摘 要：“圖形與幾何”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要知識領(lǐng)域，幾何作圖能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須掌握的一項(xiàng)基本技能。教師在教學(xué)中要注重對學(xué)生良好作圖習(xí)慣的培養(yǎng)，幫助學(xué)生深刻理解圖形的有關(guān)概念，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范作圖，掌握幾何作圖的技能和技巧，積累幾何作圖的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：幾何作圖;空間觀念;數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2022）20-0013-03

引? 言

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。其中，空間形式主要就是研究“形”，即“圖形”。我們生活的客觀世界中存在著大量的“形”，這些“形”去掉輕重、軟硬、冷熱等物理屬性后，抽象出形狀、大小等數(shù)學(xué)屬性的“形”，即“幾何圖形”?！皥D形與幾何”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要知識領(lǐng)域，作圖是學(xué)習(xí)幾何知識的一項(xiàng)重要技能，幾何作圖能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須掌握的一項(xiàng)基本技能。在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生幾何作圖能力，對發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、動手操作能力、審美能力，對弘揚(yáng)學(xué)生科學(xué)的求知精神，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度等都具有重要的意義。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)學(xué)活動要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法[1]。而筆者在一次新接手的五年級某班的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，該班學(xué)生在幾何作圖方面有較多問題，普遍存在諸如審題不仔細(xì)亂作圖、幾何概念知識理解模糊不會作圖等問題;也存在作圖操作不規(guī)范導(dǎo)致所作的幾何圖形不標(biāo)準(zhǔn)、不美觀等問題;還有操作過程無方法、無技巧等問題。這些問題都嚴(yán)重影響了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。為了改變這一現(xiàn)狀，筆者申報(bào)了“小學(xué)高年級學(xué)生幾何作圖能力提升的實(shí)踐研究”個(gè)人課題。在確定研究課題后，筆者進(jìn)行了一次學(xué)情調(diào)查。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)等導(dǎo)致的問題比較普遍。于是，筆者針對這幾個(gè)問題開展了相關(guān)的矯正實(shí)踐研究，取得了一定的效果，具體措施如下。

一、培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

借助鉛筆和標(biāo)準(zhǔn)尺規(guī)等作圖工具，既可以使作圖方便，又可以使作出的幾何圖形規(guī)范、標(biāo)準(zhǔn)、美觀，就算出錯(cuò)也可以快速修改，不影響后續(xù)觀察幾何圖形[2]。通過一段時(shí)期的教學(xué)觀察和學(xué)情調(diào)研，筆者發(fā)現(xiàn)，新接手的班級中許多學(xué)生在幾何作圖時(shí)不使用鉛筆作圖，導(dǎo)致作圖錯(cuò)誤后的修改既麻煩又不整潔。針對學(xué)生作圖不使用鉛筆這一現(xiàn)象，筆者專門開展了一節(jié)作圖課，在教學(xué)的開始環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了“幾何作圖的工具有哪些？”“為什么要使用這些工具？”等問題，組織學(xué)生討論。通過交流，引導(dǎo)學(xué)生從主觀意識上明白，對工具的規(guī)范使用，既是源于準(zhǔn)確作圖的需要，也是源于嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)習(xí)態(tài)度和科學(xué)求知精神的要求。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，數(shù)學(xué)活動要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。本課題所提的培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣主要包含兩方面內(nèi)容。一方面是指培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀和審題習(xí)慣，比如，在審題時(shí)要做到“三讀”，即第一遍快速瀏覽題干，第二遍圈出關(guān)鍵字詞，第三遍確定要完成的任務(wù)。學(xué)生應(yīng)在題干審理上用特殊符號進(jìn)行圈劃標(biāo)注，通過長期堅(jiān)持，培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣。另一方面是指培養(yǎng)學(xué)生良好的作業(yè)和作圖習(xí)慣，例如，用鉛筆和標(biāo)準(zhǔn)尺規(guī)作圖，規(guī)范操作流程，作圖結(jié)束回頭檢查，養(yǎng)成認(rèn)真負(fù)責(zé)任的態(tài)度和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木瘛?/p>

二、運(yùn)用科學(xué)的復(fù)習(xí)方法

及時(shí)復(fù)習(xí)就是要趕在遺忘之前進(jìn)行，不能等忘掉以后再復(fù)習(xí)[3]。學(xué)生生理和心理發(fā)育節(jié)奏不同，學(xué)習(xí)背景存在差異，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)積累的不確定性等因素，導(dǎo)致有些學(xué)生對概念性知識理解和掌握出現(xiàn)不到位、不牢固、偏差、易遺忘等問題。

例如，筆者在對全班學(xué)生關(guān)于“軸對稱圖形”“對稱軸”和“高”概念的調(diào)查結(jié)果中顯示問題比較嚴(yán)重。

以下是調(diào)查反饋的情況。

（1）（ ）的圖形是軸對稱圖形，（ ）叫作對稱軸。（2）正方形有（ ）條對稱軸，長方形有（ ）條對稱軸，等腰三角形有（ ）條對稱軸，等邊三角形有（ ）條對稱軸，等腰梯形有（ ）條對稱軸，圓有（ ）條對稱軸，半圓有（ ）條對稱軸。

【調(diào)查目的】了解學(xué)生對軸對稱圖形概念的理解和掌握情況。

（3）三角形有（ ）條高，平行四邊形有（ ）條高，梯形有（ ）條高。

【調(diào)查目的】了解學(xué)生對平面圖形高概念的理解和掌握情況。

【調(diào)查結(jié)果】在“軸對稱圖形”和“對稱軸”這兩個(gè)概念的調(diào)查中，調(diào)查結(jié)果顯示沒有學(xué)生回答正確。這一概念內(nèi)容是學(xué)生在中年段就應(yīng)該熟練掌握的知識點(diǎn)，可見學(xué)生對這一概念的掌握不理想，或者遺忘較嚴(yán)重，需要糾正。

在正方形、長方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形、圓、半圓這幾種軸對稱圖形的對稱軸有幾條的調(diào)查中，圓的對稱軸條數(shù)回答100%正確，正方形、長方形、等腰梯形、圓形及半圓的對稱軸條數(shù)回答正確率達(dá)93.0%及以上，錯(cuò)誤率較高的是關(guān)于等腰三角形和等邊三角形的對稱軸條數(shù)的區(qū)分。在三角形、平行四邊形和梯形高的條數(shù)方面，正確率分別是60.5%、32.6%和41.9%。調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生對這方面知識掌握情況極其不樂觀。在后續(xù)教學(xué)中，教師需要組織學(xué)生通過大量觀察與動手操作，糾正學(xué)生已經(jīng)形成的錯(cuò)誤認(rèn)知觀念。

鑒于以上調(diào)查，教師需要在平時(shí)的教學(xué)中結(jié)合艾賓浩斯遺忘曲線規(guī)律，有計(jì)劃地安排相關(guān)鞏固練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生串聯(lián)起數(shù)學(xué)知識內(nèi)部之間的聯(lián)系，使學(xué)生牢固掌握已學(xué)知識和技能。

三、規(guī)范正確的操作步驟

數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，作圖時(shí)的操作是否規(guī)范會直接影響計(jì)算結(jié)果的精確性，其影響所及，小到當(dāng)下的作業(yè)練習(xí)，大到未來的工作效率[4]。學(xué)生作圖時(shí)操作的不規(guī)范，正是其內(nèi)在素養(yǎng)缺失的外顯，這既是習(xí)慣品質(zhì)的缺失，也是技能技巧的缺乏。教師在平時(shí)教學(xué)中要堅(jiān)持做好規(guī)范性的指導(dǎo)，充分發(fā)揮生生和師生互動教學(xué)模式的作用，積極利用教學(xué)課件和微課視頻等教學(xué)資源推動教法多樣化。同時(shí)，教師還要注意教育心理學(xué)“先入為主”的效應(yīng)。在學(xué)生初次接觸操作時(shí)，教師需要注意正確、規(guī)范引導(dǎo)學(xué)生。

以教學(xué)“作垂直”一課為例，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先自主完成活動任務(wù)，再請學(xué)生來到講臺，借助視頻把思考和操作過程展現(xiàn)給全班同學(xué)，并組織學(xué)生討論交流操作的方法和步驟，在此基礎(chǔ)上總結(jié)出作垂直的“四步”操作法。即①靠線（即直尺靠已知直線），

②靠點(diǎn)（直角三角尺靠點(diǎn)），③作圖（鉛筆畫線），④標(biāo)

記（標(biāo)垂直符號）?？偨Y(jié)操作步驟有利于學(xué)生理解流程，總結(jié)的字?jǐn)?shù)簡潔不會給學(xué)生的元認(rèn)知記憶造成負(fù)擔(dān)，使其不容易遺忘。

四、積累有效的作圖經(jīng)驗(yàn)

在實(shí)際操作中，總有個(gè)別學(xué)生作圖的結(jié)果仍然會出錯(cuò)。究其原因，是缺少必要的作圖技巧。因此，在作圖教學(xué)過程中，教師可以幫助學(xué)生總結(jié)簡單易記的幾點(diǎn)操作步驟，研究一些簡單易操作的作圖技巧。針對這一現(xiàn)象，筆者梳理了小學(xué)階段幾何作圖的幾個(gè)技巧。

（一）作垂直的技巧

如圖1操作：①靠線（即直尺靠已知直線），②靠點(diǎn)（直角三角尺靠點(diǎn)），③作圖（鉛筆畫線），④標(biāo)記（標(biāo)垂直符號）。

（二）作平行的技巧

如圖2操作：①靠線（即直角三角尺的直角邊靠已知直線），②靠邊（直尺靠直角三角尺的另外一條直角邊），③平移（把直角三角尺平移到已知點(diǎn)處），

④作圖。

（三）圓規(guī)畫圓的技巧

如圖3操作：①定點(diǎn)（在圖紙上確定好圓心），②定長（圓規(guī)兩腳之間確定半徑，也可以用直尺在圖紙上畫好直徑或半徑），③旋轉(zhuǎn)（左手固定好圖紙，右手大拇指和食指捏住圓規(guī)最上面的把柄，把圓規(guī)往順時(shí)針方向稍微傾斜一點(diǎn)方便順暢地畫出圓）。

（四）圖形平移的技巧

小學(xué)階段圖形的平移主要是平面圖形的一次、二次橫向或縱向平移，往往有不少學(xué)生在進(jìn)行平移操作時(shí)會多平移一格，或少平移一格。為了幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行平移操作，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把平移的起點(diǎn)與直尺上的零刻度建立聯(lián)系，即平移前先確定一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)作零刻度，也就是起點(diǎn)，在起點(diǎn)處標(biāo)記“0”，然后往平移方向依次標(biāo)出需要平移的格子數(shù)，把參照點(diǎn)先平移到指定位置，再根據(jù)原圖還原（如圖4所示）。

（五）圖形旋轉(zhuǎn)的技巧

如果給出的原圖沒有邊與格子圖的格子線對齊重疊，則可以在原圖中，以旋轉(zhuǎn)點(diǎn)作一條輔助線，先把輔助線按照要求旋轉(zhuǎn)，再以輔助線為參照，還原整個(gè)圖形（如圖5所示）。

（六）圖形的放大與縮小技巧

如果給出的原圖沒有邊與格子圖的格子線對齊重疊，則可以在原圖外圍先畫出一個(gè)長方形，按照放大或縮小的比先把外圍的長方形進(jìn)行放大或縮小，然后找原圖與長方形的參照點(diǎn)進(jìn)行圖形復(fù)原（如圖6所示）。

結(jié)? 語

小學(xué)階段的幾何作圖涉及的僅僅是二維平面內(nèi)作圖。例如，作已知直線的垂線或平行線、畫指定度數(shù)的角、圖形的平移與旋轉(zhuǎn)、軸對稱、圖形的放大與縮小等。學(xué)生如若在小學(xué)階段就熟練掌握幾何作圖的技能，將會對未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到重要的作用。

綜上所述，“圖形與幾何”領(lǐng)域的作圖操作知識和技能教學(xué)，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，提高學(xué)生的推理能力和建模能力。教師要充分利用好這一教學(xué)資源，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

[參考文獻(xiàn)]

中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

方運(yùn)加.數(shù)學(xué)教學(xué)基本功：畫幾何直觀圖[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2020（05）：5-6.

張玉勝.畫平行線也要“講理”[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2019（10）：20.

羅永軍.新加坡小學(xué)生如何學(xué)習(xí)繪制立體圖[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2019（12）：23-24.

基金項(xiàng)目：本文系南京市棲霞區(qū)第11期個(gè)人課題“小學(xué)高年級學(xué)生幾何繪圖能力提升的教學(xué)實(shí)踐研究”研究成果之一，課題批準(zhǔn)號為“棲科個(gè)”（20）第076號。

作者簡介：潘學(xué)超（1983.9-），男，江蘇南京人，任教于南京市棲霞區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，教導(dǎo)處副主任，一級教師，本科學(xué)歷，榮獲區(qū)“優(yōu)秀青年教師”稱號。