秦貞良

摘? 要：高中數(shù)學(xué)一直是高中生的主要學(xué)習(xí)難點之一，學(xué)生面臨高考壓力，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，難以推動學(xué)生形成基礎(chǔ)素養(yǎng)。圓錐曲線部分包含的知識點是高中的基礎(chǔ)知識，但是由于圓錐曲線屬于幾何知識，需要學(xué)生具備抽象思維，學(xué)生在理解圓錐曲線知識時會出現(xiàn)較多的疑問，難以真正吃透知識點。作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)對學(xué)生、教材進行分析，尋找圓錐曲線教學(xué)中的難點問題，在此基礎(chǔ)上設(shè)計合適的教學(xué)活動，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，解決學(xué)習(xí)難點。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線；難點問題

一、最值與定值的難點

針對圓錐曲線，其最值和定值一直是講授的重點，也是教師必須解決的問題。在學(xué)習(xí)過程中，最值以及定值需要學(xué)生對整個題型進行分析、歸納，以得出精準(zhǔn)的結(jié)論，學(xué)生需要對整個推理過程進行記錄，并擁有清晰的思維能力，才能得出最終的計算結(jié)果，求取最精準(zhǔn)的定值以及最值。但是很多學(xué)生在解題時都缺少耐心，容易半途而廢，并且該類問題需要使用到較多其他的知識點，而高中數(shù)學(xué)知識點較多，學(xué)生難以形成系統(tǒng)性的知識體系，從而給最值與定值難點的解決帶來影響。幾何法要求學(xué)生能夠掌握與圓錐曲線有關(guān)的公式、概念，利用數(shù)形結(jié)合的方式對問題內(nèi)容進行思考，考察學(xué)生數(shù)值知識、圖形知識的轉(zhuǎn)化能力。例如在解決圓錐曲線點和某一條直線之間距離這一類最值題目時，可以選擇幾何法，做一條切線，且要求切線和直線保持平行的狀態(tài)，直線之間的距離則是該類題目所求取的最終最值，所作切線的切點即最值點。該種方法又被稱之為切線法，獲得切線方程需要學(xué)生使用導(dǎo)數(shù)知識來進行計算。代數(shù)法在應(yīng)用時需要將所獲得的結(jié)論轉(zhuǎn)化成為目標(biāo)函數(shù)，使用函數(shù)知識和不等式知識解決最值問題，需要較好的運算能力，掌握難度較大。針對定值定點問題進行解決時有兩個方法：第一，按照從特殊到一般的順序進行運算推理，先找到特殊值，在尋找完畢之后再找到定值定點，最后證明求解和變量之間不存在關(guān)系。第二，利用運算的方式將變量因素消掉，之后得出定值定點，需要學(xué)生使用正向思維進行思考。例如在對學(xué)生進行“最值問題”教學(xué)時，有這樣一道數(shù)學(xué)題：直線x+y+2=0分別與x軸、y軸相較于A、B兩點，點P在圓（x-2）2+y2=2上，求△ABP面積的取值范圍。在引導(dǎo)學(xué)生對該題進行解答時，數(shù)學(xué)教師可以先讓學(xué)生設(shè)解，設(shè)圓（x-2）2+y2=1的圓心為C，半徑為r，點P到直線x+y+2=0的距離為d，這時可得出圓心C為（2，0），r=，所以圓心C到直線x+y+2=0的距離為2，由此得出dmax=2+r=3，dmin=2-r=。最后，學(xué)生經(jīng)上述分析后得出AB=2，也就算出△ABP的面積最大值是AB·dmax=6，△ABP的面積最小值為·AB·dmin=2，也就表明△ABP面積的取值范圍是［2，6］。

定值問題通常是在運動變化過程中尋找不變的量，主要思想是通過參數(shù)來表達要解決的問題，并證明要解決的問題與參數(shù)。在這類問題中，最重要的是淘汰方向的選擇。在解決與定值有關(guān)的問題時，通常考慮兩種方式：（1）根據(jù)問題的含義找出特殊情況并計算出所需值。然后，知道最終答案，證明估計值和變量的獨立性。比如計算一個四邊形的面積，通常假設(shè)這個四邊形是一個特殊的四邊形，比如長方形，然后計算面積。（2）運用參數(shù)對需要解決的問題進行表示，計算得到的值，最后通過簡化和變形，證明結(jié)果的值與變量無關(guān)。例如已知曲線C方程是：+=1，A是曲線C上的一個點，其坐標(biāo)是1，-12=0，則可知xE==①，將式①中的k替換成-k，可得：xF=②。因此，kEF==-k（xF+xE）+。將①、②代入到kEF==-k（xF+xE）+中，可得KEF=，因此，EF斜率是一個常數(shù)。定值問題主要是在運動與變化過程中找出不變量，其基本思路主要是運用參數(shù)對需要解決的問題進行表示，并證明需解決的問題和參數(shù)毫無關(guān)系。

此外，在求面積的最值中，利用余弦定理，也可以得出相關(guān)解題方案：cosA--，整理得：b2+c2-4=bc（注意目標(biāo)是求面積S=bcsinA=bc，需要的是bc）利用均值不等式b2+c2-4=bc≥2bc-4，即bc≤4，S≤（當(dāng)且僅當(dāng)bc=4時取等號）。

而通過正弦定理+誘導(dǎo)公式+降冪公式+輔助角公式+Asin（ω+x+φ）的值域問題，也可以得出以下解題方案：根據(jù)正弦定理有---，即b=sinB，S=bcsinA=·sinB·sinC=sinBsinC，因為sinB=sin（A+C）=cosC+sinC，所以sinBsinC=sinCcosC+sin2C=sin2C-·cos2C+=sin2C-+，當(dāng)2C-=，即C=時取得最大值，所以面積S=sinBsinC≤。

二、求取參數(shù)范圍的難點

求取參數(shù)范圍時也需要經(jīng)歷較為復(fù)雜的過程，需要學(xué)生能夠靈活使用知識，形成綜合性的解題方法。很多學(xué)生在遇到求取參數(shù)范圍問題時尋找不到解決的角度，不理解函數(shù)或者不等關(guān)系的得來方式，從而難以及時確定參數(shù)范圍。在考試中學(xué)生遇到這類問題普遍會選擇放棄，從其他得分容易的題目入手來獲得分數(shù)，隨著時間的推移，學(xué)生的知識運用能力無法得到鍛煉，也難以更加深入地理解圓錐曲線知識。解決求取參數(shù)范圍問題的方式較多，如不等式、方程以及數(shù)形結(jié)合等都可以作為問題解決的手段，教師應(yīng)當(dāng)加強題目訓(xùn)練，讓學(xué)生可以理解不同解決方法的使用方式，做到結(jié)合具體題目選擇相應(yīng)解決方法，提高解決效率。例如在很多題目中都會帶有不等關(guān)系條件，這是解決參數(shù)范圍的關(guān)鍵所在，不同圖形的不等關(guān)系是不同的，如橢圓、雙曲線以及拋物線之間會存在不同的不等關(guān)系，則根據(jù)不等關(guān)系可以獲得點坐標(biāo)的具體取值范圍。如果題目給出了直線以及圓錐曲線之間的位置關(guān)系條件，在取值時可以根據(jù)兩者之間存在的公共點進行聯(lián)立消元，最終得出一個一元二次方程，利用△>0的關(guān)系解決問題。最為常見的解決方法為幾何圖形聯(lián)系，對題目中的要素進行分析，尋找題目要素和幾何圖形之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，以此聯(lián)系為基礎(chǔ)構(gòu)建不等式。平面向量也可是解決該類問題的方式，可以使用線性規(guī)劃知識獲得取值范圍，但是教師在教學(xué)時應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生重點關(guān)注數(shù)學(xué)題目中所提到的變量范圍。

在射影平面內(nèi)，兩個不同中心的射影線束，其對應(yīng)直線的交點的軌跡是一條圓錐曲線。兩個不同底的射影點列，其對應(yīng)點的連線的包絡(luò)是一條圓錐曲線。

所謂的射影線束是指，給定兩個中心O、O′，從O和O′各自引出4條直線a、b、c、d和a′、b′、c′、d′。如果這4條直線的交比對應(yīng)相等，即（ab，cd）=（a′b′，c′d′），那么稱這兩個線束互為射影線束。射影線束的對應(yīng)直線（上例中的a和a′，b和b′，c和c′，d和d′）的交點一定位于某圓錐曲線上。

同理，所謂的射影點列是指，給定兩條底o、o′，在o和o′上各自取4個點A、B、C、D和A′、B′、C′、D′。如果這4個點的交比對應(yīng)相等，即（AB，CD）=（A′B′，C′D′），那么稱這兩個點列互為射影點列。射影點列的對應(yīng)點（上例中的A和A′，B和B′，C和C′，D和D′）的連線一定與某圓錐曲線相切。

另外，在直線位置與圓錐曲線的關(guān)系中，主要通過判別式分析直線位置與圓錐曲線的關(guān)系問題，△>0，直線與二次曲線的關(guān)系為相交；△=0，直線與圓錐截面相切；△<0，直線和圓錐曲線是分開的。注意：設(shè)直線方程時必然要斟酌斜率不存在的情況，可單獨提早列出。

比如數(shù)學(xué)教師在率領(lǐng)學(xué)生解某數(shù)學(xué)題：已知拋物線方程為y2=4x，直線l的方程為x-y+5=0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的間距為d1，到直線l的間距為d2，則d1+d2的最小值是多少？

數(shù)學(xué)教師可以先讓學(xué)生對問題進行探索，從中發(fā)現(xiàn)隱藏條件：拋物線的焦點為F（1，0），點P到y(tǒng)軸的距離d1=PF-1。這時候?qū)W生可想到d1+d2=d2+PF-1，也就表明d2+PF的最小值為點F到直線l的間距。最終得出d2+PF的最小值為3，學(xué)生因而輕松得出d1+d2的最小值為3-1=2。

三、存在與對稱性問題

存在與對稱性問題的題型較為新穎，學(xué)生對該類題型的訓(xùn)練頻率較低，缺乏良好的適應(yīng)性，也難以從題目訓(xùn)練中歸納出合適的解決方法。存在與對稱性問題所考察的是學(xué)生的邏輯能力、推算能力，要求學(xué)生能夠利用假設(shè)的方式解決問題，和以上兩種題目類型相比難度大幅度增加。該類問題和圓錐曲線位置關(guān)系知識點有著較為緊密的聯(lián)系，需要學(xué)生擁有較為扎實的知識基礎(chǔ)。解決存在性問題時應(yīng)當(dāng)使用假設(shè)的方式，在設(shè)定假設(shè)后進行合理推算，獲取存在依據(jù)或存在矛盾，從而肯定假設(shè)或者推翻假設(shè)。

對稱性在幾何形狀中占有重要地位，幾何形狀對稱性的研究在中數(shù)學(xué)中也是多元化的，常見的是平面形狀的非對稱和中心對稱以及空間形狀的中心對稱。例如線段、正方形和圓形都是軸對稱和中心對稱的，幾何中的對稱概念很容易理解，而對稱的結(jié)構(gòu)和應(yīng)用是比較深奧的，引人深思。公式的對稱主要是指公式中不同運算符號的可易性，運算秩序的可交換，如（a+b）2=a2+2ab+b2，這里a、b可以互換，公式仍然成立。

數(shù)學(xué)的對稱性還表現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)概念和定理的結(jié)構(gòu)上。廣義上，奇偶數(shù)（奇偶校驗點），素數(shù)和復(fù)數(shù)（分解），+和-、×和÷（可操作性），函數(shù)和反函數(shù)（函數(shù)），初始陳述、逆向陳述、否定陳述和圖形的逆非對稱性是直觀的。中學(xué)數(shù)學(xué)幾何中的對稱圖形是典型的視覺對稱。平面或空間圖形的中心對稱、平面圖形的軸對稱和空間圖形的平面對稱都是很好的例子。例如圓是中心對稱的，所有通過對稱中心的線都是對稱軸：球體被認為是中心對稱的緊湊幾何，所有通過對稱中心的平面都是對稱平面。

在三角函數(shù)圖中，y=sinx的圖關(guān)于初始位置對稱，y=cosx的圖關(guān)于y軸對稱。它們就像波浪在兩個方向上無休止地奔跑。y=tanx和y=cotx的圖像關(guān)于原點對稱。正弦函數(shù)的圖形y=asin（ωx+φ）是正弦曲線的演變，其中包含了一組和諧有序的模型，而且賞心悅目。通過觀察和比較圖像，可以從形式的角度更好地理解不同三角函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，也為解釋一般函數(shù)的變換規(guī)律提供了依據(jù)。

此外，函數(shù)y=f（x）的圖像與反函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱，解析幾何中的橢圓形關(guān)于x軸、y軸、原點均對稱。

在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式a3+b3+c3-3abc，分析如下：

如果a3+b3+c3-3abc可以分解，那么這2個因子應(yīng)該是線性和平方或三個線性。由于這三個初級公式中的任意兩個相乘得到一個平方公式，因此可以假設(shè)如果原始公式可以分解，必須是初級和二次公式相乘的形式，例如這里第一個括號是一次性的，它應(yīng)該是什么樣子？從原始公式可以看出。b、c必須是對稱的，即第一個括號必須是a+b+c。就歸約而言，第二個括號應(yīng)該有“+a2”，并且a、b、c是對稱的，那么同時應(yīng)該有“+b2”“+c2”，那么a2+b2+c2出現(xiàn)在第二個括號中，但是從歸約角度來看3abc沒有“-”字符，所以第二個括號中，前3個元素之后，肯定有負元素，假設(shè)這個“負元素”是正方形元素，寫作“-ab”。那么，由于a、b、c的對稱性，還必須有“-bc”和“-ac”才能得到（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）。

數(shù)學(xué)知識過于理論化、抽象化，如果沒有配合合適的教學(xué)模式或者方法，則難以帶動學(xué)生進入到實際學(xué)習(xí)過程中，從而出現(xiàn)了教學(xué)效率低下的問題，不符合課程改革的理念。當(dāng)前在課程改革教學(xué)中數(shù)學(xué)是改革的重點科目，這對后續(xù)人才培養(yǎng)有著重大的影響，因此需要在學(xué)生的學(xué)習(xí)情況基礎(chǔ)上對教學(xué)設(shè)計進行優(yōu)化。圓錐曲線的學(xué)習(xí)難度大，主要難點為最值與定值知識、求取參數(shù)范圍、存在與對稱性知識，教師應(yīng)當(dāng)針對不同的難點問題選擇合適的教學(xué)方法和教學(xué)策略。

參考文獻：

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