丁益民

摘要：在一次市級(jí)高一數(shù)學(xué)期末聯(lián)考命題中，命制了一道解答題。從人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》一章中一道與雙曲函數(shù)有關(guān)的恒等式證明題出發(fā)，經(jīng)歷了從“原型”到“雛形”、從“雛形”到基本“定形”、推敲打磨細(xì)節(jié)、設(shè)置參考答案、“再次讀題，調(diào)整表述”的過程，加入了數(shù)學(xué)文化情境，擴(kuò)大了考查范圍，完善了細(xì)節(jié)內(nèi)涵，保證了科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。

關(guān)鍵詞：試題命制;教材;雙曲函數(shù);數(shù)學(xué)文化

本文系江蘇省蘇州市前瞻性項(xiàng)目“新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革背景下的精準(zhǔn)測評(píng)研究”的階段性研究成果。教學(xué)離不開評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)常常以測試的形式進(jìn)行量化。新高考評(píng)價(jià)體系下，如何命題是重要的研究課題。前不久，筆者參加了一次市級(jí)高一數(shù)學(xué)期末聯(lián)考命題工作，命制了一道解答題。現(xiàn)以該題為例，談?wù)勗囶}命制的基本過程。

一、從“原型”到“雛形”

試題命制通常會(huì)在“原型”（如陳題、情境、素材等）的基礎(chǔ)上進(jìn)行加工。為了確保命題不“走偏”，以教材中的題為“原型”是一個(gè)比較可靠、適切的做法。這是因?yàn)榻滩闹械睦⒘?xí)題往往具有較強(qiáng)的基礎(chǔ)性、典型性與示范性?！坝媒滩拿}”，一方面可以引導(dǎo)教師重視“用教材教”，另一方面可以充分挖掘教材中典型素材的教學(xué)功能。而現(xiàn)實(shí)的情況是，在很多單元、期中或期末測試中，由教材例、習(xí)題改編而成的試題占比不高;在教學(xué)中，教材時(shí)常處于一種可有可無、形同虛設(shè)的尷尬地位。因此，“用教材命題”是新高考背景下評(píng)價(jià)教學(xué)質(zhì)量的重要途徑，更是糾偏教學(xué)中“輕教材、重教輔”現(xiàn)象的有效舉措。

本次命題考查的范圍是人教A版高中數(shù)學(xué)[根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》編寫的教材，也是目前蘇州市高一、高二學(xué)生使用的教材]必修第一冊(cè)中的所有知識(shí)。命題之初，筆者認(rèn)真研讀了該冊(cè)教材中的所有例、習(xí)題，憑借自己的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)，挑選了一些有研究價(jià)值的題目作為“原型”。其中包括第四章《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》復(fù)習(xí)參考題的第6題：

這道題的訓(xùn)練點(diǎn)是指數(shù)運(yùn)算法則以及乘法公式。但如果挖掘下去，就知道f（x）、g（x）分別是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)，即著名的懸鏈線函數(shù)，而要證的結(jié)論則是與雙曲函數(shù)有關(guān)的幾個(gè)相對(duì)簡單的恒等式（類似于三角恒等變換的幾個(gè)基本公式），進(jìn)而可以挖出與之相關(guān)的數(shù)學(xué)史素材。華志遠(yuǎn).高中數(shù)學(xué)文化校本選修課的基本樣態(tài)——以《函數(shù)與數(shù)學(xué)文化》一課為例[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（1）：33。同時(shí)，收集往年的高考題和模擬題，也發(fā)現(xiàn)了雙曲函數(shù)的“身影”，如2014年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第19題、2015年湖北高考文科數(shù)學(xué)卷第21題等，均以雙曲函數(shù)為函數(shù)載體。考慮到雙曲函數(shù)的數(shù)學(xué)文化屬性，在試題情境方面，采用簡明扼要的數(shù)學(xué)文化知識(shí)敘述來呈現(xiàn)。這就有了試題的“雛形”：

如圖1，懸索橋的外觀大氣漂亮，它的圖形是平面幾何中的懸鏈線。1691年，萊布尼茨和伯努利推導(dǎo)出懸鏈線的方程為y=c2（exc+e-xc），其中c為參數(shù)。當(dāng)c=1時(shí)，就是雙曲函數(shù)，其中雙曲余弦函數(shù)cosh x=ex+e-x2，雙曲正弦函數(shù)sinh x=ex-e-x2。

下列說法正確的是（）

A.函數(shù)y=sinh xcosh x為奇函數(shù)

B.cosh2 x-cos2 x=sinh2 x+sin2 x

C.函數(shù)y=cosh 2x+sinh x的最小值為78

D.對(duì)x∈0，π2，有cosh（cos x）>sinh （sin x）

這樣命制是基于三方面的思考。一是對(duì)學(xué)生而言，函數(shù)載體取自教材，測試背景是公平的，也能間接地反映平時(shí)的教學(xué)是否真正重視教材、研究教材。二是以數(shù)學(xué)文化情境呈現(xiàn)試題，運(yùn)用數(shù)學(xué)史簡述雙曲函數(shù)的由來，對(duì)接新高考的命題風(fēng)格，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化在命題上的點(diǎn)綴功能。三是最重要的，即將指數(shù)運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)（在必修第一冊(cè)第五章）等基礎(chǔ)知識(shí)，通過運(yùn)算、復(fù)合等手段整合在一起，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的掌握情況，進(jìn)而考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)。四個(gè)選項(xiàng)分別考查代數(shù)運(yùn)算、函數(shù)性質(zhì)的不同方面：除了B選項(xiàng)繼續(xù)考查教材原題第1小題的雙曲函數(shù)恒等式之外，A選項(xiàng)實(shí)際上考查的是雙曲正切函數(shù)的奇偶性;C選項(xiàng)則既考查了教材原題第3小題和第1小題的雙曲函數(shù)恒等式，又在雙曲正弦函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合的基礎(chǔ)上，考查雙曲正弦函數(shù)的值域和二次函數(shù)的最值;D選項(xiàng)則在三角函數(shù)與雙曲函數(shù)復(fù)合的基礎(chǔ)上，考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及相關(guān)的不等關(guān)系。

二、從“雛形”到基本“定形”

從“原型”到“雛形”，更多考慮知識(shí)范圍及考查內(nèi)容。此后，需要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生能力與題型特點(diǎn)、考查要求，對(duì)“雛形”進(jìn)行改造、確定，讓試題基本“定形”。

命題組成員認(rèn)為，“雛形”中這種同一情境下“拼盤式”的多選題對(duì)學(xué)生的能力要求頗高，可能起不到很好的測試效果。首先，從題目本身來看，一些學(xué)生可能在選擇A選項(xiàng)后便“收工”了，這就導(dǎo)致B、C、D三個(gè)選項(xiàng)起不到預(yù)設(shè)的測試效果，進(jìn)而影響試題的效度。其次，高一的學(xué)生對(duì)D選項(xiàng)的外在形式容易產(chǎn)生畏懼心理，可能會(huì)直接放棄;若進(jìn)行嚴(yán)格的推斷，也具有一定的難度（需要分類討論，找到反例）。再者，四個(gè)選項(xiàng)均以運(yùn)算、推演為主要的思維活動(dòng)，若要完整地解答，需要較長的時(shí)間，這使得整道題難度、容量過大。鑒于此，命題組一致認(rèn)為，應(yīng)該將此題調(diào)整為解答題并適當(dāng)減少考查點(diǎn)。

解答題的命制，首先要考慮各個(gè)小題的配置，既要有一定的難易梯度，還要有相對(duì)理想的區(qū)分度。一開始，我們?yōu)樵摻獯痤}設(shè)計(jì)了以下三個(gè)小題：

（1）求證：cosh 2x=cosh2 x+sinh2 x;

（2）求函數(shù)y=cosh 2x+sinh x的最小值;

（3）求證：對(duì)x∈-3π4，π4，cosh （cos x）>sinh （sin x）。

第1小題就是教材原題的第3小題，繼續(xù)考查雙曲函數(shù)恒等式的證明，并且降低了難度（去掉了之前B選項(xiàng)中的三角函數(shù)式），定位是基礎(chǔ)題，考查學(xué)生運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。第2小題由之前的C選項(xiàng)轉(zhuǎn)化而來，繼續(xù)考查通過雙曲函數(shù)之間的關(guān)系將原題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，定位是中檔題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的素養(yǎng)。第3小題由之前的D選項(xiàng)轉(zhuǎn)化而來，并且基于結(jié)論“對(duì)x∈-3π4，π4，cos x>sin x”調(diào)整了變量的取值范圍（避免了分類討論），定位是難題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行邏輯推理的素養(yǎng)。

回過頭來看教材原題，我們發(fā)現(xiàn)，這樣的設(shè)計(jì)有些偏離了教材原題考查雙曲函數(shù)恒等式證明的初衷。而且，第1小題和第2小題分為兩小題，也在一定程度上割裂了它們之間的關(guān)聯(lián)：借助第1小題的雙曲函數(shù)恒等式，代換轉(zhuǎn)化第2小題的函數(shù)表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)它是復(fù)合而成的二次函數(shù)，從而解決第2小題。另外，從設(shè)問的風(fēng)格看，兩個(gè)證明題中夾著一個(gè)求最值題，顯得極不協(xié)調(diào)。

綜合考量這些問題，我們將上述第1小題和第2小題合并成試題基本“定形”的第1小題（自然，上述第3小題就成了試題基本“定形”的第2小題）：

請(qǐng)從下列三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明，并求函數(shù)y=cosh 2x+sinh x的最小值;

①cosh2 x-sinh2 x=1;

②sinh 2x=2sinh xcosh x;

③cosh 2x=cosh2 x+sinh2 x。

這一調(diào)整也能體現(xiàn)開放設(shè)問的意味，可以滿足不同學(xué)生的答題需求，契合了新高考對(duì)新題型不斷探索與實(shí)驗(yàn)的做法。

三、推敲打磨細(xì)節(jié)

試題命制基本完成后，需要對(duì)其中的一些細(xì)節(jié)，如數(shù)據(jù)的大小、條件的開放與限制等，進(jìn)行推敲打磨，以追求更好的考查效果。

對(duì)于試題基本“定形”的第2小題，命題組成員提出：-3π4，π4這樣的范圍設(shè)計(jì)是否過于簡單（可以直接得出cos x>sin x）？是否可以擴(kuò)大（保持結(jié)論成立）？如果可以擴(kuò)大，擴(kuò)大到哪里比較合適（高一學(xué)生能夠用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明結(jié)論）？

為了找到合適的范圍，我們借助繪圖軟件作出了y=cosh （cos x）、y=sinh （sin x）的圖像（如圖2所示）。根據(jù)圖像，我們形成了“可以擴(kuò)大變量的取值范圍，讓學(xué)生分類討論證明結(jié)論”的共識(shí)。同時(shí)，我們聯(lián)想到，2020年全國新高考適應(yīng)性考試（八省聯(lián)考）數(shù)學(xué)卷的最后一道題也是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的組合題，也是分成兩段區(qū)間討論解決的，從而堅(jiān)定了上述共識(shí)。

在此基礎(chǔ)上，我們先將范圍調(diào)整為-5π4，π4，但嘗試解答后發(fā)現(xiàn)，解答起來有點(diǎn)拖泥帶水，不夠簡潔;繼而將范圍調(diào)整至-π，π4，解答只需要進(jìn)行兩次討論即可。

四、設(shè)置參考答案

推敲打磨細(xì)節(jié)后，還需要設(shè)置參考答案（解題過程），一來檢查題目是否可解、是否適合學(xué)生解答，二來給閱卷評(píng)分提供參考。設(shè)置參考答案時(shí)，我們的原則是盡可能從學(xué)生的角度出發(fā)思考。

試題基本“定形”的第1小題，解題思路比較清晰，解答過程也比較簡單。這里重點(diǎn)談?wù)劦?小題參考答案的設(shè)置。

作差法應(yīng)該是學(xué)生首選的解題方法，因?yàn)樽鞑罘ㄊ茄芯坎坏汝P(guān)系最樸素、最基本的一種方法。于是，我們從作差比大小的角度探索解題思路。cosh（cos x）-sinh（sin x）=ecos x+e-cos x2-esin x-e-sin x2，下面的問題就是如何判斷符號(hào)。注意到四項(xiàng)中只有-esin x為負(fù)數(shù)，其余三項(xiàng)均為正數(shù)，將三個(gè)正數(shù)項(xiàng)與-esin x組合來判斷符號(hào)應(yīng)該是自然的想法。

比如組合成12[（ecos x-esin x）+（e-cos x+e-sin x）]，就需要比較ecos x、esin x的大小，自然想到運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化成比較cos x、sin x的大小，這就需要分x∈-3π4，π4和x∈-π，-3π4兩種情況討論。當(dāng)x∈-3π4，π4時(shí)，解題過程如下：

當(dāng)x∈-3π4，π4時(shí)，cos x≥sin x，且y=ex在R上單調(diào)遞增，得ecos x≥esin x，即ecos x-esin x≥0。又e-cos x>0，e-sin x>0，得cosh （cos x）-sinh （sin x）>0，即cosh （cos x）>sinh （sin x）。

而當(dāng)x∈-π，-3π4時(shí)，用上述組合無法判斷，可考慮重新組合（這正是思維的難點(diǎn)所在）。比如組合成12[（ecos x+e-cos x）+（e-sin x-esin x）]，只需要說明e-sin x>esin x。解題過程如下：

當(dāng)x∈-π，-3π4時(shí)，sin x≤0，由y=ex的單調(diào)性，得e-sin x≥esin x，故cosh（cos x）>sinh （sin x）。

當(dāng)然，也可以分x∈[-π，0）和x∈0，π4兩種情況討論，分別用上述組合處理。

此外，當(dāng)x∈0，π4時(shí)（也是判斷試題“雛形”中D選項(xiàng)時(shí)的一種分類），也可以在復(fù)合函數(shù)的視角下審視函數(shù)變化的快慢以及最值，但這要求學(xué)生對(duì)常見函數(shù)（雙曲線型函數(shù)）有足夠的理解：

當(dāng)x∈0，π4時(shí)，令t=esin x，s=ecos x，則t∈[1，e22]，s∈[e22，e]，由于12t-1t≤12e22-e-22，12s+1s≥12e22+e-22，所以cosh （cos x）>sinh （sin x）。

五、再次讀題，調(diào)整表述

最后，需要再次完整讀題，調(diào)整表述（力求完美）：既要逐字逐句地讀文字表述，對(duì)可能存在的歧義以及不嚴(yán)謹(jǐn)之處予以糾正，也要一一檢查數(shù)據(jù)、圖表，避免出現(xiàn)科學(xué)上的問題。

閱讀試題基本“定形”的題干時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，“它（懸索橋）的圖形是平面幾何中的懸鏈線”這樣的表述并不嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)閼宜鳂虿粌H僅包括懸索，還有其他結(jié)構(gòu)，于是將其調(diào)整為“懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線”。我們又發(fā)現(xiàn)，“當(dāng)c=1時(shí)，就是雙曲函數(shù)，其中雙曲余弦函數(shù)cosh x=ex+e-x2，雙曲正弦函數(shù)sinh x=ex-e-x2”這樣的表述也不嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)橛赏茖?dǎo)出的懸鏈線方程，當(dāng)c=1時(shí)只能得到雙曲余弦函數(shù)，于是將其調(diào)整為“當(dāng)c=1時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)cosh x=ex+e-x2。類似地，我們得到雙曲正弦函數(shù)sinh x=ex-e-x2”。

另外，對(duì)于本題中懸索橋的圖片，我們也花費(fèi)了一定的心思：在網(wǎng)絡(luò)上找了很多圖片進(jìn)行對(duì)比，從清晰度、美觀性和印刷影響等方面綜合考量，最終選定為圖3。