□郜舒竹 魏衛(wèi)霞

一、引言

本刊2022年第6期上刊發(fā)的《“長(zhǎng)×寬”為什么等于“長(zhǎng)方形面積”》（以下簡(jiǎn)稱“文1”），針對(duì)“長(zhǎng)×寬”中乘法運(yùn)算意義的進(jìn)化，討論了長(zhǎng)方形“長(zhǎng)與寬的乘積”與面積的關(guān)系，意在說(shuō)明“長(zhǎng)×寬”等于“長(zhǎng)方形面積”并非是自然而然的結(jié)論，其中的“長(zhǎng)”與“寬”已經(jīng)超越了線段和長(zhǎng)度的意義，偏重兩個(gè)不同方向行與列的意義，把“長(zhǎng)×寬”視為在確定面積單位基礎(chǔ)上的“行數(shù)×列數(shù)”。

在此基礎(chǔ)上，本刊2022年第7/8期上刊發(fā)的《“平方厘米”語(yǔ)義分析》（以下簡(jiǎn)稱“文2”），從詞匯的語(yǔ)義方面討論了面積單位“平方厘米”中“平方”的意義，以及“平方”與“厘米”組合為“平方厘米”的意義，澄清面積單位“平方厘米”與長(zhǎng)度單位“厘米”的關(guān)系，運(yùn)用笛卡爾乘積模型，建立起長(zhǎng)度單位與面積單位的因果關(guān)系，對(duì)“長(zhǎng)×寬”等于長(zhǎng)方形面積形成了與“搭配”問(wèn)題意義一致的認(rèn)識(shí)，拓展了“文1”所說(shuō)長(zhǎng)方形面積等于“行數(shù)×列數(shù)”的意義，體現(xiàn)出乘法運(yùn)算因果相生、以數(shù)生數(shù)的建構(gòu)特征。

無(wú)論是“文1”中的“長(zhǎng)×寬”，還是“文2”中的“平方厘米”，都反映出數(shù)學(xué)語(yǔ)言“語(yǔ)境敏感”或“語(yǔ)境依賴”的特征［1］［2］。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬指向長(zhǎng)方形相鄰的兩條邊，從形的角度看是兩條線段，從量的角度看是線段的長(zhǎng)度。在“長(zhǎng)×寬等于長(zhǎng)方形的面積”的語(yǔ)境下，拓展出單位正方形構(gòu)成的“行”與“列”這樣新的意義，使得“長(zhǎng)×寬”的意義從字面的“長(zhǎng)度×長(zhǎng)度”，改變?yōu)閷?shí)際的“行數(shù)×列數(shù)”。

“文2”中的“平方厘米”也類似，單獨(dú)看“厘米”，其意義指向的是長(zhǎng)度單位，置于“平方厘米”的語(yǔ)境中，“厘米”的意義指向發(fā)生了本質(zhì)的改變，“平方厘米”中的“平方”不是“厘米”的修飾者或限定者（Determining Adjective），而是“更改者（Modifying Adjective）”。如“玩具槍”一詞，由“玩具”和“槍”組成，表達(dá)的不是“槍”，而是形如槍的玩具，玩具槍最臨近的屬概念不是槍，而是玩具，可以說(shuō)“玩具槍”中的“玩具”改變了“槍”的屬性，即“玩具”成為“槍”所表達(dá)意義的更改者［3］。如果把“長(zhǎng)度單位”視為“厘米”最臨近的屬概念，那么“平方厘米”則失去了這一屬概念的屬性，不再表達(dá)長(zhǎng)度單位的意義，最臨近的屬概念改變?yōu)轭愃朴诋€、平方米等的“面積單位”。“平方厘米”表達(dá)的既不是“平方和厘米”，也不是“平方的厘米”，而是與平方和厘米相關(guān)的一個(gè)新概念。像這樣語(yǔ)境依賴的現(xiàn)象在人的日常活動(dòng)中普遍存在，比如在地鐵車(chē)廂中聽(tīng)到播音員說(shuō)：

●××站到了，將開(kāi)啟右側(cè)車(chē)門(mén)。

其中“右側(cè)車(chē)門(mén)”是以聲音“yòu cèchēmén”的形式傳遞的?，F(xiàn)代語(yǔ)言學(xué)之父、瑞士語(yǔ)言學(xué)家弗迪南·德·索緒爾（Ferdinand de Saussure，1857—1913）在《通用語(yǔ)言學(xué)》一書(shū)中，把文本、圖像、聲音等均視為“符號(hào)”，符號(hào)本身并沒(méi)有意義，是現(xiàn)實(shí)對(duì)象或抽象概念的代表，建立符號(hào)與其所代表具體對(duì)象或抽象概念關(guān)系的過(guò)程叫作“意指（Signification）”。類似于“右側(cè)車(chē)門(mén)”這樣的聲音或文本符號(hào)的心理表象叫作“能指（Signifier）”，能指所涉及的現(xiàn)實(shí)對(duì)象或抽象概念稱為“所指（Signified）”，意指就是建立能指與所指關(guān)系的過(guò)程［4］。

“右側(cè)車(chē)門(mén)”的意指過(guò)程并不明顯，原因在于“右”作為具身的方位詞，具有語(yǔ)境依賴的特點(diǎn)，這時(shí)的語(yǔ)境不是文本意義的上下文，而是身體、思維與現(xiàn)實(shí)環(huán)境共存的“情景（Situation）”，所指“右側(cè)車(chē)門(mén)”位置需要在身體、情景和思維的互動(dòng)中確認(rèn)。右側(cè)車(chē)門(mén)中的“右”是相對(duì)于人身體的朝向而言的，當(dāng)人身體面向車(chē)行駛方向時(shí)，“右手”指向車(chē)門(mén)位置；如果身體是背朝行駛方向，那么“左手”指向車(chē)門(mén)位置（如圖1）。

圖1 地鐵車(chē)門(mén)位置相對(duì)性示意圖

這表明能指的“右”可能是所指的“右”，也可能是所指的“左”，這也印證了索緒爾關(guān)于能指與所指關(guān)系的隨意性原理，即能指與所指的關(guān)系并非是“必然的（Necessary）”，而是“隨意的（Arbitrary）”［5］。

無(wú)論是教材中的文本、圖像，還是教師的言語(yǔ)、課件、板書(shū)等，對(duì)于學(xué)生而言都是符號(hào)意義的能指，僅有看到或聽(tīng)到的過(guò)程并不是意指過(guò)程的全部，通常所說(shuō)的讀懂或聽(tīng)懂意味著需要經(jīng)歷意指的過(guò)程，也即建立能指與所指關(guān)系的過(guò)程。這就給教材中的文本、圖像，以及實(shí)際教學(xué)中板書(shū)、課件設(shè)計(jì)指出了方向。下面以小學(xué)數(shù)學(xué)第二學(xué)段教材中面積單位“1平方厘米”的定義為例進(jìn)行說(shuō)明。

二、表述的“模糊性”

作為能指的“1平方厘米”，其意指過(guò)程需要建立與所指的關(guān)系，也就是要回答“‘1平方厘米’代表什么”。這就需要將“1平方厘米”置于某種語(yǔ)境中，教材中的定義或圖像就是對(duì)這種語(yǔ)境的設(shè)定。人教版教材（2012年）三年級(jí)下冊(cè)“面積”單元中，對(duì)面積單位“1平方厘米”的定義用以下文字進(jìn)行表述。

定義1：邊長(zhǎng)1厘米的正方形，面積是1平方厘米。

這樣的表述為“S是P”的結(jié)構(gòu)，與下面定義2的表述意義一致。

將“1平方厘米”置于這樣上下文語(yǔ)境的定義表述中，作為能指的“1平方厘米”對(duì)應(yīng)的所指自然成為“邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積”（如圖2）。

圖2 “1平方厘米”能指與所指示意圖

由此看來(lái)，“1平方厘米”所指對(duì)象包含“面積”和“邊長(zhǎng)1厘米的正方形”兩個(gè)元素?！懊娣e”所指是圖形的大小，屬于“量”的范疇；而“正方形”的所指是形狀，屬于“質(zhì)”的范疇。事實(shí)上，“1平方厘米”表達(dá)的是面積作為量的單位，其所指并不包括圖形形狀。這一點(diǎn)與長(zhǎng)度單位不同，如果一條線段的長(zhǎng)度是1厘米，那么所有長(zhǎng)度為1厘米的線段形狀都一樣，換言之，就是所有長(zhǎng)度為1厘米的線段都是全等關(guān)系，都可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)重合［6］。二維的平面圖形則不同，同時(shí)具有“形”與“量（面積）”的雙重屬性，可能出現(xiàn)“形同量等”的全等關(guān)系，也可能出現(xiàn)“形異量等”的非全等等價(jià)關(guān)系?！?平方厘米”可以表示正方形的面積，從量的意義說(shuō)，也可以表示非正方形圖形的面積。圖3中如果左圖正方形面積為1平方厘米，那么變形后右圖長(zhǎng)方形的面積也是1平方厘米。

圖3 “1平方厘米”變形示意圖

教材中對(duì)“1平方厘米”的定義實(shí)際是一個(gè)具有肯定意義的判斷或命題，其表述具有“模糊性（Vagueness）”的特征。19～20世紀(jì)美國(guó)著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家皮爾士（Charles Sanders Santiago Peirce，1839—1914），曾對(duì)模糊性有過(guò)一個(gè)經(jīng)典的解釋：“當(dāng)命題中的事物出現(xiàn)若干可能時(shí)，盡管說(shuō)話者對(duì)這些可能進(jìn)行了仔細(xì)的斟酌，但仍不能確定地把哪些可能排除或歸屬于這個(gè)命題，這時(shí)候，這個(gè)命題就是模糊的。這里所說(shuō)的不能確定，并不是解釋者的無(wú)知，是因?yàn)檎f(shuō)話者語(yǔ)言本身就是模糊的?！盵7]“1平方厘米”是表達(dá)面積單位的符號(hào)，其所指應(yīng)當(dāng)屬于“量”的范疇，而定義表述中出現(xiàn)了正方形作為形狀“質(zhì)”的意義，自然會(huì)給讀者帶來(lái)混淆與困惑。

“1平方厘米”的所指不是“一個(gè)”圖形的面積，而是“一類”具有量等關(guān)系的圖形的面積?！斑呴L(zhǎng)1厘米的正方形”是“1平方厘米”概念形成的“原型（Prototype）”，是“一類”中最典型的“一個(gè)”代表［8］。教材中關(guān)于“1平方厘米”定義表述的模糊性表現(xiàn)為其所指為“一個(gè)”與“一類”對(duì)象的混淆，需要在“1平方厘米”所指對(duì)象中排除“形狀”的意義，歸屬所有與原型正方形面積相等的圖形，讓“1平方厘米”所指為表示“一類”圖形面積的概念，而不僅是“一個(gè)”具體圖形的面積。這樣的排除與歸屬是理解“1平方厘米”定義必要的認(rèn)知活動(dòng)，自然應(yīng)當(dāng)是教材編修過(guò)程中需要重視的內(nèi)容。

三、難以實(shí)現(xiàn)的“好”定義

19～20世紀(jì)英國(guó)兩位偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家懷海德（Alfred North Whitehead，1861—1947）與羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970），在合著的《數(shù)學(xué)原理》中指出，“定義”實(shí)際就是命名的過(guò)程，用新的術(shù)語(yǔ)或符號(hào)“P”表達(dá)某類具有共同屬性的對(duì)象“S”，P與S分別叫作“被定義項(xiàng)（Definiendum）”和“定義項(xiàng)（Definiens）”，用定義項(xiàng)“S”確定被定義項(xiàng)“P”的意義，表述為“S是P”。用索緒爾的術(shù)語(yǔ)說(shuō)，被定義項(xiàng)與定義項(xiàng)分別相當(dāng)于能指與所指，定義實(shí)際就是建立二者關(guān)系的意指過(guò)程。

教材中的定義是將“邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積”命名為“1平方厘米”，用新的術(shù)語(yǔ)“1平方厘米”表達(dá)“邊長(zhǎng)1厘米正方形面積”，用“邊長(zhǎng)1厘米正方形的面積”確定“1平方厘米”的意義。因此“1平方厘米”是定義中的被定義項(xiàng)，“邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積”是定義項(xiàng)。

定義的表述是人為規(guī)定的命題，這樣的命題一般不用“正確與錯(cuò)誤”或“真與假”進(jìn)行區(qū)分，更關(guān)注“優(yōu)與劣”或“好與壞”的差別。19～20世紀(jì)法國(guó)著名 數(shù) 學(xué) 家 龐 加 萊（Jules Henri Poincaré，1854—1912）在其方法論著作《科學(xué)與方法》中，針對(duì)“什么是好的定義”，給出了簡(jiǎn)明的答案：“它應(yīng)當(dāng)應(yīng)用且僅應(yīng)用于被定義的對(duì)象，是符合邏輯的?！保?］

其中“應(yīng)用且僅應(yīng)用”闡釋的是定義中定義項(xiàng)“S”與被定義項(xiàng)“P”之間的關(guān)系，如果把“S”看作是“P”的條件，那么這樣的條件應(yīng)當(dāng)同時(shí)滿足“充分性”和“必要性”。條件的充分性指的是“有之則必然”。如果把面積單位定義表述為：

●如果一個(gè)平面圖形是邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，那么這個(gè)圖形的面積是1平方厘米。

此時(shí)“邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積”就成為“1平方厘米”的充分條件。條件的必要性表達(dá)的是“無(wú)之必不然”或“必不可少”的意義，文字表述中體現(xiàn)為“S是P”與“P是S”同時(shí)成立。比如對(duì)于數(shù)學(xué)中“質(zhì)數(shù)”的定義，下面兩種表述方式就是同時(shí)成立的。

“一個(gè)自然數(shù)恰有兩個(gè)因數(shù)”就成為“這個(gè)自然數(shù)是質(zhì)數(shù)”的充分條件，同時(shí)也是必要條件，稱為充要條件。因此，質(zhì)數(shù)定義的表述符合龐加萊好定義的標(biāo)準(zhǔn)，這樣的好定義表現(xiàn)為被定義項(xiàng)與定義項(xiàng)在表述中可交換位置?！?平方厘米”的定義則不同，如果承認(rèn)如下“S是P”的表述成立：

那么反過(guò)來(lái)“P是S”并不成立，即“邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積”是“1平方厘米”的充分條件，但不是必要條件，并非是“必不可少”的。一個(gè)平面圖形不是邊長(zhǎng)1厘米的正方形，其面積也可能是1平方厘米。這就是說(shuō)，1平方厘米的定義不能表述為：就 像“我是教師”這句話不能說(shuō)成“教師是我”。對(duì)于“S是P”的表述，人們習(xí)慣于“S=P”或“S＜P”的關(guān)系，排除“S＞P”的情況。前面關(guān)于質(zhì)數(shù)的定義中，“質(zhì)數(shù)”與“恰有兩個(gè)因數(shù)的數(shù)”就是“S=P”的關(guān)系；“教師”一詞所指為“全體”職業(yè)為教師的人，“我”所指為“一個(gè)”職業(yè)為教師的人，因此符合“我＜教師”的關(guān)系?！斑呴L(zhǎng)1厘米的正方形面積”所指為“一個(gè)”確定形狀和大小的正方形面積，而“1平方厘米”所指為不確定形狀的“一類”平面圖形的面積，因此“邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積”與“1平方厘米”就是“S＜P”的關(guān)系。

教材中關(guān)于“1平方厘米”定義的表述應(yīng)當(dāng)說(shuō)是符合“S＜P”關(guān)系的，但并不符合數(shù)學(xué)中好定義的標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)中好定義至少應(yīng)當(dāng)符合兩條標(biāo)準(zhǔn)。

標(biāo)準(zhǔn)1：定義中同時(shí)包括定義項(xiàng)S和被定義項(xiàng)P。

標(biāo)準(zhǔn)2：定義項(xiàng)與被定義項(xiàng)的所指相同，即具備S=P的關(guān)系。

“1平方厘米”定義的困難在于平面圖形存在著“形異量等”的現(xiàn)象，而且這樣形異量等的圖形是無(wú)限多、無(wú)法窮舉的。指定任何一個(gè)或一類形狀都無(wú)法囊括所有面積為“1平方厘米”的圖形，這樣的現(xiàn)實(shí)使得標(biāo)準(zhǔn)2難以實(shí)現(xiàn)。如果不指定確定形狀的圖形，就會(huì)使得定義中缺失定義項(xiàng)，違背了標(biāo)準(zhǔn)1。因此對(duì)“1平方厘米”給出一個(gè)“好”的定義，似乎是難以實(shí)現(xiàn)的。

四、應(yīng)當(dāng)避免的“壞”定義

北京出版社2013年出版的教材（以下簡(jiǎn)稱“京教版”）三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形的面積”單元中，直接用指數(shù)冪的符號(hào)作為平方厘米定義的被定義項(xiàng)，將定義敘述為：“邊長(zhǎng)是1厘米的正方形，面積是1厘米2，也可以寫(xiě)作：1cm2，讀作：1平方厘米?！睘榱诵形姆奖悖环涟讯x的主干表述為定義3的形式。

定義3的句式結(jié)構(gòu)與前面類似，是將“邊長(zhǎng)是1厘米的正方形”作為定義項(xiàng)（S），符號(hào)“1厘米2（1cm2）”作為被定義項(xiàng)（P）。這樣的表述并未消除定義項(xiàng)與被定義項(xiàng)所指不一致的模糊性現(xiàn)象，同時(shí)還會(huì)使邏輯意義自相矛盾。同單元在《面積和面積單位》之后出現(xiàn)《長(zhǎng)方形與正方形的面積》，其中正方形面積公式寫(xiě)為：正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。

按照這一公式，定義3中“邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積”就應(yīng)當(dāng)成為：1厘米×1厘米=(1厘米)2，這樣就出現(xiàn)了命題1。

對(duì)比定義3與命題1可以發(fā)現(xiàn)，“邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積”既是“1厘米2”，又是“(1厘米)2”。同一個(gè)主語(yǔ)出現(xiàn)了兩個(gè)不同的表語(yǔ)P1和P2，表述為命題2。

命題2：

形式邏輯中的無(wú)矛盾律要求“是”與“非”不能同時(shí)為真，如果“S是P”為真，那么“S是非P”就為假?！癝既是P，又是非P”的情況，就被視為違背無(wú)矛盾律。對(duì)于命題2“S既是P1，又是P2”的情況是否合乎邏輯，關(guān)鍵要看P1和P2之間是什么關(guān)系。

用索緒爾的術(shù)語(yǔ)說(shuō)，“1厘米2”與“（1厘米）2”是兩個(gè)不同的能指?！?厘米2”是表示“1平方厘米”的符號(hào)，所指為量的范疇，是任意形狀的“一類”圖形的面積，其中的“1”所指是面積。圖4中如果右下角正方形面積是1厘米2，那么其他四個(gè)圖形面積分別與之相等，均為1厘米2。

圖4 1厘米2所指示意圖

“（1厘米）2”則不同，是表示“1厘米的平方”的符號(hào)，同時(shí)具有形和量的雙重意義，所指為邊長(zhǎng)1厘米正方形的面積（如圖5），其中的“1”指向正方形的邊長(zhǎng)。

圖5 （1厘米）2所指示意圖

如果把“1厘米2”與“（1厘米）2”中的數(shù)字1換為2，那么“2厘米2”與“（2厘米）2”不僅意義不同，表示量的數(shù)值也不相等（如圖6）。（2厘米）2表示邊長(zhǎng)2厘米正方形的面積，等于4厘米2，即（2厘米）2=4厘米2。

圖6 2厘米2（左）與（2厘米）2（右）所指示意圖

因此，“（1厘米）2”與“1厘米2”是兩個(gè)所指不同的符號(hào)，正如代數(shù)運(yùn)算中“ɑ2厘米”不同于“（ɑ厘米）2”，如果把二者混淆，就會(huì)出現(xiàn)“1萬(wàn)米=1米”的邏輯悖論。

綜上所述，京教版中用符號(hào)“1厘米2”作為面積單位的被定義項(xiàng)，會(huì)形成“1厘米×1厘米=（1厘米）2”的認(rèn)識(shí)，給教師的教學(xué)帶來(lái)困難。為了避免這樣的混淆，需要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“1厘米2”與“（1厘米）2”的關(guān)系。

五、“1厘米2”與“（1厘米）2”的關(guān)系

“1厘米2”與“（1厘米）2”并非是非此即彼的相斥關(guān)系。從量的角度看，“1厘米2”與“（1厘米）2”表示的面積相等；從形的角度看，“1厘米2”表示任意形狀，而“（1厘米）2”僅表示正方形。因此“1厘米2”與“（1厘米）2”符合包含與被包含的種屬關(guān)系，這樣的種屬關(guān)系可以從圖4明顯看出。下面從代數(shù)運(yùn)算的角度來(lái)看“1厘米2”與“（1厘米）2”的關(guān)系。

用代數(shù)的眼光看，名數(shù)“ɑ厘米”表示“1厘米的ɑ倍”，即“ɑ厘米=ɑ×1厘米”，不帶系數(shù)的“厘米”默認(rèn)的意義就是系數(shù)為1的“1厘米”。因此，厘米2所表達(dá)的“厘米×厘米”可以看作是“1厘米×1厘米”，也就是“（1厘米）2”。表示為如下等式。

●1厘米2=1×（厘米×厘米）=1×（1厘米×1厘米）=1×（1厘米）2

其中“1厘米2”表示“1平方厘米的面積”，“1×（1厘米）2”表示“邊長(zhǎng)1厘米正方形面積的1倍”。因此“1厘米2”與“（1厘米）2”的關(guān)系可以用語(yǔ)言敘述為：1平方厘米的面積是邊長(zhǎng)1厘米正方形面積的1倍。以此類推，“2厘米2”與“（2厘米）2”的關(guān)系為：2平方厘米的面積是邊長(zhǎng)1厘米正方形面積的2倍。更進(jìn)一步“ɑ厘米2”與“（1厘米）2”的關(guān)系可以用語(yǔ)言和等式分別表示。

●ɑ平方厘米的面積是邊長(zhǎng)1厘米正方形面積的ɑ倍。

●ɑ厘米2=ɑ×（1厘米）2

由此可知，表達(dá)“平方厘米”的“厘米2”，不僅是面積單位的符號(hào)，同時(shí)具有代數(shù)運(yùn)算的意義。因此對(duì)“厘米2”這一符號(hào)的認(rèn)識(shí)，實(shí)質(zhì)是對(duì)代數(shù)運(yùn)算的初步感知，是實(shí)現(xiàn)小學(xué)與初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容一致性認(rèn)識(shí)的一個(gè)重要銜接點(diǎn)。因此需要在教材編修過(guò)程中引起足夠重視。

總之，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的抽象性決定了教材中概念與符號(hào)具有“不確定性”［10］。按照皮爾士的觀點(diǎn)，這樣的不確定性主要體現(xiàn)為意義的“廣泛”與“模糊”兩個(gè)方面［11］。“廣泛”指的是所指對(duì)象的意義是清晰的，但有較多的可能，就像“1平方厘米”所指面積大小是清晰的，但可以是無(wú)數(shù)形狀圖形的面積，會(huì)出現(xiàn)“1平方厘米既不是正方形面積，也不是三角形面積”的其他情況，使得習(xí)慣的排中律思維難以應(yīng)用；“模糊”與廣泛略有差異，所指對(duì)象往往是確定的，但在某語(yǔ)境中難以確定對(duì)信息的“取”與“舍”，用“正方形”面積定義“1平方厘米”，使得這一詞匯滲入了形與量的雙重意義，具有了難以取舍的模糊性，具體表現(xiàn)為“1平方厘米既可以是正方形面積，也可以不是正方形面積”，“是”與“非”同時(shí)為真，違背了無(wú)矛盾律。

因此，“1平方厘米”這一術(shù)語(yǔ)具有意義的一般性，教材中關(guān)于“1平方厘米”定義的表述具有語(yǔ)義的模糊性。這種一般性與模糊性可以概括為所指的不確定性，成為一線教師的教學(xué)困難和學(xué)生的認(rèn)知障礙。

總之，細(xì)品教材中“1平方厘米”的定義，旨在說(shuō)明我國(guó)目前教材中的問(wèn)題是普遍存在的。教材是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，教師、學(xué)生、家長(zhǎng)視之為寶典，奉之為圭臬。因此教材編修應(yīng)當(dāng)慎之又慎，重視并仔細(xì)斟酌、診斷問(wèn)題，唯有如此才有可能使教材質(zhì)量得以提升。