袁濤 賀文

［摘? 要］ 教材是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施課堂教學(xué)的重要資源，高考中的很多試題都是來自教材習(xí)題的變式與重組. 文章以教材為“源”，通過對(duì)一道圓錐曲線練習(xí)題的探究與猜想，總結(jié)出“雙k法”的一般性結(jié)論能夠廣泛應(yīng)用于“弦中點(diǎn)”類問題求解. 學(xué)生在習(xí)題的探究過程中可以深化對(duì)問題的理解，實(shí)現(xiàn)對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，如此方能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)教材；習(xí)題探究；圓錐曲線；弦中點(diǎn)

[?]問題背景

隨著新一輪課程改革的穩(wěn)步推進(jìn)，“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”逐漸成為命制高考數(shù)學(xué)試題的一條基本理念，更多以能力立意命制的試題出現(xiàn)在學(xué)生的面前. 這既是立足于培養(yǎng)學(xué)生具有終生發(fā)展的必備品格與關(guān)鍵能力，也是使得學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)答案與題海戰(zhàn)術(shù)中解放出來的關(guān)鍵. 源于教材，高于教材，是高考試題的真實(shí)寫照［1］. 回歸教材，回到課本，是遵循教育規(guī)律、辦好教育的根本所在. 數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源［2］. 同時(shí)，教材是制定教學(xué)大綱和高考考試大綱的基本依據(jù)，只需稍微注意，不難發(fā)現(xiàn)近幾年的數(shù)學(xué)高考試題都有不少源于教材本身的一些題目，這些試題所呈現(xiàn)出的“樣貌”是教材中的例題、習(xí)題的變式與重組. 可見，教材中的試題值得教師和學(xué)生深入研究，并且具有多數(shù)練習(xí)資料所不能比擬的作用. 深度挖掘教材中的習(xí)題，避免機(jī)械重復(fù)的試題訓(xùn)練，是減輕教師負(fù)擔(dān)、減少師生學(xué)習(xí)壓力、學(xué)生深度掌握知識(shí)的有效途徑.

文中筆者以橢圓章節(jié)的一道練習(xí)題為伊始，通過對(duì)該習(xí)題進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)，從題目中得出的結(jié)論能夠廣泛應(yīng)用于圓錐曲線“弦中點(diǎn)”類問題求解，且在圓與雙曲線章節(jié)中存在同類型題目，反映出了試題的解法源于教材、高于教材且應(yīng)用于教材的特點(diǎn). 因此，筆者特別整理了此問題，同大家分享.

[?]“源”題呈現(xiàn)

題目1 （新人教A版高中數(shù)學(xué)教材第116頁“拓廣探索”第14題）已知橢圓+=1，一組平行直線的斜率是.

（1）這組直線何時(shí)與橢圓相交？

（2）當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在同一條直線上.

分析：本題第（1）問研究的是直線與曲線的交點(diǎn)問題，因此只需設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程，消去一個(gè)未知量，根據(jù)一元二次方程有兩解的情況即可求解. 這也是解決交點(diǎn)問題的常規(guī)思路. 第（2）問是“弦中點(diǎn)”問題，一般采用的方法是“點(diǎn)差法”；而本題中的直線斜率已知，因此可以根據(jù)第（1）問的直線與曲線聯(lián)立后的結(jié)果更快地得出答案.

解析：（1）設(shè)這一組平行直線的方程為y=x+m，將直線方程代入橢圓方程，可得9x2+4

x+m2=36，整理得18x2+12mx+4m2-36=0. 由直線與橢圓相交可得判別式Δ>0，因此144m2-72（4m2-36）>0，解得-3

（2）證明：由第（1）問中的直線方程與曲線方程聯(lián)立后可得18x2+12mx+4m2-36=0，則兩根之和x+x=-=-m，因此可得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=-m；由直線y=x+m可得弦中點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=m. 因此弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為

-m，m

. 由

x=-m，

y=m，消去m可得y=-x，則這組平行直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在直線y=-x上.

反思：求解第（2）問后，筆者發(fā)現(xiàn)直線被橢圓截得弦的中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率與原直線斜率的乘積與橢圓的方程有關(guān)，暫且設(shè)弦中點(diǎn)為M，弦兩端點(diǎn)為A，B，則有k·k=×

-=-，而這里的4和9正好是橢圓+=1的短半軸平方（b2）和長(zhǎng)半軸平方（a2）. 那么這是不是一個(gè)巧合呢？?jī)烧咧g是否存在必然的聯(lián)系？

猜想1：橢圓+=1被直線y=x+m截得弦的中點(diǎn)M與原點(diǎn)連線的斜率k與原直線的斜率的乘積為定值，且為-=-.

證明：設(shè)橢圓+=1與直線y=x+m相交于點(diǎn)A（x，y），B（x，y），線段AB的中點(diǎn)為M（x，y），由題意可得+=1，+=1，兩式相減可得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0①.

因?yàn)辄c(diǎn)M（x，y）是線段AB的中點(diǎn)，所以x+x=2x，y+y=2y，①式可以整理成-=·=·. 因?yàn)閗=，k=，所以-=·=k·k，即直線AB的斜率與直線OM的斜率的乘積為定值-.

從上面的證明過程可以看出，在求解的過程中進(jìn)行移項(xiàng)整理，可以得出兩直線斜率乘積的形式，并且這個(gè)斜率乘積為定值，這個(gè)定值與橢圓的a，b有關(guān).

猜想2：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，對(duì)于一般的橢圓方程和斜率存在的任意直線，當(dāng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，線段AB的中點(diǎn)M（即弦中點(diǎn)）與原點(diǎn)連線的斜率與直線的斜率的乘積是否為定值，即k·k=-？

已知橢圓+=1（a>b>0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（x，y）且不平行于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，則有k·k=-÷= -.

證明：設(shè)橢圓與直線l的交點(diǎn)為A（x，y），B（x，y），線段AB的中點(diǎn)M（x，y），由題意得+=1，+=1. 兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，移項(xiàng)整理得-==·k=k·k. 可得k·k=-.

同理可得：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，有k·k=-.

猜想3：橢圓是圓錐曲線中的一種，那么對(duì)于不同類型的圓錐曲線方程，是否也會(huì)出現(xiàn)弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率與原直線的斜率的乘積為一個(gè)定值的情況呢？

不妨設(shè)圓、橢圓以及雙曲線這三類圓錐曲線的一般方程為mx2+ny2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（x，y）且不平行于坐標(biāo)軸的直線l與圓錐曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，則有k·k=-. 當(dāng)m，n都為正數(shù)且相等時(shí)，該圓錐曲線為圓；當(dāng)m，n異號(hào)時(shí)，該圓錐曲線為雙曲線；當(dāng)m，n為正數(shù)且不相等時(shí)為橢圓. （由于拋物線的一般方程不能用mx2+ny2=1來表示，并且運(yùn)用點(diǎn)差法求解時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)斜率乘積的形式，故在此只討論圓、橢圓以及雙曲線三種形式）

證明：設(shè)曲線與直線l的交點(diǎn)為A（x，y），B（x，y），線段AB的中點(diǎn)M（x，y），由題意得mx+ny=1，mx+ny=1. 兩式相減得m（x+x）（x-x）+n（y+y）（y-y）=0，移項(xiàng)可得m（x+x）（x-x）=-n（y+y）（y-y），整理得-==k·=k·=k·k，即k·k= -.

結(jié)論：在可以表示為mx2+ny2=1的圓錐曲線中，對(duì)斜率存在的任意直線，若直線與曲線相交，交點(diǎn)設(shè)為A，B，弦AB的中點(diǎn)設(shè)為M，則弦中點(diǎn)M與原點(diǎn)O連線的斜率與直線AB的斜率的乘積為定值，即k·k=-.

當(dāng)然，對(duì)于題目中所總結(jié)的此類二級(jí)結(jié)論在解答題中不可直接使用，但是遇到此類問題時(shí)可以轉(zhuǎn)化到這類思路上進(jìn)行求解，有了思路后再補(bǔ)充推導(dǎo)過程也是正確的求解方案. 在選擇題、填空題中遇到此類問題時(shí)，利用此結(jié)論（下文簡(jiǎn)稱“雙k法”）可較快地求解出正確答案.

3. 拓展延伸

圓錐曲線求解的相關(guān)問題中，這樣一類“弦中點(diǎn)”問題是一節(jié)重要的內(nèi)容，并且有著不同類型的考查方式. 基于此，筆者進(jìn)一步探究，發(fā)現(xiàn)在圓錐曲線的不同章節(jié)中存在“弦中點(diǎn)”類問題，并且此類問題在高考中也有著廣泛的應(yīng)用，都可采用“雙k法”進(jìn)行求解. 因此下文筆者將從探究的角度，以新人教A版高中數(shù)學(xué)教材中的兩道圓錐曲線習(xí)題和歷年真題中出現(xiàn)的幾種“弦中點(diǎn)”類問題為例，探究“雙k法”在此類問題中的應(yīng)用.

1. 教材再探

題目2 （新人教A版高中數(shù)學(xué)教材第128頁“拓廣探索”第13題）已知雙曲線x2-=1，過點(diǎn)P（1，1）的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？為什么？

分析：此題亦是直線與曲線交點(diǎn)的問題，可以聯(lián)立直線方程與曲線方程，得出一個(gè)一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)即可解出直線方程，再根據(jù)判別式是否有解進(jìn)行判定即可；也可以采用本文的一般結(jié)論即“雙k法”求解.

解析：假設(shè)這樣的直線l存在，由題可知直線l的斜率k存在，根據(jù)k·k=-可得k×1=-1÷

-

=2，所以k=2，可得直線l的方程為y-1=2（x-1）?y=2x-1. 將直線l方程與雙曲線方程聯(lián)立可得x2-=1?-2x2+4x-3=0，根據(jù)Δ=b2-4ac=16-4×（-2）×（-3）= -10<0，可得直線l與雙曲線無交點(diǎn)，因此P不是線段AB的中點(diǎn).

題目3 （新人教A版高中數(shù)學(xué)教材第99頁“拓廣探索”第14題）如圖（略），圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P（-1，2），AB為過點(diǎn)P且傾斜角為α的弦.

（1）當(dāng)α=135°時(shí)，求AB的長(zhǎng).

（2）是否存在弦AB被點(diǎn)P平分？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：略（可用“雙k法”求解）.

反思：題目2與題目3同樣是圓錐曲線“弦中點(diǎn)”問題，且都能應(yīng)用出自教材習(xí)題本身的結(jié)論，體現(xiàn)出了試題的解法源于教材、高于教材并且應(yīng)用于教材的特點(diǎn)，需要教師與學(xué)生一起挖掘其中的價(jià)值. 以上三道題目都出自“拓廣探索”，這抑或是編者對(duì)讀者的一種暗示，引導(dǎo)讀者進(jìn)行習(xí)題探究.

2. 真題鏈接

類型1：求“中點(diǎn)弦”所在的直線方程問題.

例1 （2006年北京卷）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F，F(xiàn)，點(diǎn)P在橢圓C上且PF垂直于FF，PF=，PF=.

（1）求橢圓C的方程.

（2）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程.

解析：（1）橢圓C的方程+=1（解答略）.

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可化為（x+2）2+（y-1）2=5，可得圓心M（-2，1），直線l的斜率k必然存在，由k·k=-可知k·k=-，因?yàn)閗=-，所以k=. 直線l的點(diǎn)斜式方程為y-1=（x+2），整理得8x-9y+25=0.

評(píng)注：此題若聯(lián)立橢圓方程與直線方程進(jìn)行計(jì)算，除了草稿本上大量的化簡(jiǎn)過程外，必要的書寫步驟也是相對(duì)復(fù)雜. 計(jì)算后通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用“雙k法”使得求解過程大大簡(jiǎn)化，并且提高了正確率，避免了大量的代數(shù)運(yùn)算，即使加上推導(dǎo)過程，與傳統(tǒng)方法相比也簡(jiǎn)化很多. 下文所舉的題目類型，筆者不再展示求解過程，讀者可自行解答.

例2 （2008年北京卷）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓x2+3y2=4上，對(duì)角線BD所在直線的斜率為1，當(dāng)直線BD過點(diǎn)（0，1）時(shí)，求直線AC的方程.

類型2：求曲線方程問題.

例3 （2010年全國(guó)卷）已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)（3，0）是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與雙曲線E交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（-12，-15），則E的方程為________.

例4 （2013年全國(guó)Ⅰ卷）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M為（1，-1），求橢圓C的方程.

類型3：求參數(shù)的取值范圍問題.

例5 （2015年浙江卷）已知橢圓+y2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=mx+對(duì)稱.

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）求△AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

例6 （2018年全國(guó)Ⅲ卷）已知斜率為k的直線l與橢圓C：+=1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（1，m）（m>0）.

（1）證明：k<-；

（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且++=0，證明：

，

，

成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

“弦中點(diǎn)”問題考查的題型遠(yuǎn)不止以上幾類，本文只是舉出了幾種典型的例子進(jìn)行拓展分析，意不在于題型的歸納，而是方法的總結(jié)和本質(zhì)的把握. 題型千變?nèi)f化，不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)本就隱含在習(xí)題之中，需要注意的亦是對(duì)教材的深入研究.

[?]結(jié)束語

數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是在模式化的個(gè)體抽象中對(duì)模式進(jìn)行研究［3］. 波利亞認(rèn)為，在解決一個(gè)問題后，要善于去總結(jié)一個(gè)模式，并把它儲(chǔ)存起來，以后才可以隨時(shí)用它去解決類似的問題，進(jìn)而提高自己的解題能力. 因此在教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中，要善于對(duì)教材中的題目進(jìn)行深度挖掘，總結(jié)一般的解題模式，而這正是提高解題能力、獲得數(shù)學(xué)發(fā)展的有效途徑. 此外，教材是數(shù)學(xué)工作者集體智慧的結(jié)晶，具有很強(qiáng)的學(xué)術(shù)性、規(guī)范性和指導(dǎo)性，回歸教材是教師做好教育工作、學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ). 例題與習(xí)題既是數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容［4］. 在教學(xué)過程中，教師要對(duì)教材進(jìn)行深入研究，對(duì)教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行深度挖掘，發(fā)現(xiàn)其中隱含的潛在價(jià)值；并且適當(dāng)結(jié)合高考試題，對(duì)教材中的習(xí)題進(jìn)行變式探究，將課本中的習(xí)題鏈接上高考，把學(xué)生從“題?！敝薪饩瘸鰜?，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)教材的教育價(jià)值. 通過對(duì)教材中的習(xí)題進(jìn)行探究，還可以聚焦對(duì)問題的思考和探索，讓學(xué)生在研究狀態(tài)中學(xué)習(xí)，深化對(duì)問題的理解，真正實(shí)現(xiàn)對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)以及對(duì)思想方法的領(lǐng)悟，實(shí)現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中持續(xù)發(fā)展.

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