孟憲良
【摘 要】 縱觀近兩年高考,試卷命題整體以全國教育大會(huì)精神為指引,全面貫徹落實(shí)“五育并舉”的教育方針,突出學(xué)科核心素養(yǎng),著重考查考生的閱讀能力、思維能力以及綜合運(yùn)用能力.本文以近兩年高考天津卷中的數(shù)列題型為例,提出幾點(diǎn)教學(xué)思考.
【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng);立德樹人;課程評價(jià)
1 2021年天津卷整體結(jié)構(gòu)分析
試卷秉承“穩(wěn)中有新,穩(wěn)中有變”的命題原則,在知識(shí)結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)、難度結(jié)構(gòu)上完整統(tǒng)一,考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),注重考查能力,以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,將知識(shí)、能力、素養(yǎng)融為一體,全面檢測考生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).
第1題集合的交并補(bǔ)運(yùn)算,第2題充分必要條件,這兩道題注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).第3題考查圖象辨析,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)的基本性質(zhì),發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢.
第4題統(tǒng)計(jì)中頻率分布直方圖,以大家熟悉的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推送影視作品為選材,以實(shí)際生活為背景,需要學(xué)生能從具體生活實(shí)際中抽象出數(shù)學(xué)模型,從統(tǒng)計(jì)圖表中發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵信息,處理生活中的概率統(tǒng)計(jì)問題.第5題比較大小,借助指對函數(shù)圖像及指對函數(shù)性質(zhì),題型穩(wěn)定,變化不大.第6題球的接切問題,注重學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng),提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).第7題為一道指對運(yùn)算的題目.第8題為圓錐曲線的考查,雙曲線與拋物線的結(jié)合.第9題是以函數(shù)零點(diǎn)問題為背景,考查學(xué)生分析函數(shù)的方法,強(qiáng)調(diào)從代數(shù)化簡推導(dǎo)到幾何作圖,充分考查了考生的數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化化歸思想,考驗(yàn)學(xué)生分析問題、解決問題的綜合能力.
填空第10題和11題仍然是復(fù)數(shù)與二項(xiàng)式定理的考查,旨在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).第12題是直線與圓的考查,注重幾何與代數(shù)結(jié)合的考查,難度適中.第13題基本不等式的考查,注重學(xué)生對于基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用和綜合分析能力的考查.第14題作為概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查.第15題是平面向量知識(shí)的考查,同樣是采用了雙空的形式,面向全體學(xué)生.
解答題第16題是利用正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基礎(chǔ)性應(yīng)用.第17題立體幾何知識(shí)的考查.第18題圓錐曲線橢圓解答題的考查,本題意在考查學(xué)生題目的綜合分析能力以及計(jì)算能力,從提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā).第19題數(shù)列,第一問還是等差等比數(shù)列的基本量運(yùn)算;第二問為數(shù)列求和問題;在第三問加大了難度,尤其是放縮方法的結(jié)合,求和時(shí)需要先放縮去除根號(hào),才能用錯(cuò)位相減法求和,提高了數(shù)列題型的技巧性.第20題,作為試卷的最后一題,綜合了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí),既有對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)基本知識(shí)方法的考查,又有對導(dǎo)數(shù)與不等式綜合能力的考查.
2 夯實(shí)基礎(chǔ),注重解題規(guī)范
例如 2020年、2021年天津卷的數(shù)列題,我們要注重解題規(guī)范,首先獲得基礎(chǔ)分值.例如第一問:求an和bn的通項(xiàng)公式,屬于對學(xué)生基本公式和基礎(chǔ)能力的考查.
2020年19題 已知an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,a1=b1=1,a5=5a4-a3,b5=4b4-b3.
(Ⅰ)求an和bn的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記an的前n項(xiàng)和為Sn,求證:SnSn+2<S2n+1n∈N*;
(Ⅲ)對任意的正整數(shù)n,
設(shè)cn=3an-2bnanan+2,n為奇數(shù),an-1bn+1,n為偶數(shù).
求數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和.
思路分析 (Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比,然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列an前n項(xiàng)和,然后利用作差法證明即可;
(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算∑nk=1c2k-1和∑nk=1c2k的值,據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和即可.
詳解過程 (Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.
由a1=1,a5=5a4-a3,可得d=1.
從而an的通項(xiàng)公式為an=n.
由b1=1,b5=4b4-b3,
又q≠0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,
從而bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)可得Sn=n(n+1)2,
故SnSn+2=14n(n+1)(n+2)(n+3),S2n+1=14n+12n+22,
從而SnSn+2-S2n+1=-12(n+1)(n+2)<0,
所以SnSn+2<S2n+1.
(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),cn=3an-2bnanan+2=(3n-2)2n-1n(n+2)=2n+1n+2-2n-1n,
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cn=an-1bn+1=n-12n,
對任意的正整數(shù)n,有
∑nk=1c2k-1=∑nk=122k2k+1-22k-22k-1=22n2n+1-1,
和∑nk=1c2k=∑nk=12k-14k=14+342+543+…+2n-34n-1+2n-14n ,①
由①得14∑nk=1c2k=142+343+544+…+2n-34n+2n-14n+1,②
由①②得34∑nk=1c2k=14+242+…+24n-2n-14n+1=241-14n1-14-14-2n-14n+1,
由于241-14n1-14-14-2n-14n+1=23-23×14n-14-2n-14n×14=512-6n+53×4n+1,
從而得:∑nk=1c2k=59-6n+59×4n.
因此,∑2nk=1ck=∑nk=1c2k-1+∑nk=1c2k=4n2n+1-6n+59×4n-49.
所以,數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和為4n2n+1-6n+59×4n-49.
命題意圖 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解,分組求和法,指數(shù)型裂項(xiàng)求和,錯(cuò)位相減求和等,屬于中等題.
命題方向 這類試題在考查題型上主要以解答題的形式出現(xiàn).多為中檔題,數(shù)列是歷年高考的熱點(diǎn),主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.
方法總結(jié) 高考命制綜合題時(shí),常將等差、等比數(shù)列結(jié)合在一起,形成兩者之間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化,破解這類問題的方法是首先尋找通項(xiàng)公式,利用性質(zhì)之間的對偶與變式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
常見錯(cuò)誤解法及教學(xué)建議
第1問常見錯(cuò)誤解法:
錯(cuò)誤解法1 在第一問中,出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.
錯(cuò)解 a5=5(a4-a3)
a1+4d=5(a1+3d-a1+2d),(此時(shí)的符號(hào)運(yùn)算已經(jīng)出現(xiàn)錯(cuò)誤)
21d=1,所以d=121.
錯(cuò)誤解法2:等比數(shù)列通項(xiàng)公式的記憶錯(cuò)誤,很多學(xué)生把通項(xiàng)公式記成:bn=b1qn
從而,得到bn=2n的錯(cuò)解.
教學(xué)建議 注意基本公式的準(zhǔn)確性.
第2問常見錯(cuò)誤解法:
錯(cuò)誤解法1 等差數(shù)列前n項(xiàng)公式錯(cuò)誤
例如 錯(cuò)誤公式1:Sn=na1+n(n+1)2d
錯(cuò)誤公式2:Sn=n(an-a1)2=n(n-1)2
錯(cuò)誤解法2 證明方法隨意、不規(guī)范,對于作差、作商、分析法,沒有規(guī)范的書寫格式.
錯(cuò)誤解法3 把a(bǔ)n的前n項(xiàng)和為Sn誤當(dāng)做bn前n項(xiàng)和計(jì)算,
即Sn=1-2n1-2=2n-1,
在此時(shí)的情況下,Sn+1=2n+1-1;
Sn+2=2n+2-1,
SnSn+2=(2n-1)(2n+2-1)=22n+2-2n+2-2n+1,
S2n+1=(2n+1-1)2=22n+2-2n+2+1.
利用作差等方法比較大小.
教學(xué)建議 注意解題方法的規(guī)范性.
第3問常見錯(cuò)誤解法:
錯(cuò)誤解法1 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),裂項(xiàng)形式錯(cuò)誤
高頻錯(cuò)誤方式有:
(1)3n-2·2n-1nn+2=(3n-2)·2n-2·(1n-1n+2);
(2)3n-2·2n-1nn+2=(2n+2n+2-2nn).
錯(cuò)誤解法2 不清楚前2n項(xiàng)最后一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)是哪一個(gè).
2021年19題
已知{an}是公差為2的等差數(shù)列,其前8項(xiàng)和為64.{bn}是公比大于0的等比數(shù)列,b1=4,b3-b2=48.
(Ⅰ)求an和bn的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記cn=b2n+1bn,n∈N.
(i)證明cn2-c2n是等比數(shù)列;
(ii)證明∑nk=1akak+1ck2-c2k<22(n∈N).
詳解過程
(Ⅰ)解:記等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,由題意知d=2,S8=64,
代入公式Sn=na1+n(n-1)2d,解得a1=1,所以an的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,由b1=4,b3-b2=48,可得q2-q=12,又q>0,
解得q=4,所以bn的通項(xiàng)公式為bn=4n.
(Ⅱ)(i)證明:由(Ⅰ)可得cn2=(b2n+1bn)2=(42n+14n)2=44n+142n+2×4n,
cn2-c2n=44n+142n+2×4n-(44n+142n)=2×4n,
因?yàn)閷θ我鈔∈N,有c2n+1-c2(n+1)cn2-c2n=2×4n+12×4n=4,所以cn2-c2n是等比數(shù)列.
(ii)證明:由(Ⅰ)和(Ⅱ)(i),有
akak+1ck2-c2k=(2k-1)(2k+1)2×4k=4k2-12×4k<4k22×4k=2·k2k,
則∑nk=1akak+1ck2-c2k<2∑nk=1k2k.
記Tn=∑nk=1k2k,即
Tn=12+222+323+…+n2n.?? (1)
由(1)得12Tn=122+223+…+n-12n+n2n+1. ??(2)
由(1)(2)得12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1,從而得
Tn=2-n+22n<2.
所以,∑nk=1akak+1ck2-c2k<2Tn<22(n∈N).
3 拓展數(shù)學(xué)思維,應(yīng)對題型變化
數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).在高考復(fù)習(xí)的過程,始終要堅(jiān)持思維有邏輯,知識(shí)常梳理,賦予學(xué)生獨(dú)立探索的過程,體會(huì)高考題中的內(nèi)在聯(lián)系,促進(jìn)“高考經(jīng)驗(yàn)”的形成,從而提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力,提高課堂復(fù)習(xí)效率,從容面對題型變化,獲得更加優(yōu)異的成績.
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