陳鵬飛 林運來

（1.漳州市第二中學(xué)，福建 漳州 363100；2.廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué)，福建 廈門 363123）

一、問題提出

當(dāng)今世界在不斷發(fā)展，科技在飛躍式進步，社會越來越信息化、數(shù)學(xué)化，我們想看懂某些產(chǎn)品的說明書、讀懂股市走勢圖等，都需要數(shù)學(xué)的閱讀能力.［1］數(shù)學(xué)閱讀是從背景、數(shù)據(jù)等材料中獲取信息的心理活動過程，不僅包括對數(shù)學(xué)文字語言、符號語言、圖表語言的理解、記憶、認(rèn)知等過程，還包括對材料的邏輯結(jié)構(gòu)進行分析、綜合、歸納、推理、猜想等一系列思維過程，是區(qū)別于一般閱讀的較為復(fù)雜的智力活動.［2］《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011 年版）》）中多次提及“閱讀”二字.例如，在“實施建議”中提出：“對于學(xué)有余力并對數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導(dǎo)他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能.”在“評價建議”中提出：“為考查學(xué)生從具體情境中獲取信息的能力，可以設(shè)計閱讀分析的問題.”無獨有偶，在受到各國重視的PISA 評估測試的三個領(lǐng)域中，“閱讀素養(yǎng)”排在第一位.

蘇霍姆林斯基認(rèn)為學(xué)習(xí)上的五把刀具分別是“閱讀”“書寫”“觀察”“思考”“表達”，并把“閱讀”擺在首位.這是因為閱讀是信息輸入的首要步驟.而閱讀理解是學(xué)生從書面語言中獲取信息，進行加工編碼，獲得知識意義的活動過程.有人認(rèn)為不會閱讀的學(xué)生是潛在的差生.［3］本研究以九年級學(xué)生為研究對象，通過對學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力進行測試，試圖了解某一地域?qū)W習(xí)群體在數(shù)學(xué)閱讀中存在的問題，為更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力提供相應(yīng)的教學(xué)建議，以供同仁參考.

二、研究方法

（一）研究對象

研究選取的樣本為福建省漳州市X 和Z 兩所中學(xué)九年級兩個普通班的學(xué)生，共80 人.

（二）研究材料

1.教育部教育考試院提出數(shù)學(xué)高考著重考查閱讀理解、信息整理、語言表達、批判性思維四項關(guān)鍵能力.考查數(shù)學(xué)閱讀能力的試題類型涉及各個方面，形式主要有圖表類型、生活語言文字類型和復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系類型.［2］根據(jù)以上研究結(jié)果，本研究先進行測試題的設(shè)計與編制，最終確定選取六道問題進行測試，其中圖表類型3 題（題1～3）、生活語言文字類型1 題（題4）、復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系型1 題（題5～6）.測試前對教師和學(xué)生進行訪談，并對測試問題進行了微調(diào)和修改，在確保測試的有效性后，對樣本學(xué)生采用紙筆模式進行測試.

2.筆、草稿紙、試卷、答題卷、錄音筆.

（三）研究過程

1.2021年11 月1 日對樣本學(xué)生進行測試，測試時長約40 分鐘.

2.對答題卷進行回收并利用“好分?jǐn)?shù)”軟件掃描，在電腦上完成初評，再手工復(fù)評.

3.統(tǒng)計測試成績后再對10 名學(xué)生及兩位數(shù)學(xué)任課教師進行訪談.

三、研究結(jié)果與分析

本次測試滿分45 分（選擇題、填空題每題5 分，解答題每題10 分），樣本學(xué)生平均得分28.8 分，得分率64%，及格率50.3%，優(yōu)秀率12.5%，及格率偏低，優(yōu)秀率更是低于班級平時測試成績.下面對答題情況進行分析.

［題1］某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是（ ）

圖1

（A）各月的平均最低氣溫都在0℃以上

（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大

（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

（D）平均最高氣溫高于20℃的月份有5 個

本題選取考生熟知的實際生活問題，要求考生讀懂統(tǒng)計圖并回答問題，以考查考生對新知識的學(xué)習(xí)和理解能力，［4］重在考查學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上運用新知識解決問題的能力，體現(xiàn)了“素質(zhì)教育”的基本理念.這里，要求學(xué)生對提供的信息進行充分解讀，通過閱讀“舉例說明”，理解課本中沒有出現(xiàn)過的雷達圖中各徑向線段和同心圓的實際含義，并根據(jù)代數(shù)推理進行判斷.

本題只有2 人答錯，平均得分4.88 分，表明樣本中約98%的學(xué)生能夠讀懂雷達圖，并能解決簡單的實際問題.

［題2］有一道題：已知點O為△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A.

小明的解答為：

畫出△ABC及它的外接圓O，連接OB,OC，如圖2 所示.

由∠OBC=2∠A=130°，得∠A=65°.

小穎說：“小明考慮不全面，∠A還有另一個不同的值.”

（1）下列判斷正確的是（ ）

A.小穎說得對，且∠A的另一個值是50°

B.小穎說得不對，∠A就得65°

C.小明求的結(jié)果不對，∠A應(yīng)得50°

D.兩人都不對，應(yīng)有3 個不同值

（2）請選擇你所采用的解題思路和方法：（ ）

A.讀幾遍題目后，直接利用圖2，憑直覺判斷

圖2

B.通過心算，確定選項

C.讀題后，在草稿紙上畫出圖形，通過演算進行判斷

D.其他

本題考查圓周角與圓心角的大小關(guān)系及分類討論等數(shù)學(xué)思想，考查邏輯思維能力、運算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯性這一重要特征.樣本學(xué)生的答題情況如表1 所示.樣本中55%的學(xué)生能夠正確判斷“利用圖2 考慮問題”不全面，且能夠正確求出∠A的另一個值.樣本中約26%的學(xué)生認(rèn)為此題只有圖2 這種情形.從所選用的解題思路和方法中可以看到，約83%的學(xué)生通過重新畫圖并經(jīng)過演算作出判斷，但部分學(xué)生無法正確或者完整地畫出圖形，說明將熟悉的文字表達轉(zhuǎn)化為圖形的能力還有待提高.測試后通過訪談其中5 名答錯的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在重新畫圖的過程中，受圖2 的影響，也只是畫出類似圖2 的圖形.通過與數(shù)學(xué)教師交流得知，學(xué)生在平時學(xué)習(xí)中畫“三角形的外接圓”時，往往只習(xí)慣畫銳角三角形的外接圓，可見，在解答此題時，部分學(xué)生由于受定式思維的影響而致錯.

表1 樣本學(xué)生例2 的答題情況統(tǒng)計表

［題3］如圖3，Rt△ABC中，∠B=90°，動點P從A點出發(fā)，沿A→B→C以1cm/s的速度在△ABC的邊上運動.設(shè)△APC的面積為S（單位：cm2），點P的運動時間為t（單位：s），已知變量S與t之間的關(guān)系如圖4所示，則運動過程中，S的最大值為______.

圖3

圖4

本題以點的運動變化為問題背景，考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，綜合考查運用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想解決問題的能力.以考查數(shù)學(xué)抽象為主，同時考查直觀想象、數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng).答題的關(guān)鍵在于緊扣數(shù)與形之間的本質(zhì)聯(lián)系:一是“圖形”引路，即以“形”（如點P的運動軌跡）直觀地表達“數(shù)”（如點P的運動時間）；二是“轉(zhuǎn)化”橋梁，即以“數(shù)”（如t=6 時S取最大值）精確地研究“形”（如點P的位置）.

本題平均得分3.1 分.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)較弱的學(xué)生很難將點P的運動路程結(jié)合△APC面積的“S-t”關(guān)系圖順利地轉(zhuǎn)化成數(shù).還有部分學(xué)生在計算三角形的面積時漏乘二分之一.

［題4］有一道題：初三（1）班共有40 個同學(xué)，班主任計劃用1 000 元的班費給每個同學(xué)購買一個文具盒或一本工具書.已知文具盒的價格是28 元/個，工具書的價格是20 元/本.要求剩下的錢不少于100 元，但不超過120 元.請你設(shè)計購買方案.

小亮的解答如下：

設(shè)購買文具盒x個，則購買工具書(40 -x)本，根據(jù)題意得

解得10 ＜x＜12.5.

因為x是文具盒的個數(shù)，所以只能取整數(shù)，故x=11 或x=12.

購買方案有兩種：購買文具盒11 個，工具書29 本或購買文具盒12 個，工具書28 本.

小亮的答案錯了嗎？如果錯了，請指出小亮出錯的原因，并寫出正確的答案.

本題以“改錯”的形式考查一元一次不等式組的應(yīng)用，通過具體情境，考查“用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題”的素養(yǎng)，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與實際生活的緊密聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，有助于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和建模思想.

本題平均得分為8.25 分，大部分學(xué)生能得滿分，少部分學(xué)生失分的主要原因有兩個：一是回答問題不規(guī)范，敘述不清楚；二是考慮問題不全面，在“不少于”“不超過”的“糾錯”中只找出其中一個.

［題5］習(xí)近平總書記指出，“垃圾分類工作就是新時尚.”某小區(qū)為響應(yīng)垃圾分類處理，改善生態(tài)環(huán)境，將生活垃圾分成三類：廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分別記為a，b，c.并且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱：“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾箱”，分別記為A，B，C.

（1）若小明將一袋分好類的生活垃圾隨機投入一類垃圾箱，畫樹狀圖求垃圾投放正確的概率；

（2）為了了解居民生活垃圾分類投放的情況，現(xiàn)隨機抽取了該小區(qū)某天三類垃圾箱中總共10 噸的生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計（單位：噸）如表2 所示：

表2

該小區(qū)所在的城市每天大約產(chǎn)生500 噸生活垃圾，根據(jù)以上信息，試估算該城市生活垃圾中的“廚余垃圾”每月（按30 天）有多少噸沒有按要求投放.

本題以學(xué)生熟悉的“生活垃圾分類”為具體情境，考查統(tǒng)計的基本知識及簡單隨機事件概率的計算，考查考生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).試題設(shè)計圍繞調(diào)查、隨機、推斷和量化四個統(tǒng)計思想展開，進行數(shù)據(jù)分析（描述性統(tǒng)計分析和推斷性統(tǒng)計分析），側(cè)重于利用樣本的數(shù)據(jù)推測總體的情況，體現(xiàn)樣本估計總體的統(tǒng)計基本思想，［5］有助于使學(xué)生明確學(xué)習(xí)概率的最終目的是解決實際問題.

本題平均得分為7.62 分.第（1）問主要考查數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)，有5 人未能正確畫樹狀圖求得概率.第（2）問側(cè)重于利用樣本的數(shù)據(jù)推測總體的情況，解答時，首先需要考生讀取數(shù)據(jù)，找準(zhǔn)表中數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；其次，在讀取數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)據(jù)的統(tǒng)計意義，通過分析“樣本”數(shù)據(jù)中沒有按要求投放的“廚余垃圾”的數(shù)量對“廚余垃圾”沒有按要求投放的概率進行統(tǒng)計推斷；最后，利用樣本數(shù)據(jù)推測總體的情況.從學(xué)生答卷來看，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)薄弱導(dǎo)致出現(xiàn)下面的典型錯誤：求該小區(qū)某天“廚余垃圾”沒有按要求投放的概率時，混淆成求“廚余垃圾”箱中垃圾投放錯誤的概率（圖5）；求該小區(qū)某天“廚余垃圾”沒有按要求投放的概率時，混淆成求三類垃圾沒有按要求投放的概率（圖6）.出現(xiàn)這些錯誤的原因在于沒有審清題干信息，這也是平常解題中學(xué)生容易忽視的地方.還有部分運算素養(yǎng)差的學(xué)生出現(xiàn)計算錯誤.

圖5

圖6

［題6］某種機器使用期為三年，買方在購進機器時，可以給各臺機器分別一次性額外購買若干次維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費為2000 元.每臺機器在使用期間，如果維修次數(shù)未超過購機時購買的維修服務(wù)次數(shù)，每次實際維修還需向維修人員支付工時費500 元；如果維修次數(shù)超過購機時購買的維修服務(wù)次數(shù)，超出部分每次維修需支付服務(wù)費5000 元，但無需支付工時費.某公司計劃購買1 臺該種機器，為決策在購買機器時應(yīng)同時一次性購買幾次維修服務(wù)，搜集并整理了100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，整理得到表3：

表3

（1）以這100 臺機器為樣本，估計“1 臺機器在三年使用期內(nèi)維修次數(shù)不大于10”的概率；

（2）試以這100 臺機器維修費用的平均數(shù)作為決策依據(jù)，說明購買1 臺機器的同時應(yīng)一次性額外購買10 次還是11 次維修服務(wù).

本題主要考查考生的閱讀理解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力及數(shù)學(xué)運算能力，具體考查了用頻率估計概率的思想；計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)信息進行規(guī)律性推斷.求解本題，考生需跨過三個障礙：一是閱讀理解題意，二是將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解，三是較強的運算能力和良好的心態(tài).

本題第（1）問有65 人回答正確，平均得分為4.1分，學(xué)生出現(xiàn)的錯誤主要體現(xiàn)在兩個方面：一是將“維修次數(shù)不大于10”誤認(rèn)為“維修次數(shù)是8 次或9 次”，二是計算錯誤.本題第（2）問只有5 人得滿分，平均得分0.6 分.該問主要考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)，多數(shù)學(xué)生出現(xiàn)的錯誤也與此有關(guān).第一，無法依托合理有效的閱讀理解綜合的問題情境中的文字信息并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，導(dǎo)致列式錯誤（如圖7）；第二，只有3人利用分類討論思想先求出不同維修次數(shù)的花費明細(xì)，再計算100 臺機器維修費用的平均數(shù)（如圖8），其余考生均直接列式計算，不會合理選擇計算方式和“回避”復(fù)雜計算（如圖9）；第三，有10 人把“維修費用的平均數(shù)”與“維修次數(shù)的平均數(shù)”意義混淆，把求“維修費用的平均數(shù)”求成“維修次數(shù)的平均數(shù)”（如圖10）.

圖7

圖8

圖9

圖10

四、研究結(jié)論與建議

通過以上結(jié)果分析，本研究得到的基本結(jié)論及相應(yīng)的教學(xué)建議如下：

（一）初中生數(shù)學(xué)閱讀的興趣尚待提升

從小學(xué)開始，很多學(xué)生就“怕”數(shù)學(xué)應(yīng)用題，通過對其中10 名學(xué)生進行訪談，他們表示在解答題5、題6這樣的問題時，只要一看到題目長、文字多、關(guān)系復(fù)雜，就產(chǎn)生畏難情緒.筆者認(rèn)為導(dǎo)致這一情況的原因有三：其一，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題牽涉的現(xiàn)實生活背景比較復(fù)雜，材料比較抽象；其二，學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力不足或欠缺；其三，學(xué)生的問題是表象，根源是教師平時沒有重視學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)是一項長期的、系統(tǒng)的“工程”，應(yīng)滲透在平常學(xué)習(xí)的點點滴滴之中，教師需要針對數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，對學(xué)生進行有效指導(dǎo).教學(xué)中要為學(xué)生充分提供閱讀理解的機會.比如，注意引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成閱讀理解教材及相應(yīng)的課外資料的習(xí)慣，充分利用教材上的閱讀材料，自主學(xué)習(xí)新知；同時，也要指導(dǎo)學(xué)生搜集能有效激發(fā)閱讀興趣，且能提升閱讀能力的素材，創(chuàng)設(shè)適切的閱讀情境組織學(xué)生開展閱讀活動，使學(xué)生逐步養(yǎng)成探索新知、整合學(xué)科知識的學(xué)習(xí)習(xí)慣.對于比較復(fù)雜的閱讀材料，教師要舍得花時間讓學(xué)生閱讀和體會，同時要引導(dǎo)學(xué)生克服浮躁心態(tài)，抱著“讀題多遍，其義自見”的信心，相信通過逐字逐句的閱讀，是能夠讀懂、讀透題目的，在循序漸進中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)在思維邏輯，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，磨煉其良好的意志和品質(zhì).

（二）初中生數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換能力偏弱

數(shù)學(xué)語言主要包括文字語言、圖形語言和符號語言等.這三種語言之間的轉(zhuǎn)換往往是學(xué)生閱讀的難點，特別是符號語言與文字語言，符號語言與圖形語言的“互譯”，是很多學(xué)生的“短板”.［6］教學(xué)中，教師要采取治本的策略，首先要求學(xué)生認(rèn)識漢字和數(shù)學(xué)符號，針對涉及的各類數(shù)學(xué)術(shù)語和符號，要結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論進行本質(zhì)化的理解；其次，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀中積極思考，對數(shù)學(xué)語言的內(nèi)涵進行理解，在三種不同的語言之間不斷進行轉(zhuǎn)換和“互譯”，通過相互補充和印證，弄清問題表達的意思，培養(yǎng)多種方式表征信息的能力；再次，將數(shù)學(xué)語言和材料內(nèi)容有機結(jié)合起來，將閱讀內(nèi)容與已有的知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，將抽象的概念、原理與感性的形象的事物聯(lián)系起來，對問題涉及的數(shù)量關(guān)系進行分析、梳理和抽象，不斷完善和優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升綜合能力.

（三）初中生數(shù)學(xué)閱讀的技巧有待加強

掌握一定的閱讀技巧有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力.教學(xué)中，要注意通過具體案例，介紹問題情境中關(guān)鍵信息的提取方法，比如手腦并用、做好標(biāo)記.對閱讀材料中的每一個字每一個公式要充分注意，并對重點的地方進行標(biāo)注，以便引起重視.像閱讀題6 第（2）問時，可以對“維修費用的平均數(shù)”用線或點標(biāo)記，這樣既可以清楚地理解問題中的重要信息，又可以培養(yǎng)符號意識.再如，分段理解、整體把握.閱讀篇幅較長的材料時，可以采取分散難點的策略，通過分段閱讀、分層分步的操作，內(nèi)化局部信息，在充分理解每段材料的含義后，將閱讀獲取的信息梳理形成提綱或圖表，使之以網(wǎng)絡(luò)的形式有條理地呈現(xiàn)出來，便于整體加工和靈活應(yīng)用.