虢小鵬

摘 要：“圓”這一單元在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”板塊有著重要的地位，學(xué)生對(duì)于圓的面積推導(dǎo)的學(xué)習(xí)，相比直邊圖形的面積推導(dǎo)要困難許多。課程標(biāo)準(zhǔn)這種對(duì)圓的面積的學(xué)習(xí)目標(biāo)的要求是“探索”和“掌握”——探索并掌握?qǐng)A的面積公式，也就是要求學(xué)生對(duì)圓的面積公式進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)圓與已學(xué)過(guò)的平面圖形存在的聯(lián)系和區(qū)別，從而找到探究的方向和思路，獲得理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)識(shí)。在探究過(guò)程中，教師需要制定科學(xué)的“任務(wù)量表”，以便掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：圓的面積;表現(xiàn)性;任務(wù)評(píng)價(jià);量規(guī)

中圖分類(lèi)號(hào)：G62? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1673-9132（2022）12-0148-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2022.12.050

數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)在某種程度上是由“交流”構(gòu)成的，是學(xué)習(xí)者與數(shù)學(xué)問(wèn)題的交流、與自身的交流、與同伴的交流。高質(zhì)量的交流源于互動(dòng)式的數(shù)學(xué)活動(dòng)，而承載這些活動(dòng)的，是教師精心設(shè)計(jì)的具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，使學(xué)生借此去真研究，真思考，真理解。

在課堂教學(xué)中使學(xué)生形成積極正確的數(shù)學(xué)情感態(tài)度與價(jià)值觀，是現(xiàn)今小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要目標(biāo)。而達(dá)成這一目標(biāo)的關(guān)鍵，一是教師依據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)科學(xué)的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生自主去探究;二是教師課前設(shè)計(jì)好教學(xué)任務(wù)后，要預(yù)設(shè)出與之相適應(yīng)的能夠反應(yīng)出學(xué)生學(xué)習(xí)表現(xiàn)的評(píng)價(jià)量規(guī)。教師憑借這個(gè)“量規(guī)”掌握學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等的學(xué)習(xí)情況，以及發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的水平，從而更好地去組織教學(xué)，并及時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)策略。下面以六年級(jí)“圓的面積”一課中的探索教學(xué)環(huán)節(jié)為例，探討、分析表現(xiàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)及其量規(guī)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐。

一、從概念本質(zhì)出發(fā)，設(shè)計(jì)有挑戰(zhàn)的表現(xiàn)性任務(wù)

數(shù)學(xué)課堂中表現(xiàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)要具備問(wèn)題情境性和一定的難度，任務(wù)的最終目標(biāo)是讓學(xué)生達(dá)成較高水平的數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)結(jié)果，如多樣的解決問(wèn)題的方法或情感態(tài)度價(jià)值觀的培養(yǎng)。在小學(xué)階段，表現(xiàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)要能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，同時(shí)遵循教育規(guī)律，瞄準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)，并適當(dāng)加以教學(xué)留白，從而有助于學(xué)生自主思考、交流探討，進(jìn)而引發(fā)思維的碰撞。

（一）根據(jù)面積本質(zhì)來(lái)設(shè)計(jì)任務(wù)

面積是二維概念，學(xué)生應(yīng)先了解其度量意義：一是將邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形作為面積單位;二是“運(yùn)動(dòng)不變性”，即圖形經(jīng)過(guò)有限次的平移、旋轉(zhuǎn)后面積大小不變;三是“有限可加性”，即兩個(gè)不重疊的圖形合并后的圖形的面積，等于這兩個(gè)圖形的面積之和。

“圓”這一單元的學(xué)習(xí)，是學(xué)生對(duì)“形”的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，由“直邊”進(jìn)入“曲邊”的重要一步，數(shù)學(xué)思想從“有限”踏入“無(wú)限”的重要一環(huán)。學(xué)生在直邊圖形面積公式推導(dǎo)過(guò)程中所掌握的“化歸思想”，在圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)中同樣適用;學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中，需要實(shí)現(xiàn)化曲為直、有限和無(wú)限、近似和精確的轉(zhuǎn)換，這是一個(gè)科學(xué)辯證過(guò)程。

在圓的面積公式的推導(dǎo)環(huán)節(jié)，教師要結(jié)合其本質(zhì)特性，設(shè)計(jì)有助于學(xué)生思維發(fā)散的學(xué)習(xí)任務(wù)，使學(xué)生通過(guò)數(shù)方格、剪拼等方式，將圓轉(zhuǎn)化成已知的圖形，從而引導(dǎo)學(xué)生感受化曲為直的研究策略，感悟極限思想和轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力（既有演繹，又有歸納）以及空間想象能力。

（二）設(shè)計(jì)的任務(wù)要有助于不同水平學(xué)生的發(fā)展

圓的面積的教學(xué)是教師在學(xué)生認(rèn)識(shí)了圓的特征及其本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，因此在講解圓的面積的知識(shí)之前，教師要準(zhǔn)確掌握學(xué)生已有的知識(shí)能力水平，深化學(xué)生對(duì)圓的各部分與圓的面積之間的聯(lián)系（半徑?jīng)Q定圓的大?。┑恼J(rèn)知，還要加深對(duì)圓的面積相關(guān)因素的分析（半徑、直徑、周長(zhǎng)），同時(shí)對(duì)探究圓的面積公式的方案要進(jìn)行細(xì)致的指導(dǎo)。

新課開(kāi)始時(shí)，教師要讓學(xué)生復(fù)習(xí)長(zhǎng)方形、平行四邊形的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，總結(jié)出探索圖形面積的基本策略是數(shù)方格，將其轉(zhuǎn)化為已知圖形，并讓學(xué)生進(jìn)一步回憶平行四邊形的面積公式的探索過(guò)程，得出剪拼、觀察、推理的活動(dòng)步驟。

教師設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)任務(wù)要讓不同層次的學(xué)生都能動(dòng)手操作，并呈現(xiàn)出不同的思維方式，使學(xué)生在合作互助和思維碰撞中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的獲取和情感的愉悅。班級(jí)中不同層次的學(xué)生的思維深度與廣度是不同的，通過(guò)對(duì)他人想法的傾聽(tīng)和不同思維的碰撞，學(xué)生會(huì)更有興趣去探究，從而完善自己的思考方式，加深對(duì)圓的面積公式的理解。

基于對(duì)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的思考能力，教師設(shè)計(jì)“圓的面積”一課時(shí)的表現(xiàn)性任務(wù)時(shí)，可以向?qū)W生提出以下問(wèn)題：回憶之前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，你能否設(shè)計(jì)一個(gè)方案來(lái)推導(dǎo)出圓的面積公式？可以用數(shù)、剪、拼、畫(huà)等方法表現(xiàn)你的設(shè)想，并說(shuō)明你的理由。你在研究過(guò)程中有什么疑惑？學(xué)生可以先獨(dú)立完成，然后在小組中進(jìn)行交流，最后在全班進(jìn)行匯報(bào)分享。

二、針對(duì)表現(xiàn)性任務(wù)的評(píng)價(jià)量規(guī)設(shè)計(jì)

表現(xiàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)有一定的難度和復(fù)雜性，學(xué)生的學(xué)習(xí)不能簡(jiǎn)單地選擇“接受”或“不接受”，而是有一定的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程。教師的評(píng)價(jià)也不能是簡(jiǎn)單的“對(duì)”或“錯(cuò)”，而是應(yīng)該在課前對(duì)不同層次的學(xué)生可能達(dá)到的水平進(jìn)行預(yù)設(shè)，制定不同的評(píng)價(jià)量規(guī)，依此來(lái)調(diào)控課堂，評(píng)判學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)況。

綜合型的量規(guī)與指向特定學(xué)習(xí)任務(wù)的量規(guī)是兩種常用的課堂活動(dòng)監(jiān)測(cè)工具，“圓的面積”一課運(yùn)用的是指向特定學(xué)習(xí)任務(wù)的量規(guī)。一個(gè)應(yīng)用性、規(guī)范性強(qiáng)的評(píng)價(jià)量規(guī)應(yīng)該由四個(gè)部分組成：表現(xiàn)維度、表現(xiàn)等級(jí)、描述符和表現(xiàn)樣例。表現(xiàn)維度指學(xué)生完成任務(wù)過(guò)程中的不同階段的表現(xiàn);表現(xiàn)等級(jí)指圍繞任務(wù)目標(biāo)學(xué)生能達(dá)到的不同水平程度;描述符指針對(duì)學(xué)生不同水平程度的表現(xiàn)行為的具體描述，以此來(lái)對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行打分;表現(xiàn)樣例則指每一水平的學(xué)生的作品或者外顯的思維（口頭描述）。這種分維度、分等級(jí)、有評(píng)價(jià)要素的量表，有助于教師診斷教學(xué)和學(xué)生的自我評(píng)價(jià)。

在具體的操作過(guò)程中，教師課前（備課中）對(duì)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的層次水平要做到心中有數(shù)，如水平較高的學(xué)生能夠完成什么任務(wù)，水平相對(duì)不足的學(xué)生又能達(dá)到什么學(xué)習(xí)程度，最后確定不同等級(jí)的數(shù)目（一般3-5個(gè)左右），同時(shí)匹配上各水平的“描述符”，即可形成一份指向特定任務(wù)的評(píng)價(jià)量規(guī)。

下面以“探究圓的面積公式”這一表現(xiàn)性任務(wù)為例，對(duì)評(píng)價(jià)的指標(biāo)、要素和整體的評(píng)價(jià)量規(guī)進(jìn)行具體說(shuō)明。

小學(xué)階段對(duì)“無(wú)限”概念的傳授，一是用有限的動(dòng)態(tài)方式來(lái)體現(xiàn)無(wú)限的過(guò)程，如“兩條直線(xiàn)永不相交”;二是用極限的方法來(lái)處理無(wú)限，如圓的周長(zhǎng)和面積探索。

在將圓進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作（數(shù)、剪、拼），能夠直觀經(jīng)歷極限的想象過(guò)程，也就是在觀察“有限分割”的基礎(chǔ)上，去想象“無(wú)限分割”。不同層次的學(xué)生在交流中互相啟發(fā)，從而使各自的思維達(dá)到更深層次。

學(xué)生在觀察過(guò)程中發(fā)現(xiàn)正方形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，正方形的面積等于圓的半徑的平方。圓的面積與正方形的面積的倍數(shù)關(guān)系就是圓的面積與它的半徑的平方的倍數(shù)關(guān)系。得出結(jié)論：“圓的面積是它的半徑的平方的3倍多一些”，也就是圓的面積大約等于r×r×π。

三、評(píng)價(jià)量表要以達(dá)成教學(xué)目標(biāo)為初衷

教師要根據(jù)所設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)量規(guī)去觀察、診斷學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，并讓學(xué)生進(jìn)行交流和討論，引發(fā)學(xué)生更深層次的思考。同時(shí)教師也要進(jìn)行引導(dǎo)和提示，促使學(xué)生更好地達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)。

學(xué)生在自主研究完“圓的面積公式”后，就進(jìn)入作品交流展示環(huán)節(jié)。一般來(lái)說(shuō)，此環(huán)節(jié)中，教師基本有三種策略：一是按照學(xué)生從低到高的水平分析作品;二是展示最高水平的成果，再對(duì)比低水平成果中存在的問(wèn)題，并進(jìn)行完善和調(diào)整;三是同時(shí)對(duì)比、分析不同水平的成果，組織學(xué)生討論其相同點(diǎn)和缺憾?！皥A的面積”一課應(yīng)采取第二種策略，使學(xué)生在思維的碰撞中擦出靈感的火花，更深入地探究圓的面積與半徑之間的關(guān)系，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓不同層次的學(xué)生在交流、討論的過(guò)程中都能有所思、有所得。

本課中，學(xué)生的思維難點(diǎn)在于“為什么最終會(huì)是一個(gè)長(zhǎng)方形”，在學(xué)生看來(lái)，有限的等分成小扇形后，它們的弧依然是曲邊，拼成的近似長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是一條曲線(xiàn)。因此教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行想象：當(dāng)?shù)确值姆輸?shù)趨向于無(wú)限的時(shí)候，拼成的圖形才越來(lái)越接近長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形就是這個(gè)“無(wú)限圖形”的終極形態(tài)。

圓的面積公式的推導(dǎo)有其特殊性，需要學(xué)生經(jīng)歷“化曲為直”操作過(guò)程，感悟“極限思想”的內(nèi)涵，在有限和無(wú)限、近似和精確中轉(zhuǎn)換思維。教師在教學(xué)前要找準(zhǔn)學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn);教學(xué)中要及時(shí)掌握學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)，讓學(xué)生參與連貫的、系統(tǒng)的推導(dǎo)過(guò)程;教學(xué)后要讓學(xué)生在知識(shí)與技能方面進(jìn)行實(shí)踐，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、思想、方法等來(lái)解釋現(xiàn)象，解決問(wèn)題。

四、結(jié)語(yǔ)

評(píng)價(jià)量規(guī)的研制，對(duì)于教師有效組織教學(xué)有著深遠(yuǎn)的意義。量規(guī)的“研制”對(duì)教師的基本功有著較高的要求：清晰準(zhǔn)確地把握教學(xué)目標(biāo)，思考有助于學(xué)生多元思維的表現(xiàn)性任務(wù)，對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行分類(lèi)、研判，從而及時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)。

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[責(zé)任編輯 康蘭明]