以多次測量求平均值.

數(shù)據(jù)分析：用Excel軟件作出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，去掉異常點(diǎn)，根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)選擇線性或非線性模型，并用Excel軟件給出的相關(guān)系數(shù)對(duì)擬合效果進(jìn)行評(píng)價(jià). 或者利用統(tǒng)計(jì)案例知識(shí)，即用最小二乘法建立線性回歸模型，用殘差求相關(guān)系數(shù)的大小，對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行評(píng)價(jià).

模型應(yīng)用：研究的最終成果可以為本班學(xué)生購買衣服和鞋子提供數(shù)據(jù)支持.

數(shù)學(xué)建模的選題可以非常豐富. 例如，學(xué)生玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)成績有怎樣的影響，研究方法同上. 經(jīng)歷這些研究過程，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界.

因此，本單元的教學(xué)重點(diǎn)是：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，選擇和建立合適的函數(shù)模型，并應(yīng)用建立的模型解決實(shí)際問題.

二、單元教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 單元教學(xué)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷提出問題、建立數(shù)學(xué)模型解決問題的過程，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系.

（2）以課題的方式開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)做課題，并積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).

2. 目標(biāo)解析

（1）通過觀看情景劇，學(xué)生能提出需要研究的問題：身高與衣服尺碼、玩手機(jī)時(shí)長與學(xué)習(xí)成績等之間的關(guān)系，從而知道數(shù)學(xué)建模是溝通數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)建模能力在數(shù)學(xué)中的重要性.

（2）學(xué)生能針對(duì)實(shí)際問題中隱藏的變量進(jìn)行分析，確定其中的變量：腳長、臂長、小腿長都與身高有關(guān)系，可以將身高作為自變量，其他作為因變量，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，利用模型預(yù)測變量之間的關(guān)系，并解決問題. 對(duì)于玩手機(jī)時(shí)長與學(xué)習(xí)時(shí)長、視力、學(xué)習(xí)成績等的關(guān)系，能預(yù)測變量之間為反比例關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M(jìn)行解決. 對(duì)于這些選題能用課題研究的方式開展，即學(xué)生先選擇課題，撰寫開題報(bào)告，完整經(jīng)歷建?；顒?dòng)，在展示交流后修改、完善研究成果，撰寫結(jié)題報(bào)告.

三、教學(xué)問題診斷分析

本單元教學(xué)的難點(diǎn)之一是學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)建模的經(jīng)歷，不知道如何開展研究. 為此，教師要做好方法指導(dǎo)，幫助學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng). 首先是選題，在課堂上教師要給學(xué)生提供充足的材料，先讓學(xué)生以小組為單位提出自己感興趣的選題，之后小組內(nèi)的成員討論，組間交流. 在此基礎(chǔ)上，教師再指導(dǎo)學(xué)生怎樣選題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題. 在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的過程中，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)建模的步驟適時(shí)予以指導(dǎo). 特別是要用好教材中所給的案例，即“茶水口感最佳時(shí)最適溫度”，讓學(xué)生初步了解如何開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).

本單元教學(xué)的難點(diǎn)之二是函數(shù)模型的選擇. 學(xué)生缺乏發(fā)散的思維意識(shí)和能力，面對(duì)固定選題不善于從多個(gè)角度比較之后再進(jìn)行優(yōu)化選擇. 為此，需要改變學(xué)生處理問題的思維. 具體做法是：分析教材中“茶水口感最佳時(shí)最適溫度”的課題研究，激發(fā)學(xué)生探求不一樣的方法. 例如，有數(shù)值比就有數(shù)值差，曲線模型除了指數(shù)函數(shù)還有反比例函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)等. 因此，可以嘗試從不同的角度、選用不同的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，然后根據(jù)實(shí)際值和預(yù)測值的差距選擇合適的模型，或者用Excel軟件模擬其擬合效果并進(jìn)行評(píng)價(jià).

四、教學(xué)支持條件分析

利用Excel軟件，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理——求平均值、求和;對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析——畫散點(diǎn)圖;對(duì)散點(diǎn)圖中的曲線進(jìn)行模擬——趨勢(shì)線公式;對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)——相關(guān)系數(shù)[R2.]

五、教學(xué)方式設(shè)計(jì)

在教師的帶領(lǐng)下，采用課題研究的方式進(jìn)行.

六、研究規(guī)劃

課前：利用自習(xí)時(shí)間，就“茶水口感最佳時(shí)最適溫度”問題，教師指導(dǎo)學(xué)生先自主閱讀，再進(jìn)行小組討論、展示交流，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的步驟，體會(huì)如何從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并借助數(shù)學(xué)建模解決問題. 學(xué)習(xí)Excel軟件的相關(guān)功能，了解一些統(tǒng)計(jì)常識(shí).

第1課時(shí)：學(xué)生觀看情景劇，思考其中引發(fā)家庭矛盾的原因，提出問題，以此為依據(jù)確定研究的課題，撰寫、展示、交流開題報(bào)告，審核課題研究的可行性.

第1課時(shí)課后作業(yè)：利用自習(xí)時(shí)間，小組合作共同完成課題的研究，并形成研究報(bào)告初稿，教師給出課題研究報(bào)告的修改建議.

第2課時(shí)：以小組為單位展示課題的研究過程、研究成果和研究報(bào)告.

第2課時(shí)課后作業(yè)：根據(jù)教師給出的課題研究報(bào)告修改建議，以及課上展示時(shí)其他小組的質(zhì)疑或建議，對(duì)本小組的研究報(bào)告進(jìn)行修改，并最終完成研究報(bào)告.

七、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 課前準(zhǔn)備工作

（1）了解數(shù)學(xué)建模.

通過自主閱讀和小組討論的方式，學(xué)習(xí)“茶水口感最佳時(shí)最適溫度”問題，了解數(shù)學(xué)建模的簡單步驟，并對(duì)照情景劇，將之具體化，如圖1所示.

（2）必備知識(shí)準(zhǔn)備.

學(xué)習(xí)Excel軟件中與本節(jié)課有關(guān)的數(shù)據(jù)處理功能：求平均值、求和、畫散點(diǎn)圖、模擬趨勢(shì)線公式、求相關(guān)系數(shù)[R2.] 了解統(tǒng)計(jì)的常識(shí)，如相關(guān)系數(shù)的大小與擬合效果的關(guān)系.

（3）確定研究選題.

對(duì)教材中提供的四個(gè)備選課題進(jìn)行分析，選擇將要研究的課題.

① 應(yīng)在炒菜之前多長時(shí)間將冰箱里的肉拿出來解凍？

由于對(duì)解凍缺乏可參考的標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生做起來有一定困難. 雖然可以類比雪糕、冰塊的溶解速度進(jìn)行推算，但是否有可類比性沒有科學(xué)依據(jù)作為支撐. 因此放棄了這個(gè)選題.

② 根據(jù)某一學(xué)生的身高和體重，判斷該學(xué)生是否超重？

根據(jù)身高計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)體重，已經(jīng)有成熟的運(yùn)算公式，學(xué)生研究的欲望不夠強(qiáng)烈，而且即使展開研究，其成果也是粗糙的，不可能突破現(xiàn)有成果. 為此，結(jié)合情景劇，學(xué)生類比身高與體重的關(guān)系提出了身高與腳長、小臂長、腿長的關(guān)系進(jìn)行研究.

③ 用微波爐或電磁爐燒一壺開水，找到最省電的功率設(shè)定方法.

此課題對(duì)研究工具要求較高，需要與物理結(jié)合，故放棄選擇.

④ 估計(jì)閱讀一本書所需要的時(shí)間.

讀一本書可量化的數(shù)據(jù)較少，影響因素又較多，研究起來不容易把握研究方向. 類比此課題，學(xué)生提出了關(guān)于假期上網(wǎng)時(shí)間的研究，進(jìn)而具化為玩手機(jī)的時(shí)長對(duì)學(xué)習(xí)成績、視力、學(xué)習(xí)時(shí)長的影響. 其中的變量都可以量化，相對(duì)容易研究.

（4）了解課題研究的程序.

通過閱讀教材可以了解到，課題研究的程序是：選擇課題，撰寫開題報(bào)告—設(shè)計(jì)研究方案，實(shí)施課題—完成課題，形成研究報(bào)告.

2. 第1課時(shí)：確定研究課題并撰寫開題報(bào)告

引導(dǎo)語：通過課前學(xué)習(xí)“茶水口感最佳時(shí)最適溫度”問題，大家了解了數(shù)學(xué)建模是溝通數(shù)學(xué)世界的橋梁，可以用數(shù)學(xué)的方法解決生活中的問題. 放學(xué)回家后，同學(xué)們可以活學(xué)活用，為長輩泡一杯口感最佳的茶水，表達(dá)我們的孝心. 今天我們要用這個(gè)方法幫助小明解決他在生活中遇到的一些問題.

環(huán)節(jié)1：生活問題數(shù)學(xué)化.

欣賞生1和生2表演的情景劇，思考小明和媽媽的矛盾點(diǎn)，分析矛盾成因. 從中可以抽象出怎樣的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行研究？研究它的意義又是什么？

師生活動(dòng)：觀看情景劇，教師提出問題，學(xué)生小組討論合作完成.

預(yù)設(shè)答案：（1）小明媽媽給小明買的鞋子、衣服尺碼不合適，說明小明媽媽對(duì)小明的身材估計(jì)不準(zhǔn)，可以從中抽象出研究身高與腳長、臂長、小腿長的關(guān)系. 利用研究成果，根據(jù)小明的身高，推測出他的腳長和衣服尺碼，為小明媽媽提供參考.

（2）小明媽媽關(guān)心小明的成績，一旦成績不如意，罪責(zé)全怪在手機(jī)上，可以從中抽象出玩手機(jī)時(shí)長與學(xué)習(xí)時(shí)長、學(xué)習(xí)成績、視力的關(guān)系，預(yù)測小明每天合理的玩手機(jī)時(shí)長，為小明提供參考.

學(xué)生可能面對(duì)的困難：對(duì)于情景劇中事件涉及的變量，以及選取哪個(gè)變量作為自變量或因變量的把控不準(zhǔn)確.

事實(shí)上，有一個(gè)小組就沒有在情景劇中抽象出所要研究的課題，但是他們發(fā)現(xiàn)教室后面張貼的兩次月考成績表，靈機(jī)一動(dòng)，決定研究兩次月考數(shù)學(xué)成績間的聯(lián)系，并預(yù)測下一次月考的數(shù)學(xué)成績. 為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生注意抽取情境中的問題，如小明媽媽和小明的矛盾點(diǎn)在哪，影響這些矛盾的因素是什么. 據(jù)此確定自變量與因變量.

【設(shè)計(jì)意圖】情景劇是根據(jù)學(xué)生日常生活中所面臨的問題設(shè)計(jì)的，能夠直擊學(xué)生的內(nèi)心. 通過觀看情景劇，不僅使學(xué)生有身臨其境的感覺，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，又高于生活，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

環(huán)節(jié)2：撰寫開題報(bào)告.

師生活動(dòng)：教師撰寫了教材中“關(guān)于茶水口感最佳時(shí)最適溫度”課題的開題報(bào)告，并以此為模板指導(dǎo)學(xué)生完成所選課題的開題報(bào)告.

開題報(bào)告需要寫清楚以下幾個(gè)方面：課題名稱，課題組成員及分工，選題的意義，研究的計(jì)劃（包括對(duì)選題的分析、解決問題的思路等）.

學(xué)生可能面對(duì)的困難：（1）不清楚開題報(bào)告怎么寫;（2）不清楚如何對(duì)自己研究的課題進(jìn)行合理規(guī)劃.

破解辦法：學(xué)生可以借鑒教師提供的模板，亦可以自己查閱相關(guān)資料，搜尋自己喜歡的開題報(bào)告模板.

【設(shè)計(jì)意圖】開題報(bào)告是課題研究方案的設(shè)計(jì)、規(guī)劃和制定，可以幫助學(xué)生明確選題的意義與研究方法;培養(yǎng)學(xué)生做事情前有計(jì)劃、有規(guī)劃的習(xí)慣;指導(dǎo)學(xué)生熟悉開題報(bào)告的格式，明確借助網(wǎng)絡(luò)查閱資料是獲取信息的有效手段，為以后撰寫論文打下基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)3：展示、交流部分開題報(bào)告，規(guī)劃研究步驟.

師生活動(dòng)：展示、交流開題報(bào)告中的選題意義、研究方法和研究步驟.

學(xué)生可能面對(duì)的困難：（1）研究方法單一，缺少創(chuàng)新思維;（2）研究步驟相對(duì)簡單，會(huì)局限于指數(shù)函數(shù)概念學(xué)習(xí)時(shí)采用的數(shù)值比的方法.

破解辦法：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧已有的函數(shù)模型：一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型和對(duì)數(shù)函數(shù)模型，嘗試建立不同的函數(shù)模型解決實(shí)際問題，并在不斷嘗試中對(duì)已有函數(shù)模型進(jìn)行優(yōu)化.

【設(shè)計(jì)意圖】通過展示開題報(bào)告，使各小組的研究思路和方法更加明晰，方便小組間相互學(xué)習(xí)、取長補(bǔ)短，優(yōu)化本組的研究思路和研究方法，促使后續(xù)課題的研究思路清晰化，引領(lǐng)課題研究的進(jìn)展方向.

課后作業(yè)：學(xué)生依據(jù)開題報(bào)告，以小組為單位自主開展課題研究，并梳理課題的研究成果，撰寫課題研究報(bào)告，按規(guī)定時(shí)間提交，教師給出課題研究報(bào)告的修改建議.

3. 第2課時(shí)：展示課題研究，形成課題研究報(bào)告

環(huán)節(jié)1：收集、分析和整理數(shù)據(jù).

師生活動(dòng)：各組代表展示本組收集數(shù)據(jù)的過程和方法，以及對(duì)數(shù)據(jù)都進(jìn)行了怎樣的分析和整理.

預(yù)設(shè)答案：

收集數(shù)據(jù)的方法：（1）直接引用近期體檢報(bào)告中身高和體重的數(shù)據(jù)，同時(shí)用卷尺測量同學(xué)的臂長和小腿長，并詢問腳長;（2）采用問卷調(diào)查法，調(diào)查同學(xué)在假期每天玩手機(jī)的時(shí)長和學(xué)習(xí)時(shí)長，引用體檢報(bào)告中的視力數(shù)據(jù)，詢問視力情況，并選用近期考試成績.

處理數(shù)據(jù)的方法：（1）借助Excel軟件分析、整理數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖，求出線性回歸直線方程，以及相關(guān)系數(shù)[R2;]（2）借用教材中構(gòu)建指數(shù)函數(shù)模型的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，求出學(xué)習(xí)成績的變化比例，計(jì)算第二個(gè)數(shù)據(jù)與上一個(gè)數(shù)據(jù)的比值，再用平均值求出其曲線方程.

學(xué)生可能面對(duì)的困難：（1）數(shù)據(jù)的收集——異常點(diǎn)較多，收集的數(shù)據(jù)規(guī)律性不強(qiáng);（2）處理數(shù)據(jù)方法單一——過于依賴多媒體.

破解辦法：對(duì)于收集數(shù)據(jù)，可以多次測量求平均值，以矯正誤差;要求學(xué)生用Excel軟件處理數(shù)據(jù)，同時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察、分析，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

【設(shè)計(jì)意圖】通過用卷尺測量、問卷調(diào)查、借助軟件或者觀察、計(jì)算等活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、整理、分析的過程，不僅增強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)手能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

環(huán)節(jié)2：選擇函數(shù)模型.

師生活動(dòng)：各組代表展示選擇的模型，并說明選擇該模型的理由，教師進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)評(píng).

預(yù)設(shè)答案：（1）身高與腳長、臂長、小腿長的函數(shù)模型均為線性模型，且成正比例關(guān)系;（2）玩手機(jī)的時(shí)長與學(xué)習(xí)時(shí)長、學(xué)習(xí)成績、視力的函數(shù)模型不是很確定，其中人為因素較多，但可以預(yù)測成反比例關(guān)系.

學(xué)生可能面對(duì)的困難：（1）模型的選擇單一——線性回歸模型和指數(shù)模型;（2）模擬方法單一——直接用電腦模擬.

破解辦法：數(shù)學(xué)模型除了常見的線性和非線性的函數(shù)模型外，還有高中教材以外的微分模型（物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)）、差分模型（經(jīng)濟(jì)、金融和人口預(yù)測）、變分法模型（最優(yōu)控制函數(shù)使某個(gè)泛函達(dá)到最大或最?。?、模糊數(shù)學(xué)建模（模糊評(píng)價(jià)）、灰色理論建模（社會(huì)系統(tǒng)、農(nóng)業(yè)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)）等. 雖然學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)到，但是可以通過查閱相關(guān)資料，對(duì)感興趣的模型進(jìn)行簡單了解，并借鑒其中對(duì)自己所研究課題有用的部分，如可以用變分法模型研究玩手機(jī)時(shí)長和學(xué)習(xí)成績之間的一個(gè)平衡點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】函數(shù)模型的選擇是數(shù)學(xué)建模過程中最重要的環(huán)節(jié)，在眾多模型面前，適合的才是最好的，學(xué)生要學(xué)會(huì)在眾多信息之中進(jìn)行有效選擇. 學(xué)生在選擇合適模型、優(yōu)化模型的過程中，能夠不斷提升數(shù)學(xué)建模能力.

環(huán)節(jié)3：檢驗(yàn)函數(shù)模型.

師生活動(dòng)：用建立的函數(shù)模型求出收集數(shù)據(jù)的預(yù)測值，并與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比.

學(xué)生可能面對(duì)的困難：不清楚對(duì)比方法和參考標(biāo)準(zhǔn).

破解辦法：當(dāng)兩個(gè)變量間存在相同或相反的變化趨勢(shì)時(shí)，就可以用線性模型描述，但這種關(guān)系受其他許多因素的影響，這些影響因素會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)誤差，它是一個(gè)不可觀測的量，只能通過其估計(jì)值，即實(shí)際值與預(yù)測值間的差值來衡量，就是所謂的殘差. 進(jìn)而通過殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的異常數(shù)據(jù)，判斷建立模型的擬合效果. 為了使效果更加直觀，可以繪制殘差圖. 為了更加精準(zhǔn)地比較兩個(gè)模型的擬合效果，需要借助公式計(jì)算[R2，] 說明模型擬合的精確度.

這些知識(shí)學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過，但鑒于比較好理解，可以直接應(yīng)用，系統(tǒng)的理論知識(shí)后續(xù)再學(xué)習(xí).

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在遇到困難時(shí)，可以通過查閱資料自學(xué)新的知識(shí)，并嘗試用不同的方法解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力. 這也是通過數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題時(shí)引發(fā)的學(xué)習(xí)延伸.

環(huán)節(jié)4：應(yīng)用函數(shù)模型.

師生活動(dòng)：共同探究尺碼問題除了能解決小明媽媽給小明買鞋子和衣服是否合身的問題，還能解決哪些問題.

預(yù)設(shè)答案：還可以給本班學(xué)生網(wǎng)購衣服提供數(shù)據(jù)支持. 但是不能作為這個(gè)年齡段學(xué)生購買服裝的唯一依據(jù)，這個(gè)問題之后在統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中會(huì)進(jìn)一步研究.

學(xué)生可能面對(duì)的困難：根據(jù)研究模型求出預(yù)測值和實(shí)際值之間存在偏差，在實(shí)際中應(yīng)用效果不佳，說服力不足.

破解辦法：讓學(xué)生理解將現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)問題，有諸多影響因素，需要很多理想狀態(tài)下的假設(shè)，存在偏差非常正常.

【設(shè)計(jì)意圖】實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)知識(shí)只有應(yīng)用于生活中才能體現(xiàn)其價(jià)值，才能給學(xué)生更深刻的感悟. 數(shù)學(xué)來源于生活，最終要服務(wù)于生活，學(xué)以致用是學(xué)習(xí)的真諦. 學(xué)生在應(yīng)用知識(shí)的過程中，不僅鞏固了所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，完善了已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，更提升了思維的深刻性.

環(huán)節(jié)5：結(jié)題報(bào)告修改建議.

師生活動(dòng)：針對(duì)學(xué)生的課題結(jié)題報(bào)告，教師給出修改建議.

預(yù)設(shè)答案如下表所示.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)學(xué)生來說，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是全新的體驗(yàn)，研究過程是摸著石頭過河，最終形成的研究報(bào)告很稚嫩，但又不缺乏創(chuàng)新性，所以教師應(yīng)該先肯定學(xué)生在研究過程中的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)指出不足加以修改，最終形成新的研究報(bào)告，從而培養(yǎng)學(xué)生大膽創(chuàng)新的勇氣和小心求證的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.

課后作業(yè)：參考其他小組研究報(bào)告中的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)自己小組課題報(bào)告中的不足進(jìn)行修改，形成新的報(bào)告，完成課題研究.

八、研究成果及應(yīng)用

各小組在開題之后，積極開展課題研究，形成如下研究成果.

1. 學(xué)生自主探索形成的初期成果

（1）身高與腳長等關(guān)系的課題研究成果.

該課題由三個(gè)小組共同完成，組1研究身高與腳長之間的關(guān)系;組2研究身高與臂長之間的關(guān)系;組3研究身高與小腿長之間的關(guān)系. 并分別得到最終的函數(shù)模型.

身高與腳長之間的關(guān)系：[y=0.294 2x-10.211，] 其中x表示身高，y表示腳長，[R2=84.21.] 說明身高的變化解釋了84.21%的腳長的變化.

身高與臂長之間的關(guān)系：[y=0.409 3x-1.461 8，] 其中x表示身高，y表示臂長，[R2=0.642.] 說明身高的變化解釋了64.2%的臂長的變化.

身高與小腿長之間的關(guān)系：[y=0.250 6x+0.990 6，]其中x表示身高，y表示小腿長，[R2=0.533 4.] 說明身高的變化解釋了53.34%的小腿長的變化.

（2）玩手機(jī)的時(shí)長與學(xué)習(xí)成績等關(guān)系的課題研究成果.

該課題由三個(gè)小組共同完成，組4研究玩手機(jī)時(shí)長與學(xué)習(xí)時(shí)長之間的關(guān)系;組5研究玩手機(jī)時(shí)長與視力之間的關(guān)系;組6研究玩手機(jī)時(shí)長與學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系. 并分別得到最終的函數(shù)模型.

玩手機(jī)時(shí)長與學(xué)習(xí)時(shí)長之間的關(guān)系：[y=-0.422 3x+][6.770 1，] 其中x表示玩手機(jī)時(shí)長，y表示學(xué)習(xí)時(shí)長，[R2=][0.743 7.] 說明玩手機(jī)時(shí)長的變化解釋了74.37%的學(xué)習(xí)時(shí)長的變化.

玩手機(jī)時(shí)長與視力之間的關(guān)系：[y=755.09e0.097x，] 其中x表示玩手機(jī)時(shí)長，y表示視力，[R2=0.625 9.] 說明玩手機(jī)時(shí)長的變化解釋了62.59%的視力的變化.

玩手機(jī)時(shí)長與學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系：[y=5×1.29x，] 其中x表示玩手機(jī)時(shí)長，y表示學(xué)習(xí)成績，[R2=0.549 5.] 說明玩手機(jī)時(shí)長的變化解釋了54.95%的學(xué)習(xí)成績的變化.

（3）前后兩次月考數(shù)學(xué)成績關(guān)系課題的研究成果.

該課題由組7完成研究，得到最終的函數(shù)模型.

預(yù)測月考數(shù)學(xué)成績：[y=0.132 3x+2.464 9，] 其中x表示第一次月考數(shù)學(xué)成績，y表示第二次月考數(shù)學(xué)成績，[R2=][0.981 3.] 說明第一次月考數(shù)學(xué)成績有98.13%的概率決定了第二次月考數(shù)學(xué)成績.

2. 經(jīng)過組間討論之后進(jìn)一步修改的成果

對(duì)于如上初期成果，學(xué)生提出疑問. 例如，玩手機(jī)時(shí)長與視力之間的關(guān)系，前后兩次月考數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)系. 修改之后的模型如下.

（1）玩手機(jī)時(shí)長與學(xué)習(xí)時(shí)長之間的關(guān)系.

經(jīng)過小組討論，改用統(tǒng)計(jì)案例中的最小二乘法得到新的函數(shù)：[y=-119.8x+672.2，] 用多媒體模擬得出相關(guān)系數(shù)[R2=0.411.] 說明玩手機(jī)時(shí)長的變化解釋了41.1%的學(xué)習(xí)時(shí)長的變化，這個(gè)數(shù)據(jù)似乎更符合人們的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知.

（2）前后兩次月考數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)系.

對(duì)于第一次月考數(shù)學(xué)成績，不同的學(xué)生其分布規(guī)律不盡相同，用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行擬合會(huì)導(dǎo)致預(yù)測值與實(shí)際值相差較大，因此根據(jù)不同分?jǐn)?shù)段內(nèi)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，選擇分段擬合. 同時(shí)對(duì)于同一分?jǐn)?shù)段內(nèi)的數(shù)據(jù)，思考用哪種函數(shù)擬合效果好. 針對(duì)這兩個(gè)問題，進(jìn)一步對(duì)建立的模型進(jìn)行分析，過程及結(jié)果如下.

① 對(duì)于第一次月考數(shù)學(xué)成績?cè)赱38，71]內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)，可以有兩種擬合方案.

方案1：線性回歸模型[y=0.08x-0.47+e，] 相關(guān)系數(shù)[R2=0.6.] 說明第一次月考數(shù)學(xué)成績解釋了60%的數(shù)學(xué)成績差距的變化.

方案2：線性回歸模型[y=0.182 8x-6.123 3，] 相關(guān)系數(shù)[R2=0.834 3.] 說明第一次月考數(shù)學(xué)成績解釋了83.43%的數(shù)學(xué)成績差距的變化.

② 對(duì)于第一次月考數(shù)學(xué)成績?cè)赱71，98]內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)，可以有三種擬合方案.

方案1：指數(shù)模型[y=e-0.08x+8.156，] 相關(guān)系數(shù)[R2=0.778.]說明第一次月考數(shù)學(xué)成績解釋了77.8%的數(shù)學(xué)成績差距的變化.

方案2：二次函數(shù)模型. 將二次函數(shù)模型線性化以后，散點(diǎn)圖并不分布在一條直線周圍，因此不宜用線性回歸方程來擬合，即不宜用二次回歸模型[y=c3x2+c4]來擬合兩次月考數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)系

方案3：指數(shù)模型[y=1 253.2e-0.068x，] 相關(guān)系數(shù)[R2=][0.748 6.] 說明第一次月考數(shù)學(xué)成績解釋了74.86%的數(shù)學(xué)成績差距的變化.

③ 確定擬合函數(shù).

比較相關(guān)系數(shù)可知，當(dāng)?shù)谝淮卧驴紨?shù)學(xué)成績?cè)赱38，71]內(nèi)時(shí)，選用線性回歸模型[y=0.182 8x-6.123 3;] 當(dāng)?shù)谝淮卧驴紨?shù)學(xué)成績?cè)赱71，98]內(nèi)時(shí)，選用指數(shù)模型[y=][e-0.08x+8.156.]

3. 應(yīng)用模型解決實(shí)際問題

有始有終，回到開始的情景劇，不忘初心，牢記建立函數(shù)模型是為了解決實(shí)際問題.

（1）關(guān)于身高與腳長等關(guān)系模型的應(yīng)用.

本班學(xué)生家長在給孩子買衣服時(shí)，只要知道孩子的身高就能大致推算出腳長、腿長和臂長，買的衣服就基本合身. 例如，小明的身高是180 cm，由此可以推算出他的腳長是42.745 cm，小腿長是46.098 6 cm，臂長是75.135 8 cm. 經(jīng)現(xiàn)場驗(yàn)證，這個(gè)數(shù)據(jù)與真實(shí)情況基本吻合. 信息時(shí)代，網(wǎng)購成為常態(tài)，本模型可以為本班學(xué)生網(wǎng)上買鞋子和衣服提供數(shù)據(jù)支持. 如果該課題后續(xù)進(jìn)一步改進(jìn)趨于成熟，也可用于刑偵，但是要注意模型的適用范圍.

（2）關(guān)于玩手機(jī)時(shí)長與學(xué)習(xí)時(shí)長等關(guān)系模型的應(yīng)用.

只要每天玩手機(jī)時(shí)長控制在合理的范圍內(nèi)，基本不會(huì)對(duì)學(xué)生的視力和學(xué)習(xí)成績?cè)斐捎绊?，根?jù)研究成果給出合理的建議，家長就不會(huì)一味限制孩子玩手機(jī)，而是有理有據(jù)地建議孩子玩手機(jī)的時(shí)長保持在每天1個(gè)小時(shí)之內(nèi).

（3）關(guān)于兩次月考數(shù)學(xué)成績關(guān)系模型的應(yīng)用.

根據(jù)我們的研究可以說明，只要學(xué)生的努力程度保持不變，其他因素在理想狀態(tài)下，數(shù)學(xué)成績的走勢(shì)將會(huì)是穩(wěn)步上升的，可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.

學(xué)生通過這次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在這一系列的活動(dòng)中，學(xué)生認(rèn)識(shí)了刻畫現(xiàn)實(shí)世界規(guī)律的不同函數(shù)模型，了解了這些模型的不同特征，并且知道了這些不同的模型都刻畫了哪些現(xiàn)實(shí)規(guī)律，為后續(xù)的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)奠定了研究基礎(chǔ). 經(jīng)歷此次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，可以提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，如數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)（從情景劇中抽象出數(shù)學(xué)問題）、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)（用Excel軟件分析、整理數(shù)據(jù)）、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)（選擇、檢驗(yàn)、優(yōu)化函數(shù)模型）. 采用課題的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)生明白了合作的重要性，在研究過程中遇到困難時(shí)，小組成員互幫互助，在完成課題研究的同時(shí)，也收獲了友誼. 面對(duì)真實(shí)的問題，學(xué)生的創(chuàng)新能力和教師的已有經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，將會(huì)創(chuàng)造奇跡. 細(xì)節(jié)決定成敗，如在對(duì)數(shù)據(jù)收集的認(rèn)知上，學(xué)生深刻感受到失之毫厘、差之千里，本次活動(dòng)激發(fā)了學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度. 通過此次活動(dòng)，學(xué)生切實(shí)感受到了數(shù)學(xué)來源于生活卻高于生活，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問題，使得我們的生活更加便捷. 通過此次活動(dòng)使學(xué)生更加了解到，用數(shù)學(xué)解決問題，不必拘泥于已有的知識(shí)，可以根據(jù)需要自學(xué)其他知識(shí)，這樣才能更好地解決問題.

數(shù)學(xué)建模對(duì)于學(xué)生來說是第一次，活動(dòng)過程培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光欣賞世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力，使學(xué)生了解到了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系. 在后續(xù)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)知識(shí)后，再開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，學(xué)生站位的高度將有所不同，看待問題的觀點(diǎn)、角度自然也會(huì)不同，所以數(shù)學(xué)建模課應(yīng)該貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課堂，在系列活動(dòng)中幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，提升核心素養(yǎng)，立德樹人，最終達(dá)成高中數(shù)學(xué)的課程目標(biāo).

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