摘? 要：抽象是數(shù)學(xué)的基本特征，也是數(shù)學(xué)的基本思想. 新頒發(fā)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把“抽象能力”作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之一，并以小學(xué)階段的數(shù)感、量感和符號(hào)意識(shí)為基礎(chǔ)，以高中階段的數(shù)學(xué)抽象為后繼，明確了小學(xué)、初中、高中三個(gè)階段的不同要求. 由于抽象能力是一種內(nèi)隱的心理特征，要落實(shí)在課堂教學(xué)與評(píng)價(jià)中，就需要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和活動(dòng)，細(xì)化為一些可操作、可觀察、可測(cè)量的行為指標(biāo)，并針對(duì)這些行為指標(biāo)提煉與積累相應(yīng)的教學(xué)策略.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);抽象能力;表現(xiàn)行為;教學(xué)建議

抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，也是用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的基本方式. 由于數(shù)學(xué)是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，因此，數(shù)學(xué)中要抽象的是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式上的研究對(duì)象、關(guān)系與結(jié)構(gòu)，而不管其他方面（如物理）的屬性. 數(shù)學(xué)抽象是一種逐級(jí)的、理想化的、形式化的抽象.

初中階段的抽象能力，一方面，是小學(xué)階段數(shù)感、量感與符號(hào)意識(shí)的進(jìn)一步發(fā)展;另一方面，為高中階段更為嚴(yán)謹(jǐn)、形式化的數(shù)學(xué)抽象打下基礎(chǔ).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)初中階段抽象能力的內(nèi)涵與要求表述如下：

“抽象能力主要是指通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力. 能夠從實(shí)際情境或跨學(xué)科的問(wèn)題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系，并能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表達(dá);能夠從具體的問(wèn)題解決中概括出一般結(jié)論，形成數(shù)學(xué)的方法與策略. 感悟數(shù)學(xué)抽象對(duì)于數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的作用，感悟用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意義，形成數(shù)學(xué)想象力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.”

下面，我們根據(jù)初中階段的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，給出抽象能力的具體表現(xiàn)與教學(xué)要求.

一、初中階段抽象能力的主要表現(xiàn)形式

初中階段的抽象能力主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念、關(guān)系與方法的抽象上，具體包括以下幾個(gè)方面.

1. 進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感，能根據(jù)實(shí)際情境或數(shù)學(xué)問(wèn)題情境抽象出有理數(shù)與實(shí)數(shù)的概念

數(shù)系的擴(kuò)張過(guò)程是一種典型的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程. 初中階段學(xué)生將經(jīng)歷兩次數(shù)系的擴(kuò)張：一是引入負(fù)數(shù)，將正有理數(shù)集擴(kuò)張到有理數(shù)集;二是引入無(wú)理數(shù)，將有理數(shù)集擴(kuò)張到實(shí)數(shù)集. 通過(guò)這兩次擴(kuò)張，使學(xué)生能夠達(dá)到以下目標(biāo).

（1）理解負(fù)數(shù)的意義與必要性. 體驗(yàn)從“具有相反意義的量”抽象出負(fù)數(shù)概念的過(guò)程，理解正數(shù)與負(fù)數(shù)的關(guān)系，以及數(shù)0的意義. 例如，在溫度計(jì)中，0℃是一個(gè)分界點(diǎn)，3℃與-3℃關(guān)于0℃對(duì)稱(chēng);在“收入與支出”模型中，收到100元可以記為100元，支出100元記為-100元，100 + （-100） = 0表示收支平衡.

（2）理解互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的特征與意義. 如果a，b互為相反數(shù)，那么[a+b=0]，反之亦然. 這反映了正數(shù)與負(fù)數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：① 每一個(gè)正數(shù)都對(duì)應(yīng)唯一的負(fù)數(shù);② 加法與減法互為逆運(yùn)算，即減去一個(gè)數(shù)可以看作加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù). 這種對(duì)稱(chēng)化的思想是數(shù)學(xué)抽象的一種常見(jiàn)方式.

（3）理解無(wú)理數(shù)的存在性及其在數(shù)學(xué)中的意義. 通過(guò)將兩個(gè)單位正方形剪拼成一個(gè)正方形的過(guò)程，體驗(yàn)一條不可公度的線段的存在性和引入新數(shù)的必要性;通過(guò)[2，π]這類(lèi)具體的無(wú)理數(shù)感知無(wú)理數(shù)的無(wú)限不循環(huán)特征;知道無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，通過(guò)“一個(gè)無(wú)理數(shù)加減一個(gè)有理數(shù)的結(jié)果還是無(wú)理數(shù)”這樣的結(jié)論感知無(wú)理數(shù)的無(wú)限性;通過(guò)計(jì)算無(wú)理數(shù)的近似值初步感知極限的思想.

（4）理解運(yùn)算律的意義，能夠?qū)⑿W(xué)中的運(yùn)算律推廣到有理數(shù)與實(shí)數(shù)，并用符號(hào)表示. 知道有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集對(duì)于四則運(yùn)算都是封閉的.

（5）理解數(shù)軸的作用與意義，初步感悟數(shù)形結(jié)合的思想. 數(shù)軸是數(shù)的直觀模型，實(shí)數(shù)可以與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以利用數(shù)軸直觀理解數(shù)的幾何意義及各種數(shù)量規(guī)律. 例如，可以用數(shù)軸來(lái)定義絕對(duì)值的概念，把一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值看作這個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離;可以用數(shù)軸來(lái)比較兩個(gè)數(shù)的大小，可以用數(shù)軸理解互為相反數(shù)的數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，等等. 還可以利用數(shù)軸直觀理解有理數(shù)的稠密性和實(shí)數(shù)的連續(xù)性.

2. 進(jìn)一步發(fā)展量感，理解度量在幾何研究中的作用與意義，培養(yǎng)初步的幾何直覺(jué)

在初中階段，圖形與幾何的學(xué)習(xí)將從小學(xué)階段的測(cè)量、實(shí)驗(yàn)、歸納方式逐步轉(zhuǎn)變?yōu)橐猿咭?guī)作圖、類(lèi)比和演繹為主的方式，研究的核心為圖形的性質(zhì)與變換. 量感的表現(xiàn)形式也將從基于操作經(jīng)驗(yàn)的感悟逐步轉(zhuǎn)變?yōu)榛诟拍詈屯评淼闹庇X(jué). 具體表現(xiàn)為如下幾個(gè)方面.

（1）通過(guò)尺規(guī)作圖、折紙及剪拼活動(dòng)能夠直觀理解圖形形狀與大小是剛體運(yùn)動(dòng)不變量. 剛體運(yùn)動(dòng)下的不變性是歐式幾何的本質(zhì)特征，也是尺規(guī)作圖及幾何度量守恒性的基礎(chǔ). 例如，給定三條線段，在滿(mǎn)足兩邊之和大于第三邊的條件下，通過(guò)尺規(guī)作圖可以作出唯一的三角形;通過(guò)實(shí)際操作，形成三角形形狀與大小由三邊唯一確定的直觀認(rèn)識(shí)，為三角形全等的證明提供直覺(jué)基礎(chǔ);通過(guò)在同一個(gè)圓上用尺規(guī)作圖作兩個(gè)相等的圓心角的過(guò)程，直觀認(rèn)識(shí)到圓心角的大小與所對(duì)弧和弦的長(zhǎng)度的關(guān)聯(lián)性.

（2）能夠依據(jù)圖形的形狀與大小對(duì)相關(guān)的結(jié)論做出預(yù)判與猜想，為幾何推理提供思路. 利用尺規(guī)作圖作出的幾何圖形可以“真實(shí)”地反映圖形中的位置關(guān)系和形狀大小，由此形成的幾何直覺(jué)在幾何探究和推理中具有良好的啟發(fā)作用. 在許多幾何問(wèn)題的解決中，一般可以依據(jù)圖形的位置與度量特征，“看出”結(jié)論或推理過(guò)程，然后再根據(jù)題設(shè)給出推理與論證的過(guò)程.

（3）能夠在幾何推理的基礎(chǔ)上對(duì)實(shí)際情境中的度量做出準(zhǔn)確的判斷，彌補(bǔ)視覺(jué)的“失真”和日常經(jīng)驗(yàn)的不足. 例如，兩條筆直的鐵軌“看上去”似乎在遠(yuǎn)處交于一點(diǎn)，但我們知道這是不可能的，因?yàn)閮蓷l平行線之間的距離永遠(yuǎn)相等;水平放置的線段與垂直位置的線段“看上去”似乎不相等，利用幾何推理我們可以確定那常常是一種“錯(cuò)覺(jué)”;利用相似圖形的性質(zhì)我們可以知道，如果窗子的相鄰兩邊加長(zhǎng)一倍，那么新窗子的面積就會(huì)變成原來(lái)的四倍.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

（4）利用度量的直觀模型，初步感知無(wú)限的過(guò)程. 例如，通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形邊數(shù)的不斷增加，可以直覺(jué)地認(rèn)識(shí)到它們的面積越來(lái)越接近圓的面積，圓的面積大小“始終”介于兩個(gè)正多邊形面積之間;通過(guò)將一個(gè)單位正方形不斷“對(duì)分”，如圖1，可以直觀地認(rèn)識(shí)到和式[12+14+18+116+…]越來(lái)越接近單位正方形的面積1，但永遠(yuǎn)比1少一點(diǎn).

3. 進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)意識(shí)，理解代數(shù)是算術(shù)的一般化，能用代數(shù)方法解決問(wèn)題

小學(xué)階段的符號(hào)意識(shí)大體上處于代數(shù)符號(hào)思維的啟蒙階段. 從初中開(kāi)始，學(xué)生將更多地與形式符號(hào)打交道，符號(hào)意識(shí)也將逐步發(fā)展為數(shù)學(xué)抽象能力及基于符號(hào)的運(yùn)算與推理能力. 其主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

（1）理解字母符號(hào)的各種意義與使用規(guī)則. 從字母代數(shù)開(kāi)始，學(xué)生將經(jīng)歷字母表示一般意義的數(shù)，方程與不等式中的系數(shù)與未知數(shù)，以及變量與函數(shù)幾個(gè)層次. 能夠利用字母系數(shù)表示一般的方程與不等式，并給出一類(lèi)方程的一般解;能夠在一個(gè)變換過(guò)程中發(fā)現(xiàn)相關(guān)的變量，并用變量與函數(shù)的方法解決問(wèn)題.

（2）能夠?qū)Ψ?hào)進(jìn)行運(yùn)算與變換. 其中包括公式的變形，代數(shù)式的化簡(jiǎn)、賦值與簡(jiǎn)單的恒等變形，簡(jiǎn)單分式與根式的運(yùn)算，方程與不等式的同解變形，因式分解，待定系數(shù)法、換元法，等等. 知道各種代數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)仍然是數(shù)的運(yùn)算，滿(mǎn)足各種運(yùn)算律.

（3）能夠發(fā)現(xiàn)或構(gòu)建數(shù)學(xué)符號(hào)的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題. 例如，在坐標(biāo)平面上建立有序數(shù)對(duì)與點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠利用坐標(biāo)確定平面上點(diǎn)的位置，表示平面上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及兩個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系;能夠利用面積模型推導(dǎo)完全平方公式與平方差公式;知道可以用二次函數(shù)[y=ax2+bx+c][a≠0]表示一條拋物線，而且拋物線的形狀（開(kāi)口方向）完全由二次項(xiàng)的系數(shù)確定.

（4）能夠利用符號(hào)表示一般規(guī)律，構(gòu)造猜想、假設(shè)，對(duì)所提出的數(shù)學(xué)命題做出判斷，用符號(hào)簡(jiǎn)潔地表達(dá)推理過(guò)程. 例如，通過(guò)一元二次方程的等價(jià)變形發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），并運(yùn)用這種關(guān)系解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

4. 能夠在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)中的概念、命題、方法與體系都是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果. 在初中階段，可以通過(guò)這些抽象活動(dòng)，使學(xué)生達(dá)到以下目標(biāo).

（1）理解數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象性. 數(shù)學(xué)的研究對(duì)象都是抽象的結(jié)果，在現(xiàn)實(shí)生活中并不存在. 例如，平面幾何中的“點(diǎn)”“線”“面”，現(xiàn)實(shí)生活中不存在“沒(méi)有大小”的點(diǎn)，也不存在無(wú)限延伸的直線;任何測(cè)量的結(jié)果都只能是有限小數(shù)，不可能獲得無(wú)限不循環(huán)小數(shù);等等.“數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的一些形式和關(guān)系，這些形式和關(guān)系客觀地具有與內(nèi)容無(wú)關(guān)的性質(zhì)，以至于能夠把它們完全從內(nèi)容中抽象出來(lái)，并且能夠在一般的形態(tài)中定義出來(lái)，達(dá)到明確性與精確性，保持豐富的聯(lián)系，以至于成為理論的邏輯發(fā)展的根據(jù).”

（2）理解概念引入的必要性、概念的定義過(guò)程，以及概念的多元表征，能夠運(yùn)用概念的定義解決問(wèn)題. 例如，冪的定義，最初是基于簡(jiǎn)化符號(hào)表達(dá)的需要，將n個(gè)字母a的乘積[a · a · a · … · a]記為[an]，就像把n個(gè)字母a的連加記為na一樣;在定義了冪的運(yùn)算規(guī)律后，發(fā)現(xiàn)這種記號(hào)可以極大地簡(jiǎn)化代數(shù)式的運(yùn)算過(guò)程與結(jié)果;于是，又把指數(shù)的范圍從自然數(shù)拓展到整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)（高中階段）、復(fù)數(shù)（高等數(shù)學(xué)），進(jìn)而產(chǎn)生了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，冪的意義隨著一次又一次的拓展與抽象而產(chǎn)生更多的意義. 又如，平行四邊形的概念，可以采用多種定義方式，通過(guò)對(duì)不同定義的比較，理解定義是對(duì)概念的本質(zhì)屬性的反映，以及一個(gè)好的定義應(yīng)該滿(mǎn)足的要求，感悟數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程與意義.

（3）理解數(shù)學(xué)命題的結(jié)構(gòu)與意義，能夠在具體的問(wèn)題情境中，對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的規(guī)律進(jìn)行抽象，形成命題. 知道數(shù)學(xué)命題一般由條件與結(jié)論組成，如果由條件經(jīng)過(guò)邏輯推理可以得出結(jié)論，那就是一個(gè)真命題. 對(duì)命題的抽象是發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的表現(xiàn)之一.

（4）能夠在具體的問(wèn)題解決中，抽象概括出數(shù)學(xué)的思想方法. 數(shù)學(xué)思想方法的抽象屬于數(shù)學(xué)抽象的較高層次. 一方面，數(shù)學(xué)思想方法的形成過(guò)程是抽象的結(jié)果;另一方面，數(shù)學(xué)思想方法的表現(xiàn)形式也是抽象的，需要借助具體的問(wèn)題解決過(guò)程才得以呈現(xiàn). 此外，不同的數(shù)學(xué)思想方法往往具有不同的抽象水平，像解一元一次方程、一元二次方程的方法可以通過(guò)確定的算法程序?qū)崿F(xiàn)，相對(duì)比較具體，而平面幾何中的綜合方法就缺乏常規(guī)的思路，有一定的靈活性. 因此，這方面的要求應(yīng)該量力而為，逐步提高.

（5）能夠建立所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的橫向與縱向聯(lián)系，不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu). 數(shù)學(xué)具有高度的統(tǒng)一性，不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法通常具有廣泛的聯(lián)系. 例如，可以用函數(shù)的觀點(diǎn)處理方程、不等式的問(wèn)題;用對(duì)稱(chēng)的方法研究函數(shù)的圖象與性質(zhì);用平面直角坐標(biāo)表示圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律;等等. 因此，要求學(xué)生能夠利用單元小結(jié)、問(wèn)題串、概念圖、思維導(dǎo)圖等方式對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行提煉與重組，不斷優(yōu)化和完善自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

數(shù)學(xué)抽象的目的是揭示事物的本質(zhì)屬性，洞察現(xiàn)象背后的結(jié)構(gòu)與規(guī)律. 因此，初中階段抽象能力的培養(yǎng)不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，還有助于學(xué)生養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，發(fā)展理性精神.

二、從算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)

從小學(xué)進(jìn)入初中后，學(xué)生首先要面臨的是代數(shù)課程的系統(tǒng)學(xué)習(xí). 從算術(shù)到代數(shù)，不只是從具體的數(shù)字過(guò)渡到字母代數(shù)，也不只是增加了未知數(shù)、方程、不等式、變量、函數(shù)等抽象概念與符號(hào)，更重要的是要從算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維.

那么，什么是代數(shù)思維呢？我們先來(lái)看一個(gè)典型的案例.

雞兔同籠：今有雞、兔若干，它們共有50個(gè)頭和140只腳，問(wèn)雞、兔各有多少？

算術(shù)解法1：假設(shè)這50只都是雞，就該有100只腳，但題目有140只腳，說(shuō)明其中還有兔. 所以用140減去l00所得的差40，正好是兔的頭數(shù)的2倍，于是結(jié)論是30只雞，20只兔.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

算術(shù)解法2（波利亞）：假設(shè)出現(xiàn)下面的奇觀，所有的雞都抬起一只腳，所有的兔都只用后腳站起來(lái)，這時(shí)站立的腳的總數(shù)是題目所給的腳的總數(shù)的一半，即為70，它恰好是雞的頭數(shù)與2倍的兔的頭數(shù)之和，所以用70減去50所得的差20就是兔的頭數(shù). 于是結(jié)論是30只雞，20只兔.

代數(shù)解法：設(shè)雞為x只，兔為y只，于是有方程組[x+y=50，2x+4y=140.] 解得[x=30，y=20，] 即30只雞，20只兔.

比較上述兩類(lèi)解法可以看到，算術(shù)解法并不是所有人都能夠想到的，需要較高的智力水平（甚至是奇思妙想），而代數(shù)方法實(shí)際上只需要實(shí)施一定的程序，只要掌握這種程序，便可以解決問(wèn)題;算術(shù)方法是一題一法，這里所用的方法一般不能用于別的問(wèn)題，而代數(shù)方法是一種通法，可以形式化地解決一類(lèi)問(wèn)題;算術(shù)方法主要是通過(guò)運(yùn)算，從一個(gè)量得出另一個(gè)量，而代數(shù)方法側(cè)重于各種量之間的（相等）關(guān)系;算術(shù)方法是含情境的，其中的“數(shù)”有不同的含義，如“雞的腳數(shù)”“兔的腳數(shù)”“兔的頭數(shù)”，而代數(shù)方法是“去情境”的，其中的具體“量”已經(jīng)變成了一種抽象的符號(hào)，處于同等的地位;算術(shù)方法中的未知量是“捉摸不定”的，直到解出問(wèn)題時(shí)才露出“廬山真面目”，而代數(shù)方法中的未知數(shù)是設(shè)定的、具體的，可以參與各種運(yùn)算.

可見(jiàn)，算術(shù)思維和代數(shù)思維在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)有本質(zhì)的差異.

首先，在算術(shù)思維中，側(cè)重于利用數(shù)量的計(jì)算求出答案的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是程序性的、計(jì)算性的;而代數(shù)思維倚重的是關(guān)系的符號(hào)化及其運(yùn)算，這個(gè)運(yùn)算是結(jié)構(gòu)性的和一般性的.

其次，算術(shù)思維解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程是含情境的，具有特殊性的，甚至是建立在直觀上的;而代數(shù)思維解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程是去情境的、形式化的，并且在某種程度上是不能依賴(lài)直觀的.

最后，在算術(shù)思維中，表達(dá)式的作用是一種思考的記錄，是直接聯(lián)結(jié)題目與答案的橋梁;而在代數(shù)思維中，表達(dá)式的作用不再只是直接聯(lián)結(jié)問(wèn)題與答案的過(guò)程記錄，還充當(dāng)著聯(lián)結(jié)各種量的媒介的角色.

此外，算術(shù)思維解決問(wèn)題時(shí)采用的是一種目標(biāo)指引的直接的思路;而代數(shù)思維采用的則是“迂回戰(zhàn)術(shù)”，其過(guò)程被分成三個(gè)階段：第一階段是通過(guò)去情境、引入符號(hào)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;第二階段是利用合適的代數(shù)模型解決相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題;第三階段再把結(jié)果還原到實(shí)際情境中去. 在上面的這三個(gè)階段中，作為核心部分的第二個(gè)階段是一種與原問(wèn)題、情境無(wú)關(guān)的形式（符號(hào)）運(yùn)算，運(yùn)用的是具有結(jié)構(gòu)性與抽象性的運(yùn)算法則. 正因?yàn)檫@一階段是脫離情境的，因此才可以發(fā)展成為一般化的途徑.

國(guó)際數(shù)學(xué)教育界知名學(xué)者基蘭認(rèn)為，從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過(guò)渡需要滿(mǎn)足以下五個(gè)條件：（1）聚焦關(guān)系，而不僅僅是數(shù)值運(yùn)算;（2）聚焦運(yùn)算和逆運(yùn)算，以及設(shè)而不求的思想;（3）聚焦對(duì)問(wèn)題的表征及解決過(guò)程，而不只是答案;（4）聚焦字母符號(hào)，而不只是數(shù)字;（5）重新認(rèn)識(shí)等號(hào)的意義. 因此，“符號(hào)意識(shí)”是學(xué)生從算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維的必要條件.

因此，要幫助學(xué)生從算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維，需要在教學(xué)中關(guān)注以下幾個(gè)方面.

一是符號(hào)表征，即用符號(hào)或者由符號(hào)組成的代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)去表示數(shù)學(xué)（或其他學(xué)科或現(xiàn)實(shí)生活）中的對(duì)象或結(jié)構(gòu). 其中包括：（1）能夠?qū)⒂米匀徽Z(yǔ)言表示的條件或命題寫(xiě)成符號(hào)形式，如將“三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)”表示為“n，n + 1，n + 2”或“n - 1，n，n + 1”，或根據(jù)題意寫(xiě)出已知、求證等;（2）根據(jù)題設(shè)的相等關(guān)系、不等關(guān)系和函數(shù)關(guān)系分別列出方程、不等式和函數(shù)解析式;（3）能夠用自然語(yǔ)言去解釋符號(hào)操作的過(guò)程與結(jié)果.

二是符號(hào)變換，即各種表征之間的等價(jià)的或不等價(jià)的轉(zhuǎn)化. 其中包括：（1）代數(shù)式的賦值、化簡(jiǎn)和恒等變形的技能;（2）解方程和不等式的技能;（3）換元法.

三是意義建構(gòu)，即解釋或發(fā)現(xiàn)形式符號(hào)或表達(dá)式背后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或?qū)嶋H模型及各種符號(hào)操作的意義與作用. 例如，知道任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值[x]都是非負(fù)數(shù)，可以表示“數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”;知道一次函數(shù)的圖象是一條直線.

由此可見(jiàn)，小學(xué)階段培養(yǎng)的符號(hào)意識(shí)是初中階段形成抽象能力的基礎(chǔ)之一，而數(shù)學(xué)抽象能力則是符號(hào)意識(shí)的進(jìn)一步發(fā)展.

三、關(guān)注數(shù)學(xué)概念的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，多角度理解概念

概念是邏輯思維的基本形式之一，也是數(shù)學(xué)抽象的目標(biāo)及進(jìn)一步抽象的基礎(chǔ).

從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來(lái)看，數(shù)學(xué)概念的來(lái)源一般認(rèn)為有兩個(gè)方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得;二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)多級(jí)抽象所獲. 所以數(shù)學(xué)概念的形成是一個(gè)從具體到抽象的過(guò)程. 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)有助于發(fā)展學(xué)生的抽象能力.

除了抽象性，數(shù)學(xué)概念的另一個(gè)顯著特點(diǎn)就是表征的多元性. 萊什（R.Lesh）將布魯納的動(dòng)作、表象和符號(hào)表征的思維活動(dòng)以直線方式的發(fā)展修正為平面網(wǎng)狀式的互動(dòng)發(fā)展而提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種表征：實(shí)際情境、圖形、教具、口語(yǔ)符號(hào)、書(shū)寫(xiě)符號(hào). 萊什認(rèn)為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，除了布魯納的表征理論強(qiáng)調(diào)深度的提升外，加強(qiáng)廣度的學(xué)習(xí)有助于深度的提升. 因此，他增加了實(shí)物情境和口語(yǔ)符號(hào)兩種表征，并且強(qiáng)調(diào)各種表征內(nèi)部和表征之間的轉(zhuǎn)換（如圖2）.

上述圖形的一個(gè)附加功能就是可以作為概念理解的評(píng)價(jià)框架. 當(dāng)我們說(shuō)學(xué)生理解了數(shù)學(xué)概念時(shí)，在一定程度上是指他能夠運(yùn)用圖2中勾繪的轉(zhuǎn)化程序. 例如，說(shuō)學(xué)生理解了一次函數(shù)概念，意味著他們能夠用具體的實(shí)例（如勻速直線運(yùn)動(dòng)，周長(zhǎng)一定時(shí)矩形花園的長(zhǎng)與寬的數(shù)量關(guān)系等），通過(guò)操作（利用表格列出自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系）、圖形（畫(huà)出函數(shù)的圖象）、符號(hào)（寫(xiě)出函數(shù)的代數(shù)不等式）、口語(yǔ)（用自己的語(yǔ)言表述函數(shù)值隨自變量變化而變化的過(guò)程）等多角度地描述一次函數(shù).

數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的高度抽象性使得它具有普遍的意義和廣泛的應(yīng)用，而外延表征的多元性又使得數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用具有一定的靈活性. 因此，在教學(xué)中要盡可能地使學(xué)生親歷概念的抽象過(guò)程，并從不同角度理解概念.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

按照拉卡托斯的觀點(diǎn)，許多科學(xué)概念的定義并非一開(kāi)始就是精確的，其中涉及如下的抽象化和精致化過(guò)程：首先產(chǎn)生一個(gè)模糊的想法;嘗試對(duì)這個(gè)想法用語(yǔ)言進(jìn)行描述;接著通過(guò)形式的定義得到初步的概念;然后嘗試由定義給出具體的例子、推出某些性質(zhì)、驗(yàn)證相關(guān)的定理，尋找等價(jià)或者相似的對(duì)象;最后再對(duì)原先的定義進(jìn)行修正，以排除那些不合理的推論，進(jìn)而調(diào)整、變更或者拓展對(duì)概念的理解，以便適應(yīng)新的可能性. 因此，理解概念的定義是形成抽象能力的基本途徑.

要加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，可以從概念發(fā)生和發(fā)展的歷史過(guò)程、邏輯過(guò)程及心理過(guò)程考慮.

從歷史上看，許多數(shù)學(xué)概念都經(jīng)歷了起起落落、曲折漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程，今天出現(xiàn)在教科書(shū)上的概念定義與表達(dá)形式往往都是幾代數(shù)學(xué)家不斷簡(jiǎn)化、改進(jìn)的結(jié)果. 通過(guò)這種過(guò)程，學(xué)生不僅可以更深刻地理解概念的意義及其必要性，而且可以感悟數(shù)學(xué)抽象的特征和數(shù)學(xué)的人文精神.

從邏輯上看，數(shù)學(xué)概念都不是孤立的知識(shí)點(diǎn)，每一個(gè)概念都有一些相關(guān)的概念，它們之間組成各種邏輯結(jié)構(gòu)，形成一定的知識(shí)體系. 其中，特別是一些處于核心位置的概念，對(duì)于整個(gè)知識(shí)體系的抽象與理解至關(guān)重要.

從學(xué)習(xí)心理上看，概念的學(xué)習(xí)主要有概念形成與概念同化兩個(gè)過(guò)程. 關(guān)于這兩個(gè)過(guò)程的學(xué)習(xí)理論大都建立在皮亞杰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上. 其中，概念形成過(guò)程實(shí)質(zhì)上是抽象出某一類(lèi)對(duì)象或事物的共同本質(zhì)特征的過(guò)程. 其具體過(guò)程如圖3所示.

而概念同化的心理過(guò)程則主要包括以下兩個(gè)階段.（1）辨認(rèn). 辨認(rèn)定義中的新觀念哪些是已有概念，新、舊觀念之間存在什么關(guān)系，辨認(rèn)過(guò)程包含了回憶與知識(shí)的重現(xiàn). 例如，學(xué)習(xí)矩形的概念，在給出矩形的定義后，學(xué)生必須對(duì)四邊形、平行四邊形、相鄰兩邊的夾角等已有概念進(jìn)行回憶和辨認(rèn).（2）同化. 建立新概念與原有概念之間的聯(lián)系，把新概念納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使新概念被賦予一定的意義. 例如，上述關(guān)于矩形概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生將矩形與平行四邊形比較，發(fā)現(xiàn)新概念是已有舊概念的組合，于是通過(guò)建立新、舊概念的聯(lián)系獲得矩形的概念，同時(shí)，獲得新概念后又?jǐn)U大和改組了原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu). 通過(guò)將新概念與某些反例相聯(lián)系，使新概念更加穩(wěn)固和清晰.

四、通過(guò)具體的問(wèn)題解決過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)的通性、通法

在抽象能力的培養(yǎng)中，最具有挑戰(zhàn)性的是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的抽象能力.

數(shù)學(xué)思想方法是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)和基本看法，既包括從某些具體的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出來(lái)的并在后繼的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中通過(guò)反復(fù)運(yùn)用而證實(shí)的正確的認(rèn)識(shí)結(jié)果或觀點(diǎn)，又包括對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和特征、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系及地位作用、數(shù)學(xué)內(nèi)部各部分之間對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系的認(rèn)識(shí)，同時(shí)還包括關(guān)于數(shù)學(xué)概念、方法、理論的產(chǎn)生與發(fā)展的認(rèn)識(shí). 數(shù)學(xué)的思想方法不僅是抽象的產(chǎn)物，其存在形式也是抽象的. 數(shù)學(xué)思想方法的形成通常蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)概念、原理、命題的抽象過(guò)程及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中.

由于數(shù)學(xué)思想方法在內(nèi)涵與形式上都是抽象的，因此，在初中階段的教學(xué)中需要通過(guò)具體的問(wèn)題解決過(guò)程將其明晰化，使學(xué)生逐步感悟與內(nèi)化. 同時(shí)，應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注具有一般意義的通性、通法，而不是一些高難度的解題技巧.

中小學(xué)數(shù)學(xué)中的通性、通法主要是一些最基本的、常用的，而且大多數(shù)學(xué)生可以自然想到、掌握的方法. 例如，配方法是解決“二次問(wèn)題”（一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)，乃至高中階段的二次曲線）的通性、通法. 首先，配方法有著直觀的幾何意義，歷史上早期就是通過(guò)面積來(lái)解決一元二次方程問(wèn)題的;其次，配方法的目的是消去一次項(xiàng)，從而把所有的一元二次方程化歸為最簡(jiǎn)形式[ax2=c]，然后通過(guò)開(kāi)方運(yùn)算或者平方差公式化歸為一次方程，進(jìn)而解得方程或者進(jìn)行根的討論，這種“消項(xiàng)”“降次”的方法可以推廣到一元三次方程和一元四次方程的公式解法，反映了代數(shù)的基本特征;最后，由配方法可以得到二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，從而利用對(duì)稱(chēng)性解決問(wèn)題（如最大值、最小值問(wèn)題），而運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性可以收到事半功倍的效果.

由于數(shù)學(xué)思想方法具有高度的抽象性，同樣應(yīng)該遵循從具體到抽象的教學(xué)原則. 以配方法的教學(xué)來(lái)說(shuō)，首先，學(xué)生需要經(jīng)歷完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，熟悉此公式在數(shù)與代數(shù)的運(yùn)算中的應(yīng)用;其次，從簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的二次三項(xiàng)式開(kāi)始，逐漸變化到字母系數(shù)，從對(duì)一個(gè)字母變?cè)呐浞降结槍?duì)一個(gè)代數(shù)式的配方;最后，根據(jù)問(wèn)題解決的需要，靈活地從正向和逆向兩個(gè)角度運(yùn)用配方法.

最后，需要注意的是，雖然初中生已經(jīng)處于皮亞杰所說(shuō)的“形式運(yùn)算”的認(rèn)知發(fā)展階段，是培養(yǎng)抽象能力的關(guān)鍵期，但由于數(shù)學(xué)中的抽象是一種逐級(jí)抽象過(guò)程，可以在不同的層面上進(jìn)行抽象. 因此，需要選擇合適的知識(shí)固著點(diǎn)作為抽象的基礎(chǔ). 此外，初中階段的“抽象能力”與高中階段的“數(shù)學(xué)抽象”相比，前者可以是局部的、借助直觀的抽象，后者更關(guān)注數(shù)學(xué)抽象的系統(tǒng)性與嚴(yán)謹(jǐn)性.

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