華志遠(yuǎn)

摘? 要：從兩道以抗擊新冠肺炎疫情為背景的高考試題出發(fā)，研究試題的解法，評(píng)析其考查的要點(diǎn). 并以具體案例為依托，對(duì)數(shù)學(xué)建模的含義、原則、方法及步驟等進(jìn)一步探究，以期為今后開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)起到積極的引導(dǎo)作用.

關(guān)鍵詞：高考試題;抗疫模型;數(shù)學(xué)建模;指數(shù)函數(shù)

當(dāng)下課程改革以培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)為目標(biāo)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)尤其令人矚目.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在論及課程內(nèi)容時(shí)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科之間的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透;在論及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)建模的課程目標(biāo)明確提出：要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.

針對(duì)2020年全球暴發(fā)的新冠肺炎疫情，高考命題將相關(guān)數(shù)學(xué)模型融入其中，讓廣大師生感受到了數(shù)學(xué)與科技、社會(huì)、生活等的緊密聯(lián)系. 例如，2020年全國(guó)新高考Ⅰ（Ⅱ）卷第6題考查了新冠肺炎流行病的兩個(gè)基本參數(shù)，以估算疫情初始階段累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間. 再如，2020年全國(guó)Ⅲ卷文（理）科第4題利用Logistic模型評(píng)估疫情發(fā)展情況等，追蹤了社會(huì)熱點(diǎn)、分享了研究成果，對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)起到了良好的導(dǎo)向作用.

一、試題分析

例1 （2020年全國(guó)新高考Ⅰ / Ⅱ卷·6）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù). 基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間. 在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：[It=ert]描述累計(jì)感染病例數(shù)[It]隨時(shí)間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0 = 1 + rT. 有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0 = 3.28，T = 6. 據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為（? ? ）.（ln2 ≈ 0.69.）

（A）1.2天 （B）1.8天

（C）2.5天 （D）3.5天

解：由題意，得[r=R0-1T=0.38.]

代入，得[e0.38t=2，]

即[t=ln20.38≈1.8.]

【評(píng)析】此題以刻畫(huà)加速變化的指數(shù)函數(shù)模型為背景，考查學(xué)生對(duì)指數(shù)、對(duì)數(shù)概念的理解，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 雖然難度不大，但是寓意深刻，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

例2 （2020年全國(guó)Ⅲ卷·文 / 理4）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域. 有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)[It]（t的單位：天）的Logistic模型：[It=K1+e-0.23t-53，] 其中K為最大確診病例數(shù). 當(dāng)[It*=0.95K]時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則[t*]約為（? ? ）.（ln19 ≈ 3.）

（A）60? ?（B）63? ?（C）66? ?（D）69

解：由[K1+e-0.23t*-53=0.95K，] 得

[e0.23t*-53=19，]

即[t*=53+ln190.23≈66.]

【評(píng)析】此題以刻畫(huà)收斂變化的Logistic模型為背景，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，以及對(duì)指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的掌握情況，同時(shí)為抗擊疫情提供了一定的想象空間. 如[t=53]（天），呼應(yīng)了人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）中放射元素的“半衰期”，這里[I53=K2，] 恰好為最大確診數(shù)之半.

筆者在單元復(fù)習(xí)教學(xué)中，讓學(xué)生研究了函數(shù)[It=][K1+e-0.23t-53]的圖象及性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)雖然該函數(shù)是關(guān)于t的增函數(shù)，但當(dāng)t = 53時(shí)，卻是S形曲線的拐點(diǎn). 從圖象可以得出判斷：某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)達(dá)到最大確診病例數(shù)一半之前，是病例數(shù)的加速增長(zhǎng)期，過(guò)了這一點(diǎn)，病例數(shù)的增長(zhǎng)率就會(huì)下降，最后趨向于0，即進(jìn)入逐漸降低增長(zhǎng)的時(shí)期. 為此，引入函數(shù)[It=][K1+e-pt-t0，] 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、分析不同地區(qū)的疫情發(fā)展情況，讓學(xué)生感受我國(guó)在抗擊疫情領(lǐng)域取得的非凡成績(jī).

二、數(shù)學(xué)建模的含義及原則

什么是數(shù)學(xué)模型？著名數(shù)學(xué)家徐利治在《數(shù)學(xué)方法論選講》中指出，數(shù)學(xué)模型是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采取數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型來(lái)分析、解決問(wèn)題的過(guò)程叫做數(shù)學(xué)建模. 數(shù)學(xué)模型是靈動(dòng)的數(shù)學(xué)，是一種反映真實(shí)情境，并加以簡(jiǎn)化、抽象、概括、推演及修正，以表達(dá)真實(shí)世界、問(wèn)題原型的數(shù)學(xué)形式及結(jié)構(gòu)，它是對(duì)現(xiàn)實(shí)的一種量化刻畫(huà)或是對(duì)未來(lái)的預(yù)估. 因此，數(shù)學(xué)建模一般符合反映性、簡(jiǎn)化性及可推演性等原則.

三、數(shù)學(xué)建模的方法及步驟

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)涵的外顯形式，是數(shù)學(xué)家運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的智慧結(jié)晶，它將多元、復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)選取主要因素轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題. 因此，所有數(shù)學(xué)模型都是與某類(lèi)實(shí)際問(wèn)題逼近的近似值，但有時(shí)現(xiàn)實(shí)變化過(guò)快，使得一些數(shù)學(xué)模型必須進(jìn)行迭代升級(jí)，才能重新獲得應(yīng)用價(jià)值.

例如，教材“函數(shù)模型的應(yīng)用”一節(jié)中提到，針對(duì)人口的快速增長(zhǎng)，1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：[dydt=ky，] 其中[yt]表示[t]時(shí)刻某地區(qū)的人口數(shù)，[kt]表示出生率與死亡率之差. 若該地區(qū)人口是穩(wěn)定的，可假設(shè)[k]是常數(shù)，則人口變化率[yt=kyt，] 求得[y=cekt，c]為任意常數(shù)（由于高中生知識(shí)的局限，教材直接給出了該函數(shù)）. 設(shè)[t0]時(shí)刻某地區(qū)的人口數(shù)為[y0，] 則[y0=cekt0，] 代入函數(shù)解析式，得[yt=y0ekt-t0.] 該模型在提出后的很長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)都是適用的，1965年之后的35年中，計(jì)算值與實(shí)際值仍較為靠近，但隨著工業(yè)、科技和社會(huì)的發(fā)展，自然資源、食物、居住條件等參數(shù)發(fā)生了較大的變化，該模型就出現(xiàn)了較大的偏差，人口不但沒(méi)有快速增長(zhǎng)，反而出現(xiàn)了負(fù)增長(zhǎng)，因此必須對(duì)該模型加以修正. 1837年，荷蘭的數(shù)學(xué)、生物學(xué)家弗爾哈斯特引進(jìn)了一個(gè)正常數(shù)b，建立了新的方程：[dydt=ky-by2，] 其中k，b稱(chēng)為生命系統(tǒng)參數(shù)，用來(lái)刻畫(huà)人口的增長(zhǎng)率. 求得[yt=ky0by0+k-by0e-kt-t0，] 當(dāng)t→+∞時(shí)，[yt→kb.] 這意味著，無(wú)論人口的初始值是多少，它一定趨向于一個(gè)極限值[kb.] 當(dāng)[0

建立數(shù)學(xué)模型的方法主要有兩類(lèi)：一類(lèi)是機(jī)理分析法. 例如，離散型的問(wèn)題可以運(yùn)用代數(shù)方法模型. 另一類(lèi)是數(shù)據(jù)分析法. 例如，根據(jù)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行最好的擬合，并加以回歸分析. 前面的人口增長(zhǎng)模型就采用了機(jī)理分析法，受知識(shí)的限制，現(xiàn)行教材中大量采用的是數(shù)據(jù)分析法，常見(jiàn)的擬合函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù).

數(shù)學(xué)建模一般會(huì)經(jīng)歷模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析和模型應(yīng)用等步驟. 由于前三個(gè)步驟的復(fù)雜性，當(dāng)前高考多數(shù)只考查后三個(gè)步驟. 綜覽高考命題，1999年高考全國(guó)卷中曾出現(xiàn)過(guò)一道關(guān)于“冷軋鋼”的數(shù)學(xué)建模題，許多學(xué)生反映無(wú)從下手. 2013年高考江蘇卷中曾出現(xiàn)過(guò)一道關(guān)于乘索道下山與走下山的人相互等待不超過(guò)3 min的試題，許多學(xué)生面對(duì)題中的“兩次時(shí)間差”不知所措. 2014年高考江蘇卷中有一道關(guān)于古橋保護(hù)的試題，得分率依然很低. 2017年高考江蘇卷考查了一道以正四棱臺(tái)為背景關(guān)于玻璃棒在水中部分長(zhǎng)度的試題，由于多數(shù)學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)建模的能力，導(dǎo)致得分率極低. 可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建模雖然在理論界、學(xué)術(shù)界和教學(xué)研究上是熱點(diǎn)，而在實(shí)際課堂教學(xué)中，卻受到廣大教師的冷落. 究其原因，首先是教學(xué)觀念上存在急功近利的傾向;其次是課程資源匱乏，教學(xué)方法單一. 因此，加強(qiáng)教師關(guān)于數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的培訓(xùn)，開(kāi)發(fā)和積累優(yōu)秀的教學(xué)案例，研究科學(xué)的教學(xué)方法，是今后一個(gè)階段的工作重點(diǎn).

四、教學(xué)案例的呈現(xiàn)與評(píng)析

通過(guò)與通用技術(shù)組教師的合作，筆者對(duì)教材第162頁(yè)至第164頁(yè)的“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的一個(gè)實(shí)例”嘗試進(jìn)行了“探究不同杯子的保溫效果”一節(jié)課，將測(cè)定溫度、科學(xué)探究、數(shù)據(jù)擬合與物理原理有機(jī)融合，課堂教學(xué)效果良好. 現(xiàn)呈現(xiàn)簡(jiǎn)要流程如下.

提出問(wèn)題：生活中的杯子形狀、大小、材質(zhì)不同，其保溫效果有可能存在差異. 將85 ℃的熱水分別倒入大小相同的圓柱形無(wú)蓋陶瓷杯和玻璃杯，哪個(gè)保溫效果更好？

學(xué)生猜測(cè)：陶瓷杯的保溫效果更好，因?yàn)槲锢碇杏羞@樣的基本事實(shí)：玻璃的導(dǎo)熱性能比陶瓷好.

這一判斷是否正確呢？教師利用兩個(gè)防水溫度傳感器、秒表、Romeo控制器、USB數(shù)據(jù)線實(shí)驗(yàn)器材，每間隔5分鐘，使用防水溫度傳感器分別測(cè)量?jī)芍槐又械乃疁兀郎囟然痉€(wěn)定后記錄數(shù)據(jù)，測(cè)量5次后停止，記錄數(shù)據(jù)如下表所示. 從表格中發(fā)現(xiàn)，玻璃杯中的水溫比陶瓷杯中的水溫下降得略快一些，但每次所測(cè)溫度差異不大，僅在0.02 ～ 0.26 ℃之間，因操作等因素，這樣的誤差可以忽略不計(jì).

為什么與現(xiàn)實(shí)的假設(shè)不完全一致呢？如果改變杯子的厚度、水量等因素，測(cè)得的數(shù)據(jù)又會(huì)怎樣？學(xué)生在后來(lái)的分組實(shí)驗(yàn)中觀察到，不加蓋子時(shí)，各種材質(zhì)的杯子保溫效果幾乎相同;加了蓋子，保溫效果會(huì)產(chǎn)生明顯差異.

在教學(xué)拓展性討論時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘：在實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程中，杯子是否加蓋子對(duì)保溫效果起到了極其重要的影響，也就是說(shuō)導(dǎo)熱性是在封閉容器中才起作用，在開(kāi)口狀態(tài)下，杯子主要依賴(lài)杯口向外釋放熱量. 于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材第161頁(yè)的習(xí)題10：把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是[θ1]℃，空氣的溫度是[θ0]℃，那么t min后物體的溫度[θ]（單位：℃）可由公式[θ=θ0+θ1-θ0e-kt]求得，其中[k]是一個(gè)隨著物體與空氣的狀況而定的正常數(shù). 再將表格中測(cè)得的某兩個(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)分別代入，通過(guò)計(jì)算器的運(yùn)算得到環(huán)境溫度約為24 ℃，這與當(dāng)時(shí)的室溫基本吻合. 這樣從科學(xué)假設(shè)到實(shí)驗(yàn)測(cè)量，從數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)到分析思考，從物理考證到數(shù)學(xué)建模，都模擬了科學(xué)探究的主要流程，從而使學(xué)生真實(shí)體驗(yàn)了數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程.

現(xiàn)行教材中，圍繞數(shù)學(xué)建模開(kāi)展的活動(dòng)、探究、例題及習(xí)題等占據(jù)了較多的篇幅，與之相呼應(yīng)，高考命題明顯加快了改革的步伐，逐步將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查融入試題之中，隨著《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的實(shí)施，關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)將成為測(cè)試和評(píng)價(jià)的核心指標(biāo)和因素. 希望一線教師更新觀念、加強(qiáng)研究，讓數(shù)學(xué)建模教學(xué)在紓難中前行，以順應(yīng)數(shù)學(xué)課程改革的潮流，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，為培養(yǎng)創(chuàng)新型人才打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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[2]孫宏安. 談數(shù)學(xué)建模[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2018（4）：2-6，17.