陳玉婷 章飛

摘要：在正規(guī)考試中加強提問能力的評價，有利于“以評促教”，切實培養(yǎng)學生的提問能力。在借鑒已有的一些研究的基礎上，建構了以流暢性、靈活性、新穎性、深刻性、清晰性為評價維度的數學提問能力的評價框架，并就各維度水平的劃分、權重的確定以及試卷評閱中的操作實施提出了具體建議。

關鍵詞：提問能力;提出問題;數學問題;評價框架;考試

江蘇第二師范學院和南京師范大學聯合培養(yǎng)的碩士研究生?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》和《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》都十分強調培養(yǎng)學生從數學的角度提出問題的能力。為了更好地培養(yǎng)學生的數學提問能力，需要科學地評價學生的數學提問能力。

本文通訊作者。關于數學提問能力的評價，國內外學者已經進行了一些有益的探索，但相對于日常教學中的形成性評價，正規(guī)的考試，尤其是中、高考等大規(guī)模、高利害的考試，特別需要關注評價標準的確定性、標準執(zhí)行的程序性、評閱工作量的可控性等，命題、閱卷人員都希望有一個相對程序化的實施建議。為此，本文在借鑒已有的一些研究的基礎上，嘗試建構數學提問能力的評價框架（指標體系），并且對正規(guī)考試中數學提問能力的評價給出一些操作性建議。當然，這樣的框架對日常教學中的形成性評價也有借鑒價值——日常教學中，還可以評價學生數學提問的過程以及學生在數學提問過程中的情感態(tài)度等。

一、評價維度的建構

對提問能力的評價，較早的評價方法源于托倫斯的創(chuàng)造性思維測驗（1966）。在早期的研究中，有研究者在該測驗的啟發(fā)下，提出了從流暢性、靈活性、獨創(chuàng)性三個維度評價提問能力。Lyn D.English.Childrens Problem Posing within Formal and Informal Contexts[J]. Journal for Research in Mathematics Education，1998 （1）： 83106。夏小剛等人借鑒托倫斯的做法，以問題的數量、問題的種類和問題的新穎性為指標，建立了一個關于數學提問能力的評價標準。夏小剛，汪秉彝，呂傳漢.中小學生提出數學問題能力的評價再探[J].數學教育學報，2008（2）：811。Silver和Cai從以下三個維度評價學生的數學提問能力：（1）問題的數量;（2）新穎性;（3）復雜性。E.A.Silver， J.Cai.Assessing students’ mathematical：problems posing[J].Teaching Children Mathematics， 2005（12）：129135。陳麗敏等人則綜合上述研究，從流暢性、變通性、新穎性、復雜性四個維度評價學生的數學提問能力，其中的復雜性是指提出的正確的數學問題所包含的語義類型的個數。陳麗敏，景敏，Verschaffel Lieven，等.五年級小學生數學問題提出能力和觀念的調查研究[J].數學教育學報，2013（2）：2732。洪麗暖和郭玉峰選用了流暢性、靈活性、深刻性三個評價維度。洪麗暖，郭玉峰.初中生數學問題提出能力的年級差異研究[J].中國數學教育，2019（23）：311。李欣蓮和蔡金法在評價基于現實的數學提問能力時選用了靈活性、新穎性、深刻性、適切性四個維度。李欣蓮，蔡金法.數學課堂中學生問題提出的評估[J].小學教學（數學版），2020（6）：2226。

上述研究的評價維度中多包括流暢性。流暢性評價的是學生能否流暢地提出數學問題，在一定程度上反映了學生的數學提問能力，因此是評價學生數學提問能力的基本指標。流暢性可以通過學生提出數學問題的數量來反映。當然，這里的數學問題應該是有效的，即可以讓人理解的、具有實際意義的問題。

提問能力強的人，不僅能提出更多數量的問題，而且善于從不同的角度提出不同類型的問題。因此，評價學生的數學提問能力，還應關注學生能否從不同的角度提出不同類型的問題，也就是上述研究中提到的靈活性或變通性。我們更傾向于使用“靈活性”。靈活性考查的是學生能否靈活地提出不同種類的問題，通過提出的有效問題的種類來反映。當然，這就涉及對所提問題的分類。一般而言，一個有效的問題涉及有關信息以及有關信息之間關系的表達，因此，可以從信息來源、表達形式兩個角度對有效問題進行分類。從信息來源看，主要有兩類：信息來源于已知情境的數學問題，可稱為非拓展性問題;信息超出了已知情境的數學問題，包括改變已有信息或增加額外信息而提出的問題，也包括拓展已有情境而提出的問題，可稱為拓展性問題。表達形式是指數學問題的表達形式，如“……比……多多少本”與“……與……之和”是兩種不同的問題表達形式。當然，分類有“粗細”之別。對學生提出的問題進行分類，難免存在一些爭議。所幸的是，正規(guī)考試中，一般都會在正式閱卷前抽取一定數量的試卷進行試閱，在試閱階段，閱卷組可以針對學生提出的問題進行集體研討，確定出合理的分類并給出每一類問題的典型案例，進而制訂出細化的閱卷標準，便于正式閱卷時對照。

提問能力強的人，還善于提出新穎的問題。事實上，相對于常規(guī)的問題，科技進步更大程度上依賴于新穎問題的提出。這也是很多學者將新穎性或獨創(chuàng)性作為評價學生數學提問能力的一個維度的重要原因。我們更傾向于使用“新穎性”。新穎性考查學生能否提出與眾不同的問題，通過提出的新穎問題的數量來反映。按照托倫斯創(chuàng)造性思維測驗的基本思想：“獨創(chuàng)性的分數是由統(tǒng)計頻數決定的。如果被試的想法或觀點罕見于常模所記錄的學生的想法，就可以認為這種想法具有獨創(chuàng)性?！盇.J.斯塔科.創(chuàng)造能力教與學（第二版）[M].劉曉陵，曾守錘，譯.上海：華東師范大學出版社，2003：303。因此，對于一道具體的測試題，可在對一定規(guī)模的學生進行測試后，確定學生提出的常規(guī)性問題（即常模問題）。但多數測試題缺少類似的測試數據作為基礎，此時可以觀察本次測試中所有學生提出的問題，將其中占比較小的問題視為新穎性問題。

《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》指出：發(fā)現問題是經過多方面、多角度的數學思維，從表面上看起來沒有關系的一些現象中找到數量或空間方面的某些聯系，或找到數量或空間方面的某些矛盾，并把這些聯系或矛盾提煉出來;提出問題是在已經發(fā)現問題的基礎上，把找到的聯系或矛盾用數學語言、數學符號集中地以“問題”的形式表述出來。教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：124。從看似沒有關系的現象中找出數量或空間方面的聯系考驗學生思維的深刻性，因此，深刻性也應成為評價學生數學提問能力的一個重要指標。在上述研究中，多用“復雜性”。比如，陳麗敏等人以提出的問題中語義類型的多少來刻畫問題的復雜性;Silver和Cai則認為，復雜性包括語言復雜性和數學復雜性。李欣蓮和蔡金法雖然使用了深刻性這一評價維度，但其深刻性指解決所提問題所需的思維深度，可以常規(guī)解答所需的基本步驟為指標，步驟越多，說明難度越大，所代表的深刻性也越強。李欣蓮，蔡金法.數學課堂中學生問題提出的評估[J].小學教學（數學版），2020（6）：2226。洪麗暖和郭玉峰所說的深刻性最終也用所提問題的難度來刻畫。洪麗暖，郭玉峰.初中生數學問題提出能力的年級差異研究[J].中國數學教育，2019（23）：311。也就是說，上述研究中的“深刻性”還是表現為所提問題的復雜程度。但考查學生的數學提問能力時，學生更多地思考某個背景中有哪些數學問題，而較少思考某個數學問題的復雜程度、難易程度等。另外，我們希望引領學生提出更多的數學問題，也不建議以數學問題的復雜程度、難易程度來干擾學生提出數學問題的過程;語言的復雜性或者語義類型的多少，可能在一定程度上反映了所提問題的復雜程度，進而也在一定程度上反映了所提問題的深刻程度，但兩者并不完全等同。因此，上述研究具有一定的借鑒價值，但并不能直接反映所提問題的深刻性。反映所提問題的深刻性，應該以問題與原有背景之間的關聯為基礎，而不應以問題的外在描述形式為依據。提出問題，自然需要基于原有背景中的信息，因此，所提問題涉及背景中信息量的多少以及這些信息之間的相互交織程度，可以較好地反映所提問題的深刻性。能夠基于紛繁復雜的信息和信息關系提出問題，可以反映學生思維的深刻性。因此，我們以問題所含信息的數量以及信息之間的聯系程度來刻畫問題的深刻性。

另外，發(fā)現問題和提出問題兩者尚存在一定的區(qū)別，前者更多地關注能發(fā)現具體情境中的問題，但發(fā)現了問題之后，還需要能清晰地表述出來，因此，評價學生的數學提問能力時，同樣應關注學生所提問題的清晰程度，即清晰性也是考查學生數學提問能力的一項重要指標。清晰性是指學生提出有效問題時語言表達的清晰程度（無效問題直接判定不給分，無須分析其清晰性）。

至于適切性，是指提出的問題應符合實際，符合常識。李欣蓮，蔡金法.數學課堂中學生問題提出的評估[J].小學教學（數學版），2020（6）：2226。實際上，就是要求提出的問題是有效的數學問題。前文在“流暢性”中已經指出了這一點，因此，適切性不能成為一個獨立的評價維度。

綜上，我們選取流暢性、靈活性、新穎性、深刻性、清晰性五個維度（詳見表1），來建立數學提問能力的評價框架。

二、各維度水平的劃分

為了直觀地表示學生的數學提問能力，在確定數學提問能力的評價維度的基礎上，自然需要進一步劃分各維度的水平，形成計分方法。

關于計分方法，上述研究都采用了簡單疊加法。比如，陳麗敏等人的研究中，流暢性維度的計分方法是，學生提出了幾個正確的數學問題，則得幾分;變通性維度的計分方法是，學生提出了幾類數學問題，則得幾分;新穎性維度的計分方法是，學生每提出一個新穎的數學問題，則得1分;復雜性維度的計分方法是，學生提出的數學問題中包含兩種語義類型則得1分，包含3種及以上語義類型則得2分，其余為0分;最后將四個維度的得分相加，就得到學生該測試題的分值。陳麗敏，景敏，Verschaffel Lieven，等.五年級小學生數學問題提出能力和觀念的調查研究[J].數學教育學報，2013（2）：2732。這種方法操作簡便，但存在這樣兩個方面的問題：

一是分值簡單疊加不科學。比如，面對一道測試題，提出6個同類問題的甲學生與提出分別屬于3類的4個問題的乙學生，從流暢性維度和變通性維度看，得分相同（分別為6+1和4+3），這顯然不甚合理。

二是各維度得分區(qū)間差異大且不可控。上述得分規(guī)則下，流暢性維度、變通性維度、新穎性維度得分區(qū)間差異很大，其中新穎性維度得分區(qū)間極小;而所提的各問題分別賦分后再相加，導致復雜性維度得分占比過高。

對此，建議統(tǒng)一以各維度的達成度（指該維度實際的達成狀況與預設的滿分狀況的比值）作為該維度的得分依據。以達成度作為評價標準，首先，具有簡單、明確等優(yōu)點劉春惠.泰勒課程評價模式述評[J].北京郵電大學學報（社會科學版），2001（2）：50。;其次，保障了所有維度得分區(qū)間的一致（均為[0，100%]），從而為后續(xù)通過權重實現不同維度得分的相加奠定了基礎。

第一，流暢性維度的達成度d1，是指學生提出的有效數學問題的數量與測試題規(guī)定的滿分時的數量之比。流暢性維度下，學生的得分S1為該題總分A乘流暢性維度的達成度d1，即S1=Ad1。

例1老師根據某一規(guī)則畫出了圖1所示的圖形，請你根據所給的信息，從不同的角度提出6個數學問題。（12分）

……

第二，靈活性維度的達成度d2，是指學生提出的有效數學問題的種類數與命題者預設的或閱卷團隊根據試閱情況規(guī)定的滿分時的種類數之比。靈活性維度下，學生的得分S2為該題總分A乘靈活性維度的達成度d2，即S2=Ad2。

例如，以上丙同學提出的5個有效問題中，問題（2）和問題（3）是局限于情境中提到的信息而提出的，屬于非拓展性問題;問題（4）和問題（5）則是超越情境中給定的初始圖形和數量而提出的，屬于拓展性問題，但仍局限于具體圖形;問題（6）也屬于拓展性問題，但已跳出了具體圖形，指向了一般圖形中的數量關系尋求，可以歸為另一類問題。因此，可認為丙同學提出了3類有效的數學問題。一般而言，在較短的考試時間內，學生難能提出很多種類的數學問題，因此，該項滿分時要求提出的問題的種類數不宜過多。對于例1而言，滿分時學生提出的問題的種類數以3—4為宜。若閱卷團隊確定滿分時要求提出的問題的種類數是3，則丙同學靈活性維度的達成度為100%，得分為12分。

第三，新穎性考查學生所提問題的新穎程度，為此，首先需要給出一個問題是否新穎的判斷標準。一般而言，若學生所提的某個數學問題占群體所提問題的比例小于10%，則可視該問題為新穎問題。正如前文所述，如果是一個經過一定規(guī)模測試的問題，有一些先前的數據基礎，則可以根據先前的數據確定常規(guī)問題，不屬于常規(guī)問題的即屬于新穎問題。沒有經驗數據時，可采用以下兩種方法：（1）在正式測試前試測部分學生，根據試測結果確定常規(guī)問題，進而對問題的新穎性進行判斷;（2）對部分樣本試卷進行試閱或對所有學生提出的問題進行預覽后，確定常規(guī)問題和新穎問題。

日常測試中，可將新穎性作為對學生的基本要求，要求試題獲得滿分的學生必須提出新穎問題，從而促進學生提出更多的新穎問題，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和獨創(chuàng)性。命題者或閱卷團隊可以確定滿分時所提新穎問題的個數，然后以學生所提新穎問題的個數與滿分時要求的新穎問題個數之比作為該維度的達成度d3。新穎性維度下，學生的得分S3為該題總分A乘新穎性維度的達成度d3，即S3=Ad3。

但正規(guī)考試中，在較短的時間內，要求學生提出新穎問題才能獲得滿分，也就是說，將新穎性作為對所有學生的要求，似乎偏高了一些，容易引起師生的不適，甚至不良的社會反響。因此，在“滿意原則”的基礎上，可以采用“加分”的方式史寧中.學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學——以數學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J].中小學管理，2017（1）：3537。，將該項視為加分項，若學生提出新穎問題，則說明學生具有較好的創(chuàng)新能力，應對其額外加分。當然，具體加多少分，并無絕對的標準。我們建議：新穎性維度的加分S3以該題總分的25%左右為宜。如例1新穎性維度的加分可為3分，學生只要提出1個新穎的問題，即可得到新穎性維度的加分。根據經驗，丙同學提出的5個有效問題都是常規(guī)問題，所以新穎性維度的加分為0。

第四，深刻性用學生提出的有效數學問題所含信息的數量以及信息之間的聯系程度來刻畫。為了方便評閱，可根據學生所提問題中信息的狀況將深刻性維度劃分為四個水平，并賦予每一水平對應的達成度（詳見表2）。這是一種定性的水平劃分。當然，具體水平對應的達成度可根據經驗商定。

對于例1，丙同學提出的問題（2）只涉及情境中的第3個圖形這一個信息，該問題的深刻性可視為水平一，即達成度為25%;問題（3）涉及第2個圖形和第3個圖形兩個信息，該問題的深刻性可視為水平二，達成度為50%;問題（4）和問題（5）包含情境中的多個信息，并且需要了解情境中各個信息之間的數學關系，聯系多個有關點的個數的信息，屬于水平三，達成度為75%;問題（6）整合了整個情境中蘊含的數學關系的規(guī)律，屬于水平四，達成度為100%。因此，丙同學深刻性維度的達成度d4=（25%+50%+75%×2+100%）÷5=65%，得分S4=12×65%=7.8。

第五，清晰性是指問題表達的清晰程度以及邏輯的合理性，可分為兩個水平：（1）表述清晰、邏輯合理，其達成度可視為100%;（2）存在表達不規(guī)范、用詞不準確甚至表達錯誤等情況，但仍能被他人理解，其達成度可視為50%。根據學生所提的每一個問題的表達情況確定該問題的清晰度，再計算該生所有有效問題清晰度的平均值，即得到該生清晰性維度的達成度d5。

對于例1，丙同學提出的5個有效問題中，問題（3）缺少了問題構成的基本要素“圓的個數”或“點數”，但閱卷者應該基本能夠估計該學生所提的問題，可將該問題視為表述不清晰但仍能為他人理解的有效問題，其清晰度可視為50%;其他4個有效問題均可視為表述清晰的問題，其清晰度均為100%。因此，丙同學清晰性維度的達成度d5=（50%+100%+100%+100%+100%）÷5=90%，得分S5=12×90%=10.8。

三、各維度權重的確定

確定了數學提問能力評價標準的五個維度后，還需要確定各個維度的權重。日常測試中，將新穎性作為對所有學生的要求時，可確定五個維度的權重w1、w2、w3、w4、w5（w1+w2+w3+w4+w5=1），則學生該題的得分S=w1S1+w2S2+w3S3+w4S4+w5S5=A（w1d1+w2d2+w3d3+w4d4+w5d5）。正規(guī)考試中，將新穎性作為加分項時，可確定四個維度的權重w1、w2、w4、w5（w1+w2 +w4+w5=1），則學生該題的得分S=w1S1+w2S2+w4S4+w5S5+S3=A（w1d1+w2d2+w4d4+w5d5）+S3。

關于具體權重的確定，需要結合專家訪談和實際測試逐步完善。在力圖通過考試中數學提問能力的考查，促進師生重視數學提問能力的培養(yǎng)的階段，首先應鼓勵學生提出更多數量、更多種類的有效問題，從而打開學生數學提問的視界，因此，流暢性、靈活性的權重不妨稍大一些;深刻性，本是考查所提數學問題質量的一個重要指標，但是考慮到數學提問能力考查的初始階段，學生提出問題時較少關注所提問題的深刻性，也不易判斷所提問題的深刻性，因此，該階段其權重可以略小一些;至于問題表述的清晰性，并非考查學生數學提問能力的重點，其權重可以更小?；谏鲜隹紤]，可暫將w1、w2、w4、w5依次取值40%、30%、20%、10%。

四、評價框架在考試中的運用

建立評價框架的目的，自然是實踐運用。而影響實踐運用的一個重要因素是其可操作性。很多命題人擔心，在正規(guī)考試中進行數學提問能力的評價，需要計算那么多達成度，會大幅增加閱卷者的勞動量。實際上，在正規(guī)考試中，確定了合理的評閱標準后，閱卷者要做的更多是一些簡單的判斷和勾選，具體計算完全可以交由機器完成，閱卷者的勞動量并不大。具體操作過程大致如下：

（一）命題和閱卷團隊確定評閱標準

以命題組和閱卷組織者為核心，組建試閱小組，在試閱部分樣卷的基礎上，確定評閱標準和培訓文本，供閱卷者參考。評閱標準主要包括以下幾個方面：有效問題和無效問題的判斷標準以及典型例子;流暢性維度滿分時學生所提有效問題的數量M;常規(guī)問題的各種類型以及相應的特征和典型例子;靈活性維度滿分時學生所提有效問題的種數N;新穎問題的典型例子;問題深刻性判定的依據和典型例子;問題表達清晰性判定的依據和典型例子。制訂具體的評閱標準時，可在下頁表3中填入相應的內容。

（二）閱卷者參照標準評閱試題

評閱標準確定之后，閱卷者只要參照這一標準對學生提出的每一個問題分別判斷并在如下頁表4所示的問卷勾選表中勾選即可。對學生提出的每一個問題，依次判斷是否有效、是什么類型、深刻程度如何、清晰程度如何。如果是無效問題，不用進行后續(xù)判斷;如果是有效問題，至多再進行3次判斷，即在各備選的“常規(guī)類型”或“新穎類型”中勾選一項，在“深刻性”和“清晰性”中各勾選一項。

如果采用機器閱卷，在系統(tǒng)中勾選后，可以直接合計得到有效問題數m、問題類型數n、是否有新穎性問題y（有則y=1，無則y=0）、深刻度d4、清晰度d5，自動算出本題的得分S=A（w1mM+w2nN+w4d4+w5d5）+25%Ay。當然，為了避免數據過于細碎，可以設定精確度（如1分或0.5分），讓計算機自動取舍。

如果尚未采用機器閱卷，可以在表4下端增加一個合計欄，讓閱卷者按規(guī)則賦分。同時，可以在匯總數據下面給出對應的分值，以減輕閱卷者的計算量。

3697500338265