毛宇佳

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想作為重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中有著廣泛的應(yīng)用。要運用好數(shù)形結(jié)合思想方法，需要教師掌握其特點和運用原則，注重從數(shù)學(xué)概念教學(xué)、提高學(xué)生解題能力、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣等方面進行運用，重視在教學(xué)中挖掘、滲透和提煉數(shù)形結(jié)合的思想方法，促進數(shù)學(xué)教學(xué)成效的提高和學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;初中數(shù)學(xué);教學(xué)策略

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ?【文獻標(biāo)識碼】A ? ? ? ? ? ? 【文章編號】1005-8877（2022）01-0037-03

Research on the Application of the Idea of Combination of Number and Shape in Junior High School Mathematics Teaching

MAO Yujia ?（Taiyan Middle School， Yuhang District， Hangzhou City， Zhejiang Province， China）

【Abstract】As an important mathematical thinking method， the idea of combining number and shape has a wide range of applications in mathematics teaching and student problem-solving. To use the thinking method of combining number and shape well， teachers need to master its characteristics and principles of application， focusing on teaching mathematics concepts， improving students’ ability to solve problems， cultivating students’ mathematical thinking， and stimulating students’ interest in learning mathematics， pay attention to mining， infiltrating and refining the combination of numbers and shapes in teaching， in order to promote the improvement of mathematics teaching effectiveness and the development of students' core literacy in mathematics.

【Keywords】Combination of number and shape; Junior high school mathematics; Teaching strategy

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)與解題過程中有著非常廣泛的應(yīng)用，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說，“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好”，把數(shù)學(xué)結(jié)合思想運用到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論對提高數(shù)學(xué)課程教學(xué)成效，還是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力都有著重要的價值，因此教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，從多種途徑加強實踐運用，才能使其發(fā)揮重要作用。

1.數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵及其運用原則

（1）數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵與特點

數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵是指把數(shù)學(xué)中的代數(shù)知識與幾何圖形知識有機結(jié)合，利用各自的特點和優(yōu)勢，快捷、容易地解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想與方法。其中“數(shù)”可拓展到代數(shù)、算式、數(shù)字、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理與性質(zhì)等方面;“形”可拓展到平面與空間幾何圖形、圖表、實物、符號等方面。“數(shù)”與“形”通過一定條件的互相聯(lián)系，并且在一定條件下能夠互相轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合思想方法具有形象性、直觀性、又向性的特點。

（2）數(shù)形結(jié)合思想的運用原則

要想提高數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)和解題中的運用效果，需要堅持科學(xué)正確的運用原則：

第一，堅持等價原則。數(shù)形結(jié)合思想的運用需要建立在代數(shù)和幾何圖形性質(zhì)相互等價的基礎(chǔ)上，并非任何數(shù)學(xué)問題都能運用，否則就會出現(xiàn)解題不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}。

第二，堅持雙向原則。數(shù)形結(jié)合思想的運用要堅持“數(shù)”與“形”能夠互相轉(zhuǎn)化、互相滲透的原則，這樣才能有效解釋數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系，有利于解決數(shù)學(xué)問題。

第三，堅持簡單原則。數(shù)形結(jié)合思想方法的運用，要有利于使抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單化，從而有利于提高解題的效率與準(zhǔn)確性。

2.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用價值

（1）利用數(shù)形結(jié)合思想激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

由于數(shù)學(xué)知識具有抽象性和復(fù)雜性的特點，造成許多學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺少興趣，特別是有些難度的數(shù)學(xué)題更是讓學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，導(dǎo)致學(xué)習(xí)動力不足，制約了學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提升。如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合思想，就能把抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)問題變得形象直觀，使學(xué)生容易理解、掌握所學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)解題能力，能給學(xué)生帶來成功的體驗，有利于轉(zhuǎn)變學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和動力，從而為提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效奠定良好的基礎(chǔ)。

例1：在學(xué)習(xí)多項式乘多項式時，如果直接進行多項式的相乘法則講解，學(xué)生面對抽象的字母和數(shù)字組成的多項式，會讓學(xué)生產(chǎn)生枯燥、抽象的感覺，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也不利用學(xué)生記憶這些運算法則，如果運用圖形配合多項式的講解，就能使枯燥、抽象的字母或數(shù)字運算變得形象直觀，使學(xué)生容易理解掌握運算法則，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)多項式相乘的特點與規(guī)律。如計算（a+b）（m+n）時 ，可借助于圖1進行理解，能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個多項式相乘就是四個長方形的面積之和，這樣既直觀又容易理解，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（2）利用數(shù)形結(jié)合思想加深數(shù)學(xué)概念理解

要想學(xué)好數(shù)學(xué)知識掌握概念與規(guī)律是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念與規(guī)律還是進行數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)和起點，由于數(shù)學(xué)概念與規(guī)律包含許多知識點，是經(jīng)過多次抽象而形成的結(jié)論，具有高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，如果讓學(xué)生單純地從語言文字進行理解，會給學(xué)生帶來較多的困難。如果利用數(shù)形結(jié)合思想，從“數(shù)”和“形”兩個方面去理解，就能讓學(xué)生容易理解數(shù)學(xué)概念與規(guī)律的內(nèi)涵與本質(zhì)，也有利于學(xué)生掌握和記憶數(shù)學(xué)概念與規(guī)律的性質(zhì)及其相互聯(lián)系，能構(gòu)建完整的知識體系。

例2：由于一元二次方程和二次函數(shù)屬于兩個不同的數(shù)學(xué)概念，為了讓學(xué)生真正理解兩個數(shù)學(xué)概念，掌握它們之間的相互聯(lián)系，可利用數(shù)形結(jié)合思想，借助于二次函數(shù)圖像，讓學(xué)生深刻理解兩個數(shù)學(xué)概念，很容易發(fā)現(xiàn)兩者之間的密切聯(lián)系。假設(shè)二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a>0）]的圖像如圖2所示，通過分析圖像與x軸的三種位置關(guān)系（相離、一個交點、兩個交點），就能使二次函數(shù)與一元二次方程相聯(lián)系，二次函數(shù)圖像的三種位置關(guān)系對應(yīng)一元二次方程解的三種情況（無實根、兩個相等實根、兩個不相等實根，并且圖像與x軸的交點，就是方程的根）和判別式[b2-4ac]的三種情況（<0、=0、>0）。通過運用數(shù)形結(jié)合思想，不但能讓學(xué)生加深對一元二次方程與二次函數(shù)概念的理解，還能把兩者有機結(jié)合起來，這樣學(xué)生在遇到函數(shù)問題或方程問題時，就能通過相互轉(zhuǎn)化，拓展解題思路，從而快速解決問題。

（3）利用數(shù)形結(jié)合思想提高數(shù)學(xué)解題能力

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)，把數(shù)形結(jié)合思想運用到學(xué)生的數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，能夠把抽象的數(shù)學(xué)問題變得形象直觀、使復(fù)雜的問題變得簡單容易，使學(xué)生非常容易找到解決問題的方法，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

例3：已知[a]、[b]均是大于0的正數(shù)，且[a+b=6]，求：[a2+4+b2+9]的最小值。

解析：對于這樣代數(shù)求最小值的問題，大多數(shù)初中生不容易直接通過代數(shù)運算的方式求出結(jié)果，如果借助數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)換解題思路，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題，構(gòu)建兩個直角三角形的斜邊，這樣此題就容易求解。可構(gòu)建如圖3所示的圖形，從圖中可看出把此問題變成了求解MN+NP線段的最小值的問題，也就是MP兩點之間的最短距離的問題。通過做輔助線，求出⊿MQP的斜邊MP就是代數(shù)式的最小值。[MP=AQ2+QP2=52+62=61]，可見通過數(shù)形轉(zhuǎn)換，使該問題比較容易求解。

（4）利用數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題能力，需要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合思想方法，可以從“數(shù)”和“形”兩個方向認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)知識，可以用形象思維理解抽象的代數(shù)問題，有利于發(fā)展學(xué)生的直覺思維?？梢杂么鷶?shù)的抽象思維理解圖形問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

例4：比較[1m]與[m]的大小。

解析：雖然比較兩個代數(shù)式大小的方法有多種方法，但都比較煩瑣，如果運用數(shù)形結(jié)合思想方法，通過構(gòu)建兩個函數(shù)，借助于圖形的直觀性就容易解決此問題?？蓸?gòu)造兩個函數(shù)：[y1=1x]，[y2=x]，將兩個函數(shù)的圖像放在同一坐標(biāo)系中，如圖4所示，就能形象直觀地看出：

當(dāng)[m=±1]時，[1m=m];當(dāng)[m<-1]或[0<m<1]時，[1m>m];當(dāng)[-1<m<0]或[m>1]時， [1m<m]。運用數(shù)形結(jié)合思想方法，不僅使解題變得非常簡單，而且還打破了學(xué)生的思維定式，培養(yǎng)了學(xué)生的思維發(fā)散能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加靈活。

3.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用策略

（1）加強數(shù)學(xué)教材內(nèi)容研究，挖掘數(shù)形結(jié)合思想素材

雖然數(shù)形結(jié)合思想方法是重要的數(shù)學(xué)知識，但教材并沒有用單獨的章節(jié)介紹數(shù)形結(jié)合思想方面的內(nèi)容，這些知識都隱含在教材各章節(jié)的知識中，要對學(xué)生開展數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)，需要教師加強對教材內(nèi)容的研究分析，全面挖掘教材知識中包含的數(shù)形結(jié)合思想方法素材，才能為課堂教學(xué)提供豐富的教學(xué)資源。例如，在“有理數(shù)”這一章中，把有理數(shù)在數(shù)軸上表示，在數(shù)軸上表示絕對值，有理數(shù)加減乘除運算等都包含著“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想素材;在勾股定理、位置與坐標(biāo)、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式、反比例函數(shù)圖像及應(yīng)用、一元二次方程、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、完全平方公式、三角形內(nèi)角和與面積、統(tǒng)計圖形分析、相似三角形性質(zhì)與判定、成比例線段等知識中都包含著豐富的數(shù)形結(jié)合思想方法的素材，充分挖掘這些素材才能為教學(xué)提供豐富的資源。

（2）加強數(shù)形結(jié)合思想滲透，重視數(shù)學(xué)解題應(yīng)用訓(xùn)練

由于數(shù)學(xué)思想方法是高度抽象和濃縮的數(shù)學(xué)知識，要真正理解掌握其本質(zhì)和精髓，并能做到熟練運用，需要教師在平時的教學(xué)中，有目的、有意識地加強數(shù)形結(jié)合思想方法教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計，重視對數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透教學(xué)，使學(xué)生養(yǎng)成自覺運用數(shù)形結(jié)合思想方法的意識。要加強數(shù)形結(jié)合思想方法運用的解題應(yīng)用訓(xùn)練，才能不斷提高運用數(shù)形結(jié)合思想方法解題的能力。首先，加強模仿應(yīng)用訓(xùn)練。就是參照教材和教師所講例題中數(shù)形結(jié)合運用的例子，進行模仿解題訓(xùn)練，讓學(xué)生初步了解數(shù)形結(jié)合思想方法運用的基本方法步驟，體會數(shù)形結(jié)合思想方法的本質(zhì)內(nèi)涵;其次，自主解題訓(xùn)練。就是讓學(xué)生開始自主進行數(shù)形結(jié)合思想方法解題訓(xùn)練，逐漸掌握數(shù)形結(jié)合思想方法的運用技巧。

（3）加強數(shù)形結(jié)合思想總結(jié)，積累數(shù)形結(jié)合運用經(jīng)驗

要提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想方法的運用能力，需要進行長時間的總結(jié)和積累運用經(jīng)驗，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重指導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題訓(xùn)練中不斷總結(jié)運用技巧、積累運用經(jīng)驗，才能使學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想方法運用能力得到提升。例如，在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)[y=kx+b（k≠0）]知識后，可從對① [k>0]情況下：[b=0]、[b>0]、[b<0]時和② [k<0]情況下：[b=0]、[b>0]、[b<0]時的“數(shù)”（函數(shù)解析式）、“形”（函數(shù)圖像）和函數(shù)性質(zhì)三個方面的關(guān)系進行總結(jié);同樣也可對二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]在[a>0]、[a<0]、[a=0]不同情況下的“數(shù)”“形”“性質(zhì)”進行歸納總結(jié)。通過歸納總結(jié)，就能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)中包含的數(shù)形結(jié)合思想方法，使學(xué)生在數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中熟知不同情況下的數(shù)形結(jié)合運用技巧，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

4.結(jié)語

總之，把數(shù)形結(jié)合思想方法用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是提高課程教學(xué)成效，還是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都具有重要的意義，因此教師要注重全面挖掘教材中的數(shù)形結(jié)合思想運用事例，加強數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透教學(xué)，重視歸納總結(jié)數(shù)形思想運用技巧，從多方面發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想方法的作用，促進初中數(shù)學(xué)教學(xué)成效的提高，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到全面發(fā)展。

參考文獻

[1]黎家能.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].讀書文摘，2016（20）.

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