周偉萍

[摘? 要] 初中數(shù)學對于拓展學生的數(shù)學思維意義重大，但卻受到應(yīng)試教育的制約，從而需要教師從現(xiàn)實需求出發(fā)，有目的、有針對地加以培養(yǎng). 研究者從自身的教學實踐出發(fā)，提出以下培養(yǎng)拓展性思維的途徑：激趣引思，為培養(yǎng)拓展性思維做好準備;優(yōu)質(zhì)變式，孕育拓展性思維;一題多解，培養(yǎng)拓展性思維.

[關(guān)鍵詞] 拓展性思維;培養(yǎng);初中數(shù)學;變式;一題多解

隨著新課程改革的不斷深化，教育領(lǐng)域大力提倡素質(zhì)教育，期待提高學生各個方面的素養(yǎng). 相較于小學數(shù)學，初中數(shù)學的抽象性、邏輯性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性更強，需要學生具有一定的自主思考能力. 為了讓學生學好初中數(shù)學知識，教師得不斷改良教學模式，充分調(diào)動學生的積極性，關(guān)注學生的思維，通過反復(fù)實驗和不斷反思實現(xiàn)創(chuàng)造性教學，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，促進學生的全面發(fā)展. 初中數(shù)學對于拓展學生的數(shù)學思維意義重大，但卻受到應(yīng)試教育的制約，從而需要教師從現(xiàn)實需求出發(fā)，有目的、有針對地加以培養(yǎng). 下面筆者就數(shù)學教學中的一些具體實例談?wù)勅绾芜\用適當?shù)慕虒W策略來培養(yǎng)學生的拓展性思維.

激趣引思，為培養(yǎng)拓展性思維做好準備

對于一些數(shù)學問題，不少學生初感奇異，一旦繼續(xù)深入探究，便發(fā)現(xiàn)其還具有趣味性和挑戰(zhàn)性. 這些既可以激起學生興趣，又可以拓展思維能力的問題是值得教師充分挖掘的有效資源. 但在具體的教學實踐中，我們也可以發(fā)現(xiàn)不少教師在備課時或關(guān)注到教學的流暢性，或關(guān)注到學習的積極性，選擇一些簡單易懂的試題來設(shè)計課堂練習，而往往忽視對學生拓展性思維的培育，造成了學生思維活力明顯不足，一旦遇到難題就思維卡殼. 因此，在教學中，教師需深鉆教材，挖掘資源，探尋到一些可以激發(fā)學生興趣的挑戰(zhàn)性問題，以此引領(lǐng)學生深度探索，讓學生在興趣盎然中步步深入地思考，為拓展性思維的發(fā)展助力.

案例1 以“二次根式”的教學為例

針對這一課題，筆者深度思考，并精心設(shè)計了如下問題：

求值：.

師：大家看到這樣一道習題有何感受？（學生在讀題后，陷入短暫的思考）

生1：這道題目好奇怪啊！

生2：這個題目可解嗎？

生3：我感覺太難了.

師：有困難不要怕，我們要想辦法克服困難. 其實，這道題如果用換元法來解決，會不會讓我們有點思路呢？（學生在教師的啟發(fā)下，進入深度思考狀態(tài)，一段時間后，有學生有了想法）

生4：我明白了，可以利用整體思想來解決本題.

師：能具體說一說嗎？

生4：現(xiàn)設(shè)結(jié)果是t，再等式兩邊平方得出方程來求解.

即t=，等式兩邊平方，可得t2=2019t，解得t=2019，t=0（舍去）.

所以=2019.

師：他的解析精彩嗎？你們有沒有明白？（學生均點頭表示理解）

師：根據(jù)本題，還可以得出什么結(jié)論？（學生又一次陷入思考，并小聲討論）

生5：當t為任意自然數(shù)時，有=t.

……

探究與發(fā)現(xiàn)對于學生的數(shù)學學習十分重要，給學生一個思考空間，他們會還你一個靈動的、活躍的思維. 本題作為一道挑戰(zhàn)性問題，在考試中一般不會呈現(xiàn)，但題目不管是形式，還是求解的過程都具有一定的思維性，可以點燃學生拓展性思維的火花，讓學生在思維浪潮中摸爬滾打，逐步朝著一個更高層次的方向躍進. 同時，本題對方程思想與整體思想的滲透性極強，通過解決問題，可以讓學生切實理解潛藏的數(shù)學思想方法，將其內(nèi)化為自身的素養(yǎng)和能力.

優(yōu)質(zhì)變式，孕育拓展性思維

想要培養(yǎng)學生的拓展性思維，不僅需要引發(fā)學生的探究興趣，還需要讓學生掌握在變化問題中探尋規(guī)律、方法的策略. 當然，數(shù)學教學中的變式訓練較為普遍，教師也能嫻熟運用，但是一般性的變式訓練僅能幫助學生快速理清知識，對于學生拓展性思維的發(fā)展并無太大的促進作用. 尤其是僅變化問題的數(shù)據(jù)或互換條件、結(jié)論這種同一思維水平上的變式，對于學生思維能力的提升毫無裨益. 因此，教師需要深鉆教材、了解學情，對學生的最近發(fā)展區(qū)了如指掌，并以此為指引來精心設(shè)計優(yōu)質(zhì)變式問題，通過具有層次性和思維性的變式問題來促進學生拓展性思維的發(fā)展.

案例2 關(guān)于“數(shù)與式”問題的恒等變形

事實上，這一課題是教學的重難點，教師唯有在日常教學中一以貫之地加以滲透，才能促進學生更好地理解和領(lǐng)悟. 基于此，筆者設(shè)計了如下變式題組：

問題1：已知3x3-x=1，試求出9x4+12x3-3x2-7x+2015的值.

問題2：已知a+b=x+y=2（a，b，x，y均為實數(shù)），ax+by=5，試求出（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值.

問題3：已知a<b<0，a2+b2=4ab，試求出的值.

問題4：已知a2+ab+b2=1（a，b均為實數(shù)），若t=ab-a2-b2，試求出t的取值范圍.

縱觀以上變式題組中的4個問題，不論是方法還是過程仿佛都無太大關(guān)聯(lián)，而事實上這類問題都不約而同地滲透了方程、整體代換等數(shù)學思想. 更重要的是，通過逐步提升難度為學生的數(shù)學思維不斷供給能量，極好地拓展了學生的思維空間，讓學生通過對問題的體察與探索，更好地形成技能、發(fā)展能力. 學生在這樣的優(yōu)質(zhì)變式訓練中，不斷整理自己的思維，不斷獲得滿滿的成就感，在培養(yǎng)拓展性思維的同時極好地發(fā)展了創(chuàng)新思維能力.

一題多解，培養(yǎng)拓展性思維

多解，體現(xiàn)的就是不唯一、不固定的形式，多樣化的答案就是“一題多解”的標志性特征，是培養(yǎng)學生發(fā)散性思維和拓展性思維的好方法. 數(shù)學教學的根本任務(wù)就是促進學生素質(zhì)的全面發(fā)展，對于一節(jié)課而言，如果僅僅是讓學生習得某個知識點、獲取一些知識技能，那么自然是遠遠不夠的，還需要通過創(chuàng)新教學過程來拓展學生的思維. 一題多解的教學，可以很好地撩撥學生的思維神經(jīng)，培養(yǎng)學生思維的活躍性、靈活性和拓展性. 因此，在日常教學中，當學生對常規(guī)方法已經(jīng)了然于胸時，教師就需要通過點撥、追問等方式，讓學生去探尋更多的非常規(guī)方法，從而更好地訓練思維、開闊視野，感受數(shù)學問題的神奇魅力.

案例3 如圖1，已知四邊形ABCD中，有∠A=∠B=60°，AD=10，BC=8，CD=12，求AB的長.

分析 觀察圖1，我們不難發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD就是一個不規(guī)則的四邊形，而回到條件，我們又能找到特殊條件∠A=∠B=60°，這也為后續(xù)的解題提供了契機. 進一步思考，本題該如何從60°的角著手去做文章呢？自然是以其為視角來作輔助線，讓四邊形ABCD在分割或補形之后變成一個三角形或者一個特殊的四邊形，再進一步求解. 正是因為本題中的這些特質(zhì)，所以學生在思考時發(fā)散思維，可以想到不同的作輔助線的方式，從而通過不同的方法探究得出相同的結(jié)果AB=9+. 具體解法如下：

方法1：如圖2，將其形補成一個等邊三角形.

方法2：如圖3，將其形補成一個平行四邊形.

方法3：如圖4，將其形補成一個矩形.

方法4：如圖5，將其分割為直角三角形與矩形.

一題多解，不僅可以激發(fā)學生的興趣，還利于知識的深化和思維的拓展，長期進行這樣的訓練，可以讓學生探尋到一類問題的解法與規(guī)律，在總結(jié)解題經(jīng)驗的過程中真正意義上活躍思維，將領(lǐng)悟的思想方法與多解相結(jié)合，縱橫馳騁于數(shù)學世界中. 以上案例中，教師通過提供一題多解的訓練來引導學生多角度、多方位分析和思考問題，使其克服了思維定式帶來的不利因素，有效展拓解題思路，同時促進了知識遷移，最終讓學生學會靈活解決千變?nèi)f化的數(shù)學問題. 在這樣的一題多解氛圍下，課堂氣氛明顯活躍了，學生都能自主地苦思冥想不同的解題方法，大大地提高了他們的思維能力與解題技巧，這顯然是值得欣喜的.

總之，想要讓學生的思維得到更深層次的發(fā)展，關(guān)鍵在于教師能否發(fā)揮好自身的主導作用，借助一題多變、一題多解等訓練循序漸進地加以培養(yǎng)，讓學生充分感受到數(shù)學的無限可能，從而以開放的視野、探究的精神、自由的心態(tài)去深度思考數(shù)學，在獲得知識進階的同時實現(xiàn)思維的進階.