□孫 鑫

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》相比，有一些新的變化。其中有一個(gè)變化是對(duì)三角形認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容作了調(diào)整。調(diào)整后，第三學(xué)段（5~6 年級(jí)）在“教學(xué)提示”中要求“圖形的認(rèn)識(shí)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊，并說(shuō)出其中的道理……”唐彩斌老師在2021 年“白馬湖之秋”課堂教學(xué)節(jié)上了一節(jié)《借助尺規(guī)再探三角形》的研討課，讓學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)從感性走向理性，讓學(xué)生的表達(dá)“有理可循”，理解“有圖可見”，為一線教師提供了一節(jié)“如何引導(dǎo)學(xué)生‘尺規(guī)作圖’”的教學(xué)示范課。

一、情境導(dǎo)入，了解“說(shuō)理”基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)教學(xué)要“知其然”，更要“知其所以然”。學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，應(yīng)“說(shuō)出其中的道理”。我們一直認(rèn)為小學(xué)生受年齡特點(diǎn)、心理特征、知識(shí)儲(chǔ)備等限制，“說(shuō)理”是一件很困難的事情。其實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生“說(shuō)出其中的道理”是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)原理的理解，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次思考。

師：四年級(jí)同學(xué)聽說(shuō)我今天要給六年級(jí)的同學(xué)上有關(guān)“三角形”的課，他們很不服氣。他們說(shuō)，他們也認(rèn)識(shí)三角形，這是他們的討論發(fā)言，咱們一起來(lái)看一看（出示圖1）。

圖1

師：這些發(fā)言，你們同意嗎？如果不同意，請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由。

生：第一個(gè)同學(xué)說(shuō)的是對(duì)的。第二個(gè)同學(xué)忽略了重合的情況，所以她的說(shuō)法是錯(cuò)的，第三個(gè)和第四個(gè)同學(xué)糾正了她的錯(cuò)誤，沒問題。最后一個(gè)同學(xué)說(shuō)的是對(duì)的。

生：你前面的說(shuō)法我都同意，但你認(rèn)為最后一個(gè)同學(xué)說(shuō)得對(duì)，這我不同意?！叭切斡扇龡l線段圍成”是對(duì)的，“三條線段就能圍成一個(gè)三角形”不對(duì)。如果三條線段是曲線就不行。

生：我們學(xué)過，線段是一條直的線，它有兩個(gè)端點(diǎn)。所以說(shuō)是線段，就已經(jīng)說(shuō)明不是曲線了。

師：大家聽明白了嗎？她說(shuō)得有理由有根據(jù)，這樣的表達(dá)讓人信服！所以最后一個(gè)同學(xué)說(shuō)的也是對(duì)的，大家同意嗎？

（多數(shù)學(xué)生點(diǎn)頭，少數(shù)學(xué)生舉手）

生:三角形是由三條線段圍成的，但不是所有的三條線段都能圍成三角形。

（更多的學(xué)生表示贊同）

師：數(shù)學(xué)是講道理的，今天我們就這個(gè)問題再來(lái)探討一下。

唐老師通過創(chuàng)設(shè)情境，以微信群討論的形式引入教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“群討論”的內(nèi)容是否正確進(jìn)行判斷，讓學(xué)生在交流中“有道理”地說(shuō)明自己的理由，對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)和性質(zhì)進(jìn)行思考和辨析，為后續(xù)“說(shuō)理”奠定基礎(chǔ)。

二、活動(dòng)展開，探索“畫圖”方法

動(dòng)手操作是大腦和手的協(xié)同活動(dòng)，體現(xiàn)了“做中學(xué)”的理念，學(xué)生在動(dòng)手中激發(fā)好奇心，在動(dòng)腦中拓展思維。唐老師以“畫給定邊長(zhǎng)的三角形”為活動(dòng)主題，引導(dǎo)學(xué)生在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下完成“尺規(guī)作圖”的過程。

（一）獨(dú)立嘗試，畫給定邊長(zhǎng)的三角形

出示問題：有4 組線段，第一組邊長(zhǎng)分別是4、5、6；第二組邊長(zhǎng)分別是3、4、8；第三組邊長(zhǎng)分別是3、5、8；第四組邊長(zhǎng)分別是5、5、5（單位：cm）。請(qǐng)你判斷，哪一組能圍成三角形？哪一組不能圍成三角形？

（經(jīng)過集體判斷后，學(xué)生開始獨(dú)立嘗試畫第一組三角形）

師：我來(lái)調(diào)查一下大家的畫法。在畫這個(gè)三角形的時(shí)候，用過兩次以上橡皮的請(qǐng)舉手（絕大多數(shù)學(xué)生舉手）。用尺子就把這個(gè)三角形畫成功的請(qǐng)舉手（少部分學(xué)生舉手）。

（展示學(xué)生作品1，如圖2）

圖2

師：他第一條畫的是6cm 線段，第二條畫的是4cm 線段。于是這位同學(xué)就去量最后這條線段兩點(diǎn)之間的距離，一量卻發(fā)現(xiàn)那一段……

生：不是5cm。

師：不是5cm，他總不好意思很違心地就把它連起來(lái)，怎么辦？所以很多同學(xué)和他的經(jīng)歷差不多，就把這一條擦掉，重新再畫過，但畫了好幾次都沒有成功。

師：也有運(yùn)氣很好的同學(xué)，成功了，我們一起來(lái)看看。

（展示學(xué)生作品2，如圖3）

生：老師，你仔細(xì)看，會(huì)發(fā)現(xiàn)5cm 的那條和4cm 那條還差一點(diǎn)點(diǎn)，我剛才也試了好幾次，總差一點(diǎn)，太難了。

圖3

師：在不斷地嘗試中，總想找到剛好畫上去是5cm，但又不要影響那個(gè)4cm，看起來(lái)還行，但自己總覺得還差那么一點(diǎn)點(diǎn)。

讓學(xué)生獨(dú)立探索畫“給定邊長(zhǎng)的三角形”是有一定難度的。唐老師讓學(xué)生經(jīng)歷嘗試的過程，學(xué)生在實(shí)踐中會(huì)對(duì)“畫三角形”這個(gè)任務(wù)的難度有深刻的體會(huì)。同時(shí)，好奇心將驅(qū)使學(xué)生進(jìn)一步思考：有沒有方法可以比較方便地畫出標(biāo)準(zhǔn)的三角形呢？這為學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖的方法奠定了心理基礎(chǔ)。

（二）示范演示，講解用尺規(guī)作圖畫三角形的基本方法

師：畫三角形好像沒有看起來(lái)那么簡(jiǎn)單，有沒有不用體驗(yàn)?zāi)敲炊啻煺鄹?，就能畫出給定邊長(zhǎng)的三角形的好辦法呢？

（教師利用幾何畫板演示，先畫一條長(zhǎng)6cm 的線段）

師：我們要做的是找一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到6cm 線段一個(gè)端點(diǎn)的距離剛好是4cm，我們遇到的困難是這個(gè)點(diǎn)連接6cm 線段的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)度不是5cm。其實(shí)到這個(gè)點(diǎn)距離等于4cm 的點(diǎn)有很多，在很多個(gè)點(diǎn)中總有一個(gè)點(diǎn)是符合要求的。

師：用什么工具可以幫助你找到很多距離這個(gè)點(diǎn)是4cm的點(diǎn)？

生（全體）：圓規(guī)。

（教師用圓規(guī)演示，以6cm 線段的一個(gè)端點(diǎn)為圓心，圓規(guī)兩點(diǎn)之間的距離為4cm，畫一條弧線）

師：我們?cè)倏?cm 線段的另外一個(gè)端點(diǎn)，圓規(guī)兩點(diǎn)之間的距離是幾？現(xiàn)在你有辦法了嗎？

生：（興奮地）我知道了！用圓規(guī)，以6cm 線段的另一個(gè)端點(diǎn)為圓心，兩點(diǎn)之間距離為5cm畫一條弧線。這兩個(gè)弧相交的地方就是我們要找的點(diǎn)。

師：你們能聽懂他說(shuō)的嗎？是什么意思？

生：我明白了，左邊這條弧上所有的點(diǎn)到左邊端點(diǎn)的距離都是4cm，右邊這條弧上所有的點(diǎn)到右邊端點(diǎn)的距離都是5cm。兩條弧相交的點(diǎn)，既滿足到左邊端點(diǎn)距離等于4cm，又滿足到右邊端點(diǎn)距離等于5cm，太標(biāo)準(zhǔn)了！

生：畫完以后把弧線擦掉，再這樣把這個(gè)點(diǎn)和線段兩邊的端點(diǎn)連起來(lái)，就是一個(gè)符合要求的三角形。

學(xué)習(xí)過程是知識(shí)同化與順應(yīng)的過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)起到非常重要的作用。所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”，唐老師在學(xué)生畫圖遇到困難的時(shí)候，提供了“圓規(guī)可以幫忙”的引導(dǎo)，學(xué)生在這一思路的引領(lǐng)下，想到“找兩條弧長(zhǎng)的交點(diǎn)確定三角形第三個(gè)頂點(diǎn)位置”的方法。學(xué)習(xí)成了學(xué)生自我成長(zhǎng)、自我挑戰(zhàn)、自我完善的過程。

三、借圖說(shuō)理，體會(huì)三角形三邊關(guān)系

（一）嘗試交流，體會(huì)三角形“任意兩邊之和大于第三邊”的原因

師：剛剛大家嘗試畫了邊長(zhǎng)為4、5、6 和5、5、5的兩個(gè)三角形。我們知道用邊長(zhǎng)為3、4、8和3、5、8的兩組線段，畫不出三角形。你能用“畫”的辦法，說(shuō)明為什么畫不出來(lái)的道理嗎？

生：如果線段長(zhǎng)度為3、4、8 的話，先畫一條長(zhǎng)4cm 的線段，再以一個(gè)端點(diǎn)為圓心畫一個(gè)半徑為3cm 的圓，以另一個(gè)端點(diǎn)為圓心畫一個(gè)半徑為8cm的圓。這個(gè)小圓被包含在大圓里面，永遠(yuǎn)都不可能有交點(diǎn)，也就是說(shuō)找不到第三個(gè)點(diǎn)，所以畫不出來(lái)。

師：看來(lái)大家已經(jīng)可以用畫的辦法，說(shuō)明長(zhǎng)度是3、4、8cm的線段是組不成三角形的。還有同學(xué)覺得不用畫，也能說(shuō)明它是組不成三角形的。誰(shuí)能來(lái)說(shuō)說(shuō)理由？

生：因?yàn)槿切蔚娜我鈨蓷l邊之和必須大于第三條邊。

師：那么我們是不是要兩兩組合都試一下，比如說(shuō)8+4是不是大于3，也需要試嗎？

生：我覺得只要算這三條邊中較短的兩條邊就可以了。因?yàn)樽铋L(zhǎng)的那條邊無(wú)論和誰(shuí)加起來(lái)都會(huì)比最后一條邊長(zhǎng)。

師：就看短的兩條邊就行了。剛剛還有一種情況是線段長(zhǎng)為3、5、8，3+5 剛剛好等于8，剛剛好行不行？

生：3 加5 等于8，兩條線重合了。我們想象一下，先畫一條8cm 長(zhǎng)的線段，到左邊這個(gè)端點(diǎn)等于3cm 的點(diǎn)和到右邊端點(diǎn)等于5cm 的點(diǎn)，會(huì)有交點(diǎn)嗎？如果有，交點(diǎn)會(huì)在哪個(gè)地方？

師：可以把它畫出來(lái)。

生：（一邊畫一邊說(shuō)）它們相交的點(diǎn)剛剛好在這條8cm長(zhǎng)的線段上，它不是一個(gè)三角形。

（其他學(xué)生點(diǎn)頭表示同意）

師：所以不是所有的三條線段都能組成三角形。對(duì)于三條線段能不能組成三角形，我們通常用什么方法去判斷？

生：任意兩邊之和大于第三邊。

師：我們?cè)瓉?lái)就知道這個(gè)“原則”，現(xiàn)在的知道和以前的知道之間有沒有什么不一樣的地方？

生：我現(xiàn)在能夠用畫的方法，更有道理地說(shuō)明為什么這樣了！

以上過程，唐老師引導(dǎo)學(xué)生用“畫”的方法，對(duì)三角形三邊關(guān)系，從“知其然”自然地上升到了“知其所以然”，學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)是講道理的”有了更深刻的感悟與理解。

（二）拓展應(yīng)用，利用三角形三邊關(guān)系解決問題

“抽盲盒”活動(dòng)：圖4 中，有三個(gè)高度為4cm 的盲盒，每個(gè)盲盒里面都裝有豎著放置的三根長(zhǎng)度是整厘米數(shù)的小棒。

師：請(qǐng)你閉著眼睛來(lái)抽盲盒，無(wú)論抽到哪一個(gè)盒子都要做出判斷，說(shuō)清這個(gè)盒子里的三根小棒能不能圍成一個(gè)三角形。先想一想抽到哪一個(gè)可以圍成三角形，哪一個(gè)不能，可以相互商量一下。

圖4

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再同桌交流）

師：你心里最想抽到的是幾號(hào)？

生：①號(hào)。

師：為什么？

生：因?yàn)棰偬?hào)三根都看見了，不管怎么樣都能圍成一個(gè)三角形。

（學(xué)生抽到了②號(hào)）

師：你抽到了②號(hào)，能判斷它里面的三根小棒是否可以圍成三角形？

生：②號(hào)盲盒里有兩根小棒的長(zhǎng)度是看到了的，一根長(zhǎng)6cm，一根長(zhǎng)8cm。另外一根看不到，說(shuō)明看不到的那根小棒的長(zhǎng)度小于或等于4cm。如果它的長(zhǎng)度是1cm 或2cm，那么這根小棒加上6cm長(zhǎng)的小棒都不能大于8cm，就圍不成三角形。如果它的長(zhǎng)度是3cm 或4cm，那么和6cm 加起來(lái)就大于8cm，能圍成三角形。

師：如果他抽中的是③號(hào)，能判斷出是否能組成三角形呢？

生：不能組成。

師：一定不能組成，還是不一定能組成？

生：一定不能。因?yàn)棰厶?hào)只有一根8cm的小棒是可以看得到的，還有兩根肯定是等于或者小于4cm，就算兩根小棒都是4cm，兩根加起來(lái)也只是剛好等于8，所以說(shuō)它想要連成三角形是不可能的。

師：假如還有一個(gè)盲盒，一根小棒的長(zhǎng)度都看不到，你還能判斷嗎？

生：不一定！

師：有一個(gè)同學(xué)偷偷地瞄了一眼，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要的信息，她說(shuō)三根都是一樣長(zhǎng)的，可不可以？

生（全體）：可以。

師：她說(shuō)有兩根一樣長(zhǎng)的。

生（部分）：可以。

師：說(shuō)說(shuō)理由。

生：如果三根一樣長(zhǎng)，可以圍成等邊三角形。如果兩根一樣長(zhǎng)，比如其中兩根是3cm，有一根是1cm，那么1+3=4比3大，那就一定能圍成。如果兩根一樣長(zhǎng)，都是2cm，另外一根是1cm，1+2=3，比2大，也可以。

生：我有不同意見，如果有兩根是1cm的，還有一根是3cm的就不行。只要有一種情況不行，就不能說(shuō)可以，只能說(shuō)不一定。

師：看來(lái)一個(gè)盒子里面蘊(yùn)含的問題還挺多，但是我認(rèn)為我們看見也好，看不見也好，在判斷它能不能組成三角形的時(shí)候，都依據(jù)了一條重要的規(guī)律，是什么？

生（全體）：任意兩邊之和大于第三邊。

以上過程中，唐老師以猜盲盒的形式拓展學(xué)生的思考空間。學(xué)生以“任意兩邊之和大于第三邊”為應(yīng)用依據(jù)，判斷小棒是否可以圍成三角形。從“三根小棒都能看見”為起點(diǎn)，過渡到“兩根小棒能看見”“一根小棒能看見”再到“三根小棒都看不見”，學(xué)生不但能從知識(shí)本身出發(fā)進(jìn)行“說(shuō)理”，也能結(jié)合實(shí)際，注意到盒子長(zhǎng)度的隱性條件進(jìn)行思考，從而解決問題。在這個(gè)過程中學(xué)生的表達(dá)非常精彩。這些精彩來(lái)自教師之前對(duì)“說(shuō)理”的鋪墊，來(lái)自學(xué)生在動(dòng)手“畫”的過程中的體悟。

（三）歸納概括，感悟“其中”道理

師：咱們根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”解決了盲盒的問題。這句話是怎么來(lái)的呢？你有沒有懷疑過這句話？這句話一定正確嗎？

生：我們首先假設(shè)三角形的一條邊等于另外兩條邊的和，就像剛才我們用圓規(guī)畫三角形一樣，以短的兩條邊為半徑畫成的兩個(gè)圓只有一個(gè)相交的點(diǎn)，就是在那條長(zhǎng)的邊上，所以不能圍成三角形。然后我們?cè)偌僭O(shè)兩條短的邊的和小于長(zhǎng)的邊，那么一樣這個(gè)圓就無(wú)論如何都碰不在一起，沒有交點(diǎn)就不能圍成三角形，所以三角形的任意兩邊之和大于第三條邊。

師：他腦子里有一幅剛才我們用圓規(guī)畫的圖，通過有沒有交點(diǎn)以及交點(diǎn)的位置判斷是否可以圍成三角形，這樣想很好。

生：我覺得還有一個(gè)解釋。三角形三條邊分別為a、b、c，如果a是下面的一條長(zhǎng)線段，b和c要是能和a一起組成一個(gè)三角形，相當(dāng)于它們兩個(gè)連在一起至少相當(dāng)于a的上面（或下面），這兩條邊像一條折了一下的線，所以它肯定比a邊要長(zhǎng)一點(diǎn)。

生：簡(jiǎn)單地說(shuō)就是兩點(diǎn)之間線段是最短的。

師：厲害！基于這個(gè)基本事實(shí)我們就可推理了，你能不能用一個(gè)算式來(lái)表示兩邊之和大于第三邊的結(jié)論？

生：因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以a+b>c，a+c>

b，b+c>a。

師：根據(jù)這樣的結(jié)論，我們就可以堅(jiān)定不移地說(shuō)，它是一個(gè)正確的結(jié)論。這個(gè)今天反復(fù)被我們使用的結(jié)論叫什么？

生：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

師：這個(gè)結(jié)論千真萬(wàn)確，有理有據(jù)。不是我們量出來(lái)的，不是我們算出來(lái)的，而是我們基于一個(gè)基本的事實(shí)推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論，所以可以放心地使用。

本節(jié)課，首先唐老師通過恰當(dāng)情境構(gòu)造說(shuō)理環(huán)境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生說(shuō)理的積極性和邏輯性，讓學(xué)生做到了“有理可辯”；其次對(duì)學(xué)生不那么容易理解的“道理”，唐老師沒有直接從判斷推理進(jìn)入，而是以尺規(guī)作圖畫三角形開始，讓學(xué)生在“有圖可見”中，逐步明晰道理；接著，他運(yùn)用盲盒這一情境，讓學(xué)生經(jīng)歷推理的過程，拓展思考空間，演繹了“有理可循”；最后學(xué)生經(jīng)歷從具象的“看到”到抽象的推理論證的過程，成就了“有據(jù)可證”。唐老師的課圍繞新內(nèi)容“尺規(guī)作圖”，讓我們看到了如何引導(dǎo)學(xué)生操作，怎樣教會(huì)學(xué)生推理，值得一線教師深入思考，反復(fù)學(xué)習(xí)！