汪開(kāi)軍

【摘要】度量是小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容，能發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生的“量感”與“數(shù)感”。以面積的度量為例，這一知識(shí)在實(shí)際教學(xué)中存在著忽略度量核心要素的現(xiàn)象，容易造成學(xué)生“量感”的混亂與“數(shù)感”的不精確。鑒于此，可嘗試以“面積單位”和“計(jì)數(shù)個(gè)數(shù)”兩個(gè)核心要素一以貫之，從“長(zhǎng)方形的面積”理解本質(zhì)，到“多邊形的面積”類(lèi)比遷移，再到“圓的面積”整體建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)面積度量本質(zhì)相通。

【關(guān)鍵詞】面積度量;量感;核心要素;度量本質(zhì)

一、聚焦核心，思“面積度量”的結(jié)構(gòu)

1.教材分析：教材邏輯結(jié)構(gòu)對(duì)教師教學(xué)的影響。筆者對(duì)人教版、北師大版和蘇教版教材中關(guān)于面積度量的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了梳理分析，發(fā)現(xiàn)三個(gè)版本的教材推進(jìn)面積度量的教學(xué)結(jié)構(gòu)是一致的，都分為“長(zhǎng)方形的面積”“多邊形的面積”和“圓的面積”，并安排在三個(gè)年級(jí)進(jìn)行教學(xué)。在具體的教學(xué)建議方面，三者既有相同又有差異，主要體現(xiàn)在面積單位（或方格紙）的使用上。人教版教材使用最少，只在長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積中出現(xiàn)了面積單位;蘇教版教材用得最充分，在整個(gè)面積度量的教學(xué)中都用到了面積單位。在對(duì)面積單位的價(jià)值追求上，三個(gè)版本的教材都是在“長(zhǎng)方形的面積”教學(xué)中讓學(xué)生理解面積度量的本質(zhì)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)面積單位的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)和寬的關(guān)系，從而得到長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。關(guān)于“多邊形的面積”，三個(gè)版本的教材都試圖借助方格紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積與底和高之間的關(guān)系，滲透轉(zhuǎn)化的思想方法;至于“三角形和梯形的面積”，基本上是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法進(jìn)行面積計(jì)算公式的推導(dǎo)。關(guān)于“圓的面積”，人教版教材不再呈現(xiàn)面積單位，另兩個(gè)版本的教材則是以“面積單位無(wú)法精確度量圓的面積”這樣一個(gè)問(wèn)題制造思維沖突，讓學(xué)生去探索得到圓的面積計(jì)算公式的新路徑。

從以上分析中可以發(fā)現(xiàn)，三個(gè)版本的教材都在推進(jìn)面積度量的教學(xué)過(guò)程中逐漸淡化了面積度量的本質(zhì)，突出了面積計(jì)算公式的推導(dǎo)。但脫離面積單位談面積單位的個(gè)數(shù)容易影響學(xué)生“量感”的發(fā)展，特別是人教版教材中平行四邊形的面積一課，要求“不滿(mǎn)一格的都按半格計(jì)算”的數(shù)法不利于培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”，因?yàn)榻滩乃峁┑钠叫兴倪呅卧诜礁窦堉袑⒉粷M(mǎn)一格的通過(guò)切拼之后正好都是完整的面積單位，與按半個(gè)計(jì)算的結(jié)果是相同的，但當(dāng)遇到切拼之后不能組成完整的面積單位時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)數(shù)的結(jié)果與實(shí)際結(jié)果不一致的情況。而且分三個(gè)階段教學(xué)面積的度量，加之教師教哪個(gè)年級(jí)只關(guān)注那個(gè)年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)習(xí)慣，容易割裂知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，難以幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化的領(lǐng)域知識(shí)框架。

2.學(xué)情分析：前期學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響。筆者在教學(xué)“圓的面積”之前進(jìn)行了前測(cè)，試圖從學(xué)生對(duì)小學(xué)階段最后一個(gè)平面圖形面積的自主探究中了解前期學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響。前測(cè)題目為“要求學(xué)生想辦法知道一個(gè)圓的面積”，學(xué)生主要有三種體現(xiàn)不同邏輯起點(diǎn)的方法。方法一是用面積單位直接度量，它的邏輯起點(diǎn)在于任意圖形面積的度量，體現(xiàn)了面積度量的本質(zhì)，但無(wú)法得到精確的度量結(jié)果。方法二和方法三都是將圓面積的度量與圓是曲邊圖形的特征相結(jié)合進(jìn)行思考的，方法二是將圓轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，它的邏輯起點(diǎn)在于長(zhǎng)方形面積的度量;方法三是將圓切割成若干個(gè)扇形，并將扇形看成近似三角形，先得到一個(gè)三角形的面積再進(jìn)一步得到整個(gè)圓的面積，它的邏輯起點(diǎn)在于三角形的面積計(jì)算，這兩種方法均可以得到圓面積的精確值，但沒(méi)有體現(xiàn)出面積度量的本質(zhì)。由此可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)前期學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生也已經(jīng)脫離對(duì)面積單位的依賴(lài)，追求面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，這與教材的編寫(xiě)和教師的教學(xué)都有一定的關(guān)系。

3.重立結(jié)構(gòu)：以面積度量的核心一以貫之。基于以上兩個(gè)維度的分析，筆者認(rèn)為“面積的度量”領(lǐng)域教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生的“量感”和“數(shù)感”的重要內(nèi)容，應(yīng)該圍繞“面積單位”和“計(jì)數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)”這兩個(gè)核心要素進(jìn)行整體性的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，以面積度量的本質(zhì)一以貫之。

“長(zhǎng)方形的面積”是學(xué)生學(xué)習(xí)面積度量的開(kāi)始，在這之前他們已經(jīng)有了長(zhǎng)度度量的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)了常用的面積單位。作為面積度量領(lǐng)域的種子課，教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟面積度量的本質(zhì)，建立面積度量的“量感”和“數(shù)感”。

基于面積度量的本質(zhì)考慮，“多邊形的面積”具有整合的可能和必要?？赡苁且?yàn)槠叫兴倪呅?、三角形和梯形的面積度量的核心仍是“面積單位”和“計(jì)數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)”。必要是因?yàn)槿咴谟妹娣e單位度量時(shí)都需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行零散面積單位的歸整，以便更好地計(jì)數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)。進(jìn)行整合教學(xué)有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)面積度量的兩個(gè)核心要素的深刻把握，進(jìn)一步感悟面積度量的本質(zhì)，為圓面積的度量作好鋪墊。

有了以上面積度量的基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)“圓的面積”時(shí)學(xué)生就會(huì)進(jìn)行類(lèi)比遷移，聚焦面積度量的核心，從面積度量的本質(zhì)入手，并用“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想方法解決無(wú)法直接精確度量的困難。在課的最后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形、多邊形和圓的面積度量進(jìn)行整體梳理，從而建立面積度量的結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系。

二、本質(zhì)相通，建“面積度量”的結(jié)構(gòu)

1.理解本質(zhì)——“長(zhǎng)方形的面積”。

【環(huán)節(jié)一】任務(wù)驅(qū)動(dòng)促思維。

學(xué)習(xí)任務(wù)：給學(xué)生一個(gè)沒(méi)有標(biāo)注長(zhǎng)和寬（實(shí)際長(zhǎng)為5cm，寬為3cm）的長(zhǎng)方形，讓他們想辦法求出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。

[設(shè)計(jì)意圖：用一個(gè)開(kāi)放性的任務(wù)逼學(xué)生思考“用什么度量”和“如何計(jì)數(shù)”這兩個(gè)問(wèn)題，同時(shí)促進(jìn)其對(duì)面積概念的理解。]

【環(huán)節(jié)二】結(jié)構(gòu)化作品求關(guān)聯(lián)。

教師整體呈現(xiàn)4幅結(jié)構(gòu)化作品，作品①畫(huà)滿(mǎn)面積;作品②畫(huà)了一行5個(gè)面積單位和一列3個(gè)面積單位;作品③將長(zhǎng)邊分成5段，寬邊分成3段;作品④測(cè)量并標(biāo)注了長(zhǎng)邊和寬邊的長(zhǎng)度。通過(guò)觀察與比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)從作品①到作品④由用面積單位度量到度量邊的長(zhǎng)度，度量的方式各不相同，但核心要素是相同的—用面積單位度量，數(shù)出里面包含了幾個(gè)面積單位。

[設(shè)計(jì)意圖：這是一組思維逐漸抽象的結(jié)構(gòu)化作品，從作品①到作品④能夠幫助學(xué)生建模長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，從作品④到作品①可以讓學(xué)生直觀聚焦面積度量的兩個(gè)核心要素。]

【環(huán)節(jié)三】：建模追問(wèn)悟本質(zhì)。

在前一個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上提煉出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。教師追問(wèn)：“為什么兩個(gè)長(zhǎng)度相乘就是面積？”通過(guò)追問(wèn)讓學(xué)生更深刻地理解抽象的面積計(jì)算公式的背后“隱藏”的是面積單位和面積單位的個(gè)數(shù)，感悟面積度量的本質(zhì)。

[設(shè)計(jì)意圖：從直觀的擺面積單位的方法到抽象的公式法，“量”的屬性發(fā)生了變化—從大小屬性變成長(zhǎng)短屬性，這容易導(dǎo)致學(xué)生“量感”混亂。上述追問(wèn)讓學(xué)生看到計(jì)算公式中的長(zhǎng)度實(shí)際上代表的是所擺面積單位的個(gè)數(shù)，它的本質(zhì)還是在計(jì)數(shù)面積單位的總個(gè)數(shù)。]

2.類(lèi)比遷移——“多邊形的面積”。

【環(huán)節(jié)一】任務(wù)驅(qū)動(dòng)促思維。

學(xué)習(xí)任務(wù)：在格子圖（一個(gè)方格代表1cm2）中各畫(huà)出一個(gè)平行四邊形、三角形和梯形，要求學(xué)生數(shù)出這三個(gè)多邊形的面積，標(biāo)注數(shù)字，讓別人一眼就能看出有幾個(gè)面積單位。

[設(shè)計(jì)意圖：平行四邊形、三角形和梯形屬于非直角圖形，學(xué)生無(wú)法用面積單位直接度量出面積的精確值，借助格子圖將學(xué)生數(shù)面積單位的思維過(guò)程記錄下來(lái)，為整體性的反饋提供結(jié)構(gòu)化的材料。]

【環(huán)節(jié)二】結(jié)構(gòu)化作品求關(guān)聯(lián)。

教師整體呈現(xiàn)一組學(xué)生的結(jié)構(gòu)化作品，通過(guò)觀察與比較，求同求異，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用面積單位度量平行四邊形、三角形和梯形的面積時(shí)會(huì)出現(xiàn)零碎的面積單位，要想精確地知道面積，就需要對(duì)零碎的面積單位進(jìn)行歸整。歸整的方法主要有兩種：一種是零散歸整，即把能拼成一個(gè)完整的面積單位的兩小塊圖形拼在一起;一種是整體歸整，即將圖形某部分整塊切割，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)，將幾個(gè)零碎的面積單位同時(shí)歸整。對(duì)方法進(jìn)行擇優(yōu)，學(xué)生認(rèn)為整體歸整將原來(lái)的圖形轉(zhuǎn)化為了長(zhǎng)方形，數(shù)起來(lái)會(huì)更加方便，為提煉面積計(jì)算公式打下較好基礎(chǔ)。

[設(shè)計(jì)意圖：圍繞“面積單位”“計(jì)數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)”這兩個(gè)核心，對(duì)方法求同、求異和擇優(yōu)，讓面積度量的本質(zhì)深入人心。]

【環(huán)節(jié)三】建模追問(wèn)悟本質(zhì)。

在前一個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上根據(jù)整體歸整的作品提煉出三種圖形的面積計(jì)算公式。教師追問(wèn)：“為什么兩個(gè)長(zhǎng)度相乘就是面積？”回顧探究的過(guò)程，學(xué)生明白兩個(gè)長(zhǎng)度實(shí)際上分別代表的是面積單位每行的個(gè)數(shù)和行數(shù)，與長(zhǎng)方形的面積度量是一致的。

[設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)三個(gè)圖形面積計(jì)算公式的提煉與追問(wèn)，一方面與長(zhǎng)方形面積的度量進(jìn)行關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的類(lèi)比遷移，另一方面使學(xué)生感悟度量的本質(zhì)，結(jié)構(gòu)化地推進(jìn)面積度量的領(lǐng)域教學(xué)。]

3.整體建構(gòu)——“圓的面積”。

【環(huán)節(jié)一】任務(wù)驅(qū)動(dòng)促思維。

學(xué)習(xí)任務(wù)：給學(xué)生一個(gè)沒(méi)有標(biāo)注半徑的圓，想辦法求出這個(gè)圓的面積。

[設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過(guò)前期學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了面積度量的本質(zhì)，學(xué)會(huì)了用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法解決面積單位歸整的問(wèn)題。因此教師以一個(gè)開(kāi)放性的任務(wù)讓學(xué)生自主探究圓的面積，能讓不同的思維得到呈現(xiàn)。]

【環(huán)節(jié)二】結(jié)構(gòu)化作品求關(guān)聯(lián)。

教師整體呈現(xiàn)6幅結(jié)構(gòu)化的作品，①與②是直接用面積單位進(jìn)行度量，③與④是利用化曲為直和等積變形的數(shù)學(xué)思想方法，將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形和長(zhǎng)方形，⑤與⑥則是將圓均分成扇形，利用極限思想，將扇形的弧看成直邊，扇形也就成了近似的三角形。學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，圓是曲邊圖形，直接用面積單位進(jìn)行度量，零碎的面積單位無(wú)法歸整，所以只能得到一個(gè)近似值;將圓等積變形，均分的份數(shù)越多，轉(zhuǎn)化后的圖形就越接近長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑，從而推導(dǎo)出面積計(jì)算公式;將圓切割成n個(gè)

三角形，三角形的底相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的，高相當(dāng)于圓的半徑，所以一個(gè)三角形的面積為，進(jìn)而推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。

[設(shè)計(jì)意圖：整體呈現(xiàn)6幅有思維差異的作品，體現(xiàn)了從“無(wú)法精確度量”到“可以精確度量”的結(jié)構(gòu)化思維的過(guò)程，使學(xué)生初步感悟圓面積度量與長(zhǎng)方形、多邊形面積度量之間的關(guān)聯(lián)。]

【環(huán)節(jié)三】建模追問(wèn)悟本質(zhì)。

在前一個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上提煉出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。教師追問(wèn)：為什么“πr”和“r”這兩個(gè)長(zhǎng)度相乘就是面積？有了“長(zhǎng)方形的面積”和“多邊形的面積”的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生已經(jīng)能夠透過(guò)抽象的計(jì)算公式透視到“隱藏”著的“面積單位”和“面積單位”的個(gè)數(shù)。

[設(shè)計(jì)意圖：從“長(zhǎng)方形的面積”到“多邊形的面積”教學(xué)，再到“圓的面積”教學(xué)，教師始終在用同一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行追問(wèn)，一方面是為了讓學(xué)生真正感悟度量的本質(zhì)，另一方面是了幫助學(xué)生建立正確的“量感”。]

【環(huán)節(jié)四】回顧溝通建結(jié)構(gòu)。

回顧長(zhǎng)方形、平行四邊形和圓面積度量的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生明白將平行四邊形、三角形、梯形和圓轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形是為了方便用面積單位直接度量，理解計(jì)算公式中的長(zhǎng)度其實(shí)都代表一行可以放幾個(gè)面積單位、可以放幾行，計(jì)算公式是為了更快捷方便地?cái)?shù)出面積單位的個(gè)數(shù)。通過(guò)回顧梳理，讓學(xué)生聚焦面積度量的核心要素—面積單位和面積單位的個(gè)數(shù)，實(shí)現(xiàn)面積度量本質(zhì)相通。

[設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)的教學(xué)在幫助學(xué)生梳理面積度量領(lǐng)域?qū)W習(xí)過(guò)程的基礎(chǔ)上，以“面積單位”和“計(jì)數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)”為核心建立起結(jié)構(gòu)化的領(lǐng)域知識(shí)體系，讓這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)從碎片化走向整體化。]

三、教學(xué)反思，話(huà)“領(lǐng)域教學(xué)”的建議

教材基于知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)以螺旋上升的方式，將同一領(lǐng)域具有一致的學(xué)科本質(zhì)的學(xué)習(xí)內(nèi)容編排在不同的年級(jí)，讓學(xué)生循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)。但數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中，容易割裂知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，造成知識(shí)的碎片化。美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，一門(mén)學(xué)科的課程應(yīng)該決定于都能達(dá)到的，給那門(mén)學(xué)科以結(jié)構(gòu)的根本原理的最基本的理解。為了達(dá)成這樣的目標(biāo)，筆者認(rèn)為可以從以下兩方面入手做好領(lǐng)域結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

1.體現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性?！伴L(zhǎng)方形的面積”“多邊形的面積”和“圓的面積”作為圖形與幾何領(lǐng)域中“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題下的內(nèi)容，都是對(duì)圖形的大小進(jìn)行定量研究，它們的研究對(duì)象（面的大?。⒀芯抗ぞ撸娣e單位）和研究方法（計(jì)數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)）都是相同的，因此教師要跳出教材以單元、冊(cè)為單位的編排結(jié)構(gòu)，站在領(lǐng)域的高度整體分析，建構(gòu)可系統(tǒng)推進(jìn)的領(lǐng)域教學(xué)結(jié)構(gòu)，有效地幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系。

2.保持學(xué)科本質(zhì)的一致性。面積的本質(zhì)是用一個(gè)“數(shù)”去刻畫(huà)一個(gè)面的大小，而這個(gè)“數(shù)”就是面積單位的個(gè)數(shù)。因此，無(wú)論是長(zhǎng)方形的面積、多邊形的面積還是圓的面積，它們的本質(zhì)并不是所要推導(dǎo)的面積計(jì)算公式，而是隱藏在計(jì)算公式背后的計(jì)數(shù)對(duì)象和計(jì)數(shù)對(duì)象的個(gè)數(shù)。計(jì)數(shù)對(duì)象反映了物體被度量的屬性，指向“量感”的培養(yǎng)，計(jì)數(shù)對(duì)象的個(gè)數(shù)反映了被度量屬性的大小，指向“數(shù)感”的培養(yǎng)。在領(lǐng)域結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，保持了學(xué)科本質(zhì)的一致性，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就能得以落實(shí)。

【參考文獻(xiàn)】

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