□王國元

小學(xué)數(shù)學(xué)教材是由一個(gè)個(gè)相對(duì)獨(dú)立的單元構(gòu)成的，同一單元內(nèi)的學(xué)習(xí)內(nèi)容又是按一定的邏輯順序編寫的，這種編寫方式便于學(xué)生通過教學(xué)形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在實(shí)際的教學(xué)中，教師往往以課時(shí)教學(xué)為主，幫助學(xué)生掌握各個(gè)獨(dú)立知識(shí)點(diǎn)為目的，這樣的教學(xué)并不利于學(xué)生整體建構(gòu)知識(shí)體系。因此，筆者認(rèn)為在教學(xué)時(shí)應(yīng)立足核心概念，對(duì)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)整合，使教材的外在知識(shí)結(jié)構(gòu)向?qū)W生的內(nèi)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變，促進(jìn)學(xué)生形成一個(gè)有意義、有邏輯的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最終達(dá)成意義建構(gòu)。

核心概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原點(diǎn)，起著“基站”的作用，它是數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)的起點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)，具有基礎(chǔ)性、生長性的特點(diǎn)。進(jìn)行單元整合教學(xué)時(shí)，應(yīng)立足學(xué)生的學(xué)情和教材內(nèi)容，遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律，以“整體觀”對(duì)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行考量，促進(jìn)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)達(dá)到較高程度的統(tǒng)一，形成意義結(jié)構(gòu)。筆者試圖立足核心概念，整合單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，重構(gòu)學(xué)習(xí)序列，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展（如圖1）。

圖1

下面以人教版教材四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形和梯形”單元為例，闡述基于核心概念進(jìn)行單元整合教學(xué)的做法。

一、整合應(yīng)立足學(xué)情

2019年下半年，按教材的教學(xué)內(nèi)容安排，學(xué)完“平行四邊形和梯形”單元后，筆者對(duì)某校四年級(jí)254名學(xué)生進(jìn)行了單元評(píng)價(jià)，其中的3題評(píng)價(jià)結(jié)果如下。

第1題：在下圖中，找出與AD平行的線段。

統(tǒng)計(jì)情況如下：“只找到BC”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的64.6%；“同時(shí)找到BC、EH”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的29.9%；“同時(shí)找到BC、EH、FG”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的5.5%。

第2題：畫出指定底邊上的高。

統(tǒng)計(jì)情況如下：學(xué)生畫出指定邊上的高時(shí)，“指定底邊”在水平位置，學(xué)生畫高正確率為96.7%；“指定底邊”在非水平位置，學(xué)生畫高正確率只有65.3%。

第3題：用你喜歡的方式表示出我們學(xué)過的四邊形之間的關(guān)系，并說明表示的理由。

統(tǒng)計(jì)情況如下：學(xué)生在表示四邊形之間的關(guān)系時(shí)，有88.3%的學(xué)生能用韋恩圖正確表示（如圖2）；有6.6%的學(xué)生能用文字正確描述，如“我們學(xué)過的四邊形主要有平行四邊形和梯形兩類，長方形是特殊的平行四邊形，正方形是特殊的長方形”；有5.1%的學(xué)生不會(huì)表達(dá)，或表達(dá)出錯(cuò)。學(xué)生說明理由時(shí)，只有7.7%的學(xué)生能說出表示的理由。

圖2

根據(jù)3題后測，學(xué)生學(xué)習(xí)成效分析如下。

1.學(xué)生的空間意識(shí)不強(qiáng)，平行關(guān)系的意義理解不到位，尤其是“同一平面”概念沒有建立。四年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)往往憑借直觀觀察，缺少必要的抽象概括，易造成概念理解不到位。如第1題中，尋找與AD平行的線段時(shí)，大部分學(xué)生只能借助“看得見的正面”進(jìn)行直觀判斷，找到BC?？臻g意識(shí)稍好一些的學(xué)生，能在直觀的基礎(chǔ)上，借助“看得見的側(cè)面”找到EH。只有5.5%的學(xué)生能在找到BC、EH的同時(shí)找到FG，主要原因是學(xué)生“看”不見AD與FG的“同一平面”在哪里，沒有理解“平行”的本質(zhì)。

2.由于學(xué)生平行、垂直等概念沒有很好地理解，所以對(duì)高的認(rèn)識(shí)比較僵化?！案摺钡谋举|(zhì)是“點(diǎn)到直線的距離”，如果按教材編寫體系教學(xué)，易造成“垂直”與“高”是兩個(gè)不同的概念，兩者之間缺乏內(nèi)在關(guān)聯(lián)。如在學(xué)習(xí)垂直與畫垂線后，學(xué)生雖然已經(jīng)掌握了畫“直線外一點(diǎn)到直線的距離”的方法，但是在作“指定底邊”在非水平位置上的高時(shí)，不能對(duì)距離的知識(shí)進(jìn)行正遷移，造成作高的正確率較低。

3.學(xué)生學(xué)習(xí)“平行四邊形和梯形”單元內(nèi)容時(shí)，是按一個(gè)個(gè)具體課時(shí)進(jìn)行的，學(xué)習(xí)過程往往是靜態(tài)的“知識(shí)點(diǎn)”累加。這樣的學(xué)習(xí)不利于學(xué)生主動(dòng)根據(jù)知識(shí)本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)的聯(lián)結(jié)。因此，雖然有94.9%的學(xué)生會(huì)用韋恩圖或文字來表示四邊形之間的關(guān)系，但學(xué)生只是簡單記住了學(xué)習(xí)結(jié)論（僅有7.7%的學(xué)生能說出表示的理由）。主要原因是平行四邊形和梯形是分2課時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)的，學(xué)生認(rèn)識(shí)的是“形”，記住的是結(jié)果，不會(huì)從“邊的位置關(guān)系”與“角的大小”兩個(gè)維度對(duì)四邊形之間的關(guān)系進(jìn)行整體的辨析。

綜上所述，按教材安排進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生對(duì)同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系掌握得不透徹——平行與相交概念不清晰，平行和垂直概念理解不到位，導(dǎo)致對(duì)高的理解有偏差，對(duì)長方形、正方形、平行四邊形和梯形的共性與區(qū)別感悟不深刻。

二、整合應(yīng)立足教材內(nèi)容

依據(jù)教材和教師教學(xué)用書，“平行四邊形和梯形”單元的教學(xué)內(nèi)容包括：同一平面內(nèi)兩條直線的特殊位置關(guān)系，即平行與垂直；平行四邊形和梯形的認(rèn)識(shí)。本單元重點(diǎn)認(rèn)識(shí)平行四邊形、梯形的特征以及它們與正方形、長方形的關(guān)系。建議用6課時(shí)教學(xué)，具體編排結(jié)構(gòu)和課時(shí)如圖3。

圖3

根據(jù)教材編排可以發(fā)現(xiàn)，本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容中，引入的新概念多，每個(gè)概念都要讓學(xué)生充分理解和鞏固。這就需要教師思考如何合理安排“學(xué)習(xí)序列”，即學(xué)習(xí)內(nèi)容的先后順序。當(dāng)然，教師還要根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)生的學(xué)情作出適當(dāng)調(diào)整，以形成一個(gè)有意義的邏輯結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。下面，筆者對(duì)如何合理安排“學(xué)習(xí)序列”從三個(gè)視角進(jìn)行分析思考，試圖對(duì)教材中的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整合。

（一）基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》第二學(xué)段的課程內(nèi)容要求“能辨認(rèn)同一平面內(nèi)兩條直線是否平行或垂直”“能說出長方形、正方形、平行四邊形、梯形的特征；能說出圖形之間的共性與區(qū)別”“結(jié)合實(shí)際情境，感受同一平面內(nèi)兩條直線的兩種位置關(guān)系，借助動(dòng)態(tài)演示或具體操作，感悟兩條直線平行與相交的差異”。這些課程內(nèi)容要求，學(xué)生能通過分析圖形的組成要素及特征，建立圖形的特性，并根據(jù)圖形組成的要素，進(jìn)一步探求圖形的內(nèi)在屬性和圖形之間的包含關(guān)系。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)按照學(xué)生的認(rèn)知水平，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，從組成圖形的要素（邊、角）、邊的位置關(guān)系（平行、垂直）出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生整體構(gòu)建對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)。尤其是“平行”“垂直”兩個(gè)概念，對(duì)后續(xù)認(rèn)識(shí)圖形起著至關(guān)重要的作用，需要有效建構(gòu)。

（二）基于幾何概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律

本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容涉及多個(gè)幾何概念，學(xué)習(xí)幾何概念時(shí)應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律。四年級(jí)學(xué)生的思維總體處于具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡的狀態(tài)，抽象能力較弱。因此，教學(xué)中，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)“實(shí)驗(yàn)”情境與條件，提供“實(shí)驗(yàn)”器材，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，在直觀感知的基礎(chǔ)上，逐步完成對(duì)數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建。如在認(rèn)識(shí)平行四邊形和梯形時(shí)，以“平行”作為核心概念，經(jīng)歷操作、觀察、比較，在多種屬性中分辨出圖形的共同屬性，從而抽象出本質(zhì)屬性，形成概念，并通過觀察思考，整體辨認(rèn)平行四邊形、梯形與四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別，逐步完成對(duì)四邊形的整體認(rèn)識(shí)?？梢?，把對(duì)平行四邊形和梯形的認(rèn)識(shí)放在同一課時(shí)，更能使學(xué)生在核心概念“平行”的引領(lǐng)下，認(rèn)識(shí)兩類圖形的本質(zhì)屬性，整體性更強(qiáng)。又如，通過引導(dǎo)學(xué)生用畫平行線和垂線的方法“畫長方形”，使學(xué)生對(duì)長方形和正方形從直觀的認(rèn)識(shí)，到從“邊、角”兩個(gè)元素進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而溝通長方形、正方形、平行四邊形、三角形等平面圖形之間的關(guān)系，這樣的認(rèn)識(shí)更理性、更深入，更利于學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)與發(fā)展。

（三）基于“平行”與“垂直”概念教學(xué)的分析

根據(jù)學(xué)情調(diào)查，依據(jù)教材內(nèi)容編排，把“平行”與“垂直”這兩個(gè)概念放在同一課時(shí)中進(jìn)行教學(xué)，易產(chǎn)生以下問題。

1.對(duì)概念層次認(rèn)識(shí)不清。本單元第一部分，主要學(xué)習(xí)在同一平面內(nèi)兩條直線的特殊位置關(guān)系——平行與垂直。同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是相交或不相交（平行），“垂直”是“相交”的一種特殊情況。因此，“平行”與“垂直”在同一課時(shí)學(xué)習(xí)，容易使學(xué)生誤解為兩者是并列、同級(jí)的概念，不利于知識(shí)體系的構(gòu)建。

2.對(duì)概念意義構(gòu)建不實(shí)。把“平行”與“垂直”兩個(gè)概念放在同一課時(shí)中學(xué)習(xí)，教師教學(xué)時(shí)間不夠，匆匆趕進(jìn)度，導(dǎo)致不能突破“同一平面”這一概念的建構(gòu)，無法有效達(dá)成構(gòu)建兩個(gè)概念的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

3.對(duì)概念間關(guān)聯(lián)不清楚。第1課時(shí)學(xué)習(xí)“平行”與“垂直”就可以了嗎？這兩個(gè)概念與后續(xù)學(xué)習(xí)有什么關(guān)聯(lián)？如何架起概念學(xué)習(xí)與后續(xù)知識(shí)之間的橋梁？……這些都需要在教學(xué)這兩個(gè)概念時(shí)進(jìn)行整體架構(gòu)。然而，受教材編排的限制，教學(xué)中僅僅學(xué)習(xí)了平行與垂直的意義，沒有進(jìn)行更深入的挖掘與滲透。最終產(chǎn)生概念理解不實(shí)、知識(shí)聯(lián)系不清楚、空間意識(shí)不強(qiáng)等諸多問題。

根據(jù)上述思考，筆者試圖把“平行”與“垂直”這兩個(gè)概念分成2課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，且把“平行和相交”作為1課時(shí)來教學(xué)；運(yùn)用“平行”與“垂直”的概念和聯(lián)系的觀點(diǎn)，教學(xué)“畫長方形”；基于“平行”的概念同時(shí)認(rèn)識(shí)“平行四邊形和梯形”。這樣的安排有利于學(xué)生更好地達(dá)成學(xué)習(xí)要求。

三、單元整合實(shí)踐

（一）確定核心概念

采用徐利治、鄭毓信教授提出的“抽象度分析法”，按照知識(shí)間的抽象關(guān)系、邏輯關(guān)系構(gòu)建有向平面圖，分析具體知識(shí)的相對(duì)抽象度、入度和出度，從而遴選出核心概念。本單元主要的知識(shí)點(diǎn)有：從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂直線段最短；用畫垂線的方法畫長方形；平行四邊形是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，梯形是一組對(duì)邊平行、一組對(duì)邊相交的四邊形；高是平行對(duì)邊間的距離……這些知識(shí)的背后，其生長點(diǎn)都是平行與垂直。因此，根據(jù)本單元的知識(shí)分析和學(xué)習(xí)要求，本單元的核心概念可以確定為平行與垂直（如圖4）。

圖4

根據(jù)圖4，確定本單元的核心概念為：平行、垂直。二級(jí)概念為：點(diǎn)到直線的距離、高、平行四邊形、梯形。

（二）確立整合思路

本單元的整合思路是“整合”+“適度拓展”。整合主要指在兩個(gè)核心概念“平行”與“垂直”的引領(lǐng)下，從邊、角兩個(gè)維度，對(duì)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整與重組，以更好地構(gòu)建起基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律與數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯的單元教學(xué)體系，使外在的知識(shí)結(jié)構(gòu)（學(xué)習(xí)內(nèi)容）與內(nèi)在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（意義結(jié)構(gòu)）達(dá)到較高程度的統(tǒng)一（如圖5）。整合指在不降低原有的教學(xué)目標(biāo)、不改變教材內(nèi)容、不增加授課時(shí)間的基礎(chǔ)上，合理安排“學(xué)習(xí)序列”，以知識(shí)的本質(zhì)凸顯知識(shí)的整體性。適度拓展指根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，適當(dāng)拓展知識(shí)的廣度與深度，進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)間的“縱橫關(guān)聯(lián)”，求聯(lián)求構(gòu)，以增加知識(shí)的系統(tǒng)性。

圖5

（三）重構(gòu)學(xué)習(xí)序列

教師教學(xué)用書中本單元建議課時(shí)數(shù)為6課時(shí)，經(jīng)整合后仍為6課時(shí)，具體的學(xué)習(xí)序列如圖6。

圖6

上述學(xué)習(xí)序列的重構(gòu)，在遵循知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)的前提下，以核心概念“平行”與“垂直”引領(lǐng)學(xué)習(xí)活動(dòng)，有利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的意義建構(gòu)，更好地達(dá)成單元整合學(xué)習(xí)目標(biāo)。具體的課時(shí)教學(xué)構(gòu)想與評(píng)價(jià)目標(biāo)如表1。

表1

續(xù)表

基于核心概念的單元整合教學(xué)，在遵循數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯體系的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用核心概念自主進(jìn)行探索與實(shí)踐，有助于學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系，讓核心素養(yǎng)獲得持續(xù)發(fā)展。