許素貞

[摘要]高等數(shù)學(xué)中的定理具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，學(xué)生不易理解.以“反函數(shù)的求導(dǎo)法則”為例，將“問題串”融入高等數(shù)學(xué)定理教學(xué)中，可以引發(fā)學(xué)生自主思考，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在潛力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維，鍛煉學(xué)生分析、解決問題的能力.“問題串”的設(shè)置應(yīng)具有啟發(fā)性、連貫性、指向性.

[關(guān)鍵詞]“問題串”;數(shù)學(xué)定理;“反函數(shù)求導(dǎo)法則”;邏輯思維

[中圖分類號(hào)]G712[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A??? [文章編號(hào)]2096-0603（2022）27-0150-03

高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)可劃分為概念、定理、計(jì)算和應(yīng)用四大類型，定理是其中占比較大且十分重要的內(nèi)容.高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)定理具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，學(xué)生不易理解定理的含義，更難深度掌握定理中的內(nèi)在聯(lián)系.在實(shí)際教學(xué)中，一些教師采用教師講、學(xué)生聽的模式來講解定理，學(xué)生被動(dòng)接受，學(xué)習(xí)效果不佳.一些教師通過弱化定理的探索、推導(dǎo)和證明過程，突出解題計(jì)算來展開教學(xué)[1]，學(xué)生不明原理，依靠記憶機(jī)械化的學(xué)習(xí)，久而久之，思維更加混亂.所以，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，重視定理本身，重視定理的探究，重視定理的教授方法是尤為重要的.

一、“問題串”的內(nèi)涵

“問題串”是指基于學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)，結(jié)合學(xué)生思維發(fā)展，圍繞課程教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)提出的一系列具有內(nèi)在聯(lián)系的有效問題[2].“問題串”是教師課堂教學(xué)的有利工具，也是學(xué)生獲取知識(shí)的重要載體。將“問題串”融入課堂教學(xué)中，將具體的教學(xué)內(nèi)容落到每一個(gè)問題中，學(xué)生在解決問題的過程中可以獲取新知，可以發(fā)散思維，可以提高能力.

二、高等數(shù)學(xué)中定理學(xué)習(xí)的作用

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)除了使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，提升學(xué)生解決問題的能力.高等數(shù)學(xué)中的定理知識(shí)雖然較難理解，但它對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的形成和思維能力的培養(yǎng)起著舉足輕重的作用.定理的探索和證明需要的是嚴(yán)密的推理，對(duì)這些推理過程的理解，可以使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性，從而形成思考問題、分析問題時(shí)思維的縝密性和邏輯性.

三、“問題串”在高等數(shù)學(xué)定理教學(xué)中的應(yīng)用

以“反函數(shù)的求導(dǎo)法則”為例.

（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入

教師設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)和反函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

1.對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的復(fù)習(xí)

問題1：函數(shù)f（x）可導(dǎo)是什么含義？

問題2：函數(shù)f（x）連續(xù)是什么含義？

問題3：函數(shù)f（x）可導(dǎo)與連續(xù)有什么關(guān)系？

2.對(duì)反函數(shù)內(nèi)容的復(fù)習(xí)

問題4：函數(shù)x=2y的反函數(shù)是什么？

問題5：函數(shù)y=arcsinx是哪個(gè)函數(shù)的反函數(shù)？（x=siny）

問題6：所有的函數(shù)都有反函數(shù)嗎？什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)？

問題7：單調(diào)的函數(shù)是否有反函數(shù)？

問題8：如何求解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？

（二）定理探究

1.大膽猜想

小組合作將探索圖（圖1）中的內(nèi)容填寫完整，大膽猜想反函數(shù)求導(dǎo)法則.

2.小心求證

（1）定理分析

設(shè)計(jì)如下分析“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生分析定理?xiàng)l件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系.

問題1：定理中有幾個(gè)條件、幾個(gè)結(jié)論？分別列出條件和結(jié)論.

問題2：x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)對(duì)結(jié)論起到什么

作用？

由復(fù)習(xí)中的引導(dǎo)可知，x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)，則x=φ（y）有反函數(shù).

問題3：x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)可導(dǎo)且φ′（y）≠0，起到什么作用？

直觀分析定理，猜測x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)可導(dǎo)，可幫助得到反函數(shù)y=φ-1（x）可導(dǎo)及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)，φ′（y）≠0可以保證倒數(shù)中的分母不

為零.

問題3（1）：x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)可導(dǎo)，由可導(dǎo)的定義，可以進(jìn)一步獲得什么結(jié)論？

問題3（2）：要說明反函數(shù)y=φ-1（x）在區(qū)間Ix=φ（Iy）內(nèi)也可導(dǎo)，由可導(dǎo)的定義，需要得到什么結(jié)果？

問題3（5）：Δx→0時(shí)，Δy→0嗎？

根據(jù)復(fù)習(xí)導(dǎo)入中連續(xù)的定義可知，若函數(shù)y=φ-1（x）連續(xù)，即可說明Δx→0時(shí)，Δy→0.由于x=φ（y）連續(xù)（可導(dǎo)一定連續(xù)），所以作為x=φ（y）的反函數(shù)y=φ-1（x）也是連續(xù)的.

（2）定理證明

由于函數(shù)x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)，可導(dǎo)（從而連續(xù)），因此有x=φ（y）的反函數(shù)y=φ-1（x）存在，且y=φ-1（x）在區(qū)間Ix內(nèi)也單調(diào)，連續(xù).

（三）定理應(yīng)用

1.例題精煉

例：求反正弦函數(shù)y=arcsinx的導(dǎo)數(shù).

2.步驟梳理

在求解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，首先要找出直接函數(shù)，并確定好定義區(qū)間;然后驗(yàn)證直接函數(shù)是否單調(diào)、可導(dǎo)，并且導(dǎo)數(shù)不為零;最后利用反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)來求出反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

在“反函數(shù)的求導(dǎo)法則”教學(xué)過程中，教師基于學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)，關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展，指向課程教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)提出有效的問題，串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生的深入思考.在問題串的幫助下，學(xué)生能夠深入挖掘定理中的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，真正理解定理的含義.

四、應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)定理教學(xué)的“問題串”設(shè)計(jì)的基本原則

為提高“問題串”應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)定理教學(xué)的有效性，在設(shè)計(jì)“問題串”時(shí)，應(yīng)遵循以下幾個(gè)基本原則：

（一）基于學(xué)生基礎(chǔ)，具有啟發(fā)性[3]

在高等數(shù)學(xué)定理教學(xué)中應(yīng)用“問題串”，目的是區(qū)別于傳統(tǒng)教學(xué)方式，借助問題來引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理進(jìn)行深入探究，因此，“問題串”的設(shè)計(jì)應(yīng)該具有啟發(fā)性.要設(shè)計(jì)出真正能起到啟發(fā)作用的“問題串”，問題的創(chuàng)設(shè)很重要.創(chuàng)設(shè)問題時(shí)，要充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，創(chuàng)設(shè)出的問題既要值得學(xué)生探索，又要讓學(xué)生能夠探索，既要符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，又要直擊學(xué)生思維障礙之處.例如，在“反函數(shù)的求導(dǎo)法則”中，已知直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，為了幫助學(xué)生探索反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)計(jì)了問題3（1）、3（2）.這兩個(gè)問題的設(shè)計(jì)既建立在學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)上，又符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，可以直擊定理?xiàng)l件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，突破思維困境.

基于學(xué)生基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)出具有啟發(fā)性的問題，可以幫助學(xué)生降低學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)學(xué)習(xí)積極性，提高解決問題的能力.

（二）基于問題本身，具有連貫性

在數(shù)學(xué)課堂上，用“提問”的方式展開教學(xué)已經(jīng)是一種常態(tài)了，但一些問題的提出都太過隨意.“問題串”并不只是擺在一起隨意提出的多個(gè)問題，它應(yīng)該具有連貫性.在設(shè)置“問題串”中的每一個(gè)問題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)斟酌，考慮問題本身是否具有內(nèi)在聯(lián)系，是否邏輯連貫，是否層次遞進(jìn).

在設(shè)計(jì)“問題串”時(shí)，可能只設(shè)計(jì)一串主干“問題串”，也可能在主干“問題串”的下面設(shè)計(jì)了分支“問題串”（就像問題3下面還設(shè)置了分支“問題串”）.主干“問題串”要具有連貫性，分支“問題串”也要具有連貫性.只有這樣，才能使整個(gè)教學(xué)過程自然流暢，才能使學(xué)生的邏輯思維不被分散，才能發(fā)揮出“問題串”的最好效果.

（三）基于教學(xué)目標(biāo)，具有指向性

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施的依據(jù)，“問題串”是根據(jù)某個(gè)教學(xué)目標(biāo)設(shè)置的一串有效問題，所以“問題串”應(yīng)具有明確的指向性.設(shè)計(jì)“問題串”時(shí)，要把握“問題串”的最終指向目標(biāo)是什么，也要明確“問題串”中每個(gè)問題的設(shè)計(jì)目的是什么，是為了考查學(xué)生對(duì)定理的理解程度，還是為了激發(fā)學(xué)生對(duì)下一個(gè)問題的探索熱情？或是為了啟發(fā)學(xué)生更深入地思考？每個(gè)問題的設(shè)置都應(yīng)有其值得被設(shè)置的理由.

在高等數(shù)學(xué)定理教學(xué)中，確定好“問題串”要指向的目標(biāo)，再設(shè)置連貫性、邏輯性強(qiáng)的問題引導(dǎo)課堂教學(xué)，不僅能促進(jìn)學(xué)生對(duì)定理的深度理解，更能促進(jìn)思維的深度開發(fā)[4]，最終達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

五、結(jié)語

數(shù)學(xué)是思維的“體操”，思維是數(shù)學(xué)的“靈魂”[5].學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程，不僅要掌握知識(shí)，更要掌握思維方式.教師基于學(xué)生基礎(chǔ)、問題本身、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置具有啟發(fā)性、連貫性、指向性的“問題串”，學(xué)生通過自主思考來解決“問題串”中的一個(gè)個(gè)問題，這種教學(xué)模式既可以幫助學(xué)生深刻理解高等數(shù)學(xué)中的定理，又可以深入激發(fā)學(xué)生思考的內(nèi)在潛力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維，鍛煉學(xué)生分析、解決問題的能力都具有非常明顯的作用.

參考文獻(xiàn)：

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