蔡 璐 韓祥臨

湖州師范學(xué)院教師教育學(xué)院 313000

引言

APOS理論是美國(guó)學(xué)者杜賓斯基等人提出的一種基于建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)理論，深入探討了學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的解構(gòu)與建構(gòu)過(guò)程，并將數(shù)學(xué)概念的獲得劃分為“操作（Action）、過(guò)程（Process）、對(duì)象（Object）、圖式（Schema）”四個(gè)相互銜接、層層遞進(jìn)的階段，彰顯了以生為本的教育理念.立足初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，落實(shí)APOS教學(xué)理論，踐行HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）教學(xué)方法，以數(shù)學(xué)史和相關(guān)典故為載體，引經(jīng)據(jù)典、以文載道，可以將枯燥的數(shù)學(xué)概念、抽象的數(shù)學(xué)思想、刻板的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得生動(dòng)形象.因此，教師應(yīng)充分考慮初中生的最近發(fā)展區(qū)，選取適切的歷史素材，以問(wèn)題為主軸、思維為主攻、體驗(yàn)為主線設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，自然地融入數(shù)學(xué)史料，使學(xué)生感悟不同時(shí)代、不同背景下數(shù)學(xué)文化的無(wú)限魅力，領(lǐng)會(huì)其中所蘊(yùn)含的人文精神，發(fā)揮數(shù)學(xué)史獨(dú)特的育人價(jià)值.

史料的選取與融入

（一）遵循史料適切性原則選取教學(xué)素材

在史料選取方面，應(yīng)該嚴(yán)格遵循史料適切性原則，依據(jù)汪曉勤教授提倡的“趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性和新穎 性”等五項(xiàng)原則［1］，貼合教材內(nèi)容和課標(biāo)要求選取適宜初中生知識(shí)建構(gòu)的歷史素材.

操作階段強(qiáng)調(diào)創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境，讓學(xué)生親身體驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)史中平方差公式的巧妙應(yīng)用，形成初步認(rèn)知.據(jù)古希臘評(píng)注家普羅克洛斯（Proclus，410—485）記載，由于農(nóng)民的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)有限，在分配土地時(shí)經(jīng)常受到土地主的欺騙，將周長(zhǎng)相等面積更小的土地租給農(nóng)民，從中牟利.著名數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707—1783）小時(shí)候利用等周知識(shí)“智改羊圈”，幫父親解決了在周長(zhǎng)100米不變情況下所得羊圈面積最大的問(wèn)題.與芝諾多羅斯（Zenodorous，約公元前2世紀(jì)）在《論等周圖形》中證明的“在邊數(shù)相同的等周多邊形中，等邊且等角的多邊形面積最大”這一命題有著異曲同工之妙［2］.因 此，該階段選用能夠引起學(xué)生認(rèn)知沖突的等周問(wèn)題，可以激發(fā)學(xué)生的探索欲望.

過(guò)程階段在學(xué)生對(duì)平方差公式的概念有初步認(rèn)知的基礎(chǔ)上，不斷加強(qiáng)對(duì)公式的內(nèi)化理解，了解其幾何背景，明確其幾何表達(dá).公元3世紀(jì)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽就利用“面積割補(bǔ)法”證明了平方差公式（c+b）（c－b）=c2－b2，揭示了其幾何意義（如圖1），并在《周髀算經(jīng)》中將其注釋為“勾股圓方圖”：“勾實(shí)之矩以股弦差為廣，股弦并為袤，而股實(shí)方其里.股實(shí)之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實(shí)方其里.”［3］劉徽所注釋的《九章算術(shù)》也有類似論述.因此，該階段引導(dǎo)學(xué)生利用 “面積割補(bǔ)法”得到更加豐富的面積表達(dá)形式，不僅可以提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力，還能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

圖1

對(duì)象階段注重揭示概念本質(zhì)，結(jié)合教材和史料逐步把平方差公式的表達(dá)轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，賦予其形式化的定義，形成具體數(shù)學(xué)對(duì)象.例題采用古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus，公元3世紀(jì)）所著《算術(shù)》第1卷第27題：“已知兩個(gè)正數(shù)和與積，求這兩個(gè)數(shù).”解法與古巴比倫泥板記載的“和差術(shù)”一致［4］，其實(shí)質(zhì)在于將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題.該階段重在利用經(jīng)典例題辨析平方差公式的本質(zhì)，使學(xué)生明確可以應(yīng)用公式的具體情形，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)公式繪制圖形，提升直觀想象素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)符號(hào)、圖形和文字語(yǔ)言的自如轉(zhuǎn)換.

圖式階段的關(guān)鍵在于將所學(xué)概念納入知識(shí)體系，能與舊知建立內(nèi)在聯(lián)系，也能為新知學(xué)習(xí)提供生長(zhǎng)點(diǎn).平方差公式既鞏固了多項(xiàng)式乘法法則，又為完全平方公式、因式分解的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).因此，該階段應(yīng)注重知識(shí)系統(tǒng)性，適當(dāng)融入歐幾里得（Euclid，公元前3世紀(jì)）《幾何原本》 第Ⅱ卷命題5的幾何圖形（如圖2），其中C為AB中點(diǎn)，將圖形轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代符號(hào)語(yǔ)言這是有關(guān)平方差公式的精彩變形，體現(xiàn)字母表示數(shù)的整體性，豐富學(xué)生對(duì)平方差公式的認(rèn)識(shí).

圖2

（二）落實(shí)多元化方式融入教學(xué)素材

“平方差公式”是人教版八年級(jí)上冊(cè)第14章第二節(jié)的內(nèi)容，是在學(xué)生掌握多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上展開(kāi)學(xué)習(xí)的特殊形式的多項(xiàng)式乘法，體現(xiàn)了由一般到特殊的教學(xué)思路.教材以3道運(yùn)算探究題入手引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中發(fā)掘運(yùn)算規(guī)律，觀察算式共性特征，并用字母簡(jiǎn)潔表示平方差公式，借助圖形面積展示平方差公式的幾何意義，最后以典型的計(jì)算例題作為本節(jié)的結(jié)尾.教材中相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)主要集中于精練的文字語(yǔ)言和形象的符號(hào)語(yǔ)言，這得益于16世紀(jì)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Fran?ois Viète，1540—1603）創(chuàng)立的符號(hào)代數(shù)，使得平方差公式能夠由幾何形式發(fā)展為符號(hào)形式，但教材并未將這一發(fā)展過(guò)程體現(xiàn)出來(lái)，更未交代學(xué)習(xí)平方差公式的必要性.作為初中階段學(xué)生接觸的第一個(gè)數(shù)學(xué)公式，教師應(yīng)該有意識(shí)地將相關(guān)數(shù)學(xué)史融入教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程.

基于APOS理論的特點(diǎn)，梳理了與每一階段相對(duì)應(yīng)的平方差公式史料，但還需結(jié)合初中生的認(rèn)知水平及生活經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)史料的融入方式.附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式是目前最為常見(jiàn)的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式［4］，在充分考慮每種方式的作用及特點(diǎn)后設(shè)計(jì)如下史料融入方式（見(jiàn)表1）.

表1 平方差公式史料選取及融入方式

結(jié)合以上思考與分析，從HPM視角擬定了以下三維教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：

（1）經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過(guò)程，掌握平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性；

（2）理解平方差公式的幾何意義，能進(jìn)行符號(hào)、圖形及文字語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換.

過(guò)程與方法：

（1）通過(guò)等周問(wèn)題引入平方差公式，站在歷史的角度感悟公式的實(shí)際應(yīng)用，再采用面積割補(bǔ)法深入理解（a+b）（a－b）=a2－b2的幾何意義；

（2）在和差術(shù)背景下辨析公式應(yīng)用情況，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，培養(yǎng)運(yùn)用平方差公式解決相應(yīng)問(wèn)題的能力.

情感態(tài)度與價(jià)值觀：

（1）通過(guò)對(duì)幾何圖形的裁剪拼接，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)，增強(qiáng)幾何圖形表達(dá)能力，提升數(shù)形結(jié)合思想；

（2）強(qiáng)調(diào)公式中a，b的整體性，讓學(xué)生樹(shù)立數(shù)學(xué)整體思想，加強(qiáng)符號(hào)意識(shí)，體會(huì)符號(hào)表達(dá)公式的簡(jiǎn)潔美；

（3）通過(guò)融入數(shù)學(xué)史感知數(shù)學(xué)文化的魅力，增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷和民族自信，體驗(yàn)數(shù)學(xué)背后的人文精神.

教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）操作階段——等周情境，感悟公式

問(wèn)題1：為防止草地退化，某部門規(guī)定每只羊平均占地面積不多于6平方米.一牧民家中有羊100只，為響應(yīng)號(hào)召，牧民打算在羊圈周長(zhǎng)不變的情況下，按照?qǐng)D3將原先邊長(zhǎng)為25米的正方形羊圈進(jìn)行改造，即將其中一邊長(zhǎng)削減的5米添加到鄰邊，請(qǐng)你幫牧民計(jì)算一下，改造后的羊圈滿足了這一規(guī)定嗎？你又是如何判斷的呢？

圖3

（252＞（25+5）（25－5）=600）

揭示數(shù)學(xué)史：“智改羊圈”問(wèn)題來(lái)自著名數(shù)學(xué)家歐拉小時(shí)候的故事.小歐拉曾一邊牧羊，一邊讀書(shū)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)幫父親解決了等周情況下所得正方形羊圈面積最大的問(wèn)題.你能運(yùn)用代數(shù)或幾何的形式對(duì)其進(jìn)行解釋嗎？

預(yù)設(shè)：代數(shù)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，面積為a2.將一邊長(zhǎng)削減b（0≤b＜a），其鄰邊增加b，得到長(zhǎng)寬分別為a+b和a－b，面積為（a+b）（a－b）的長(zhǎng)方形，依據(jù)前后面積關(guān)系可得：a2=（a+b）（a－b）+b2，再通過(guò)移項(xiàng)得到平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2.（幾何意義見(jiàn)圖4）

圖4

設(shè)計(jì)意圖操作階段為貼合學(xué)生的認(rèn)知水平和當(dāng)前教學(xué)實(shí)際，采用順應(yīng)式合理改編小歐拉“智改羊圈”的等周問(wèn)題.首先，以草場(chǎng)退化為背景，滲透環(huán)保意識(shí)，以具體數(shù)字呈現(xiàn)牧民羊圈面積大小，降低學(xué)習(xí)難度，初步搭建幾何圖形與代數(shù)式之間的關(guān)系，探究出前后面積之差為陰影部分的小正方形面積，并列出等式252=（25+5）（25－5）+52，讓學(xué)生對(duì)平方差公式的幾何意義有所感知.其次，揭示情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)史，用字母表示數(shù)，將算式由特殊推廣到一般，再結(jié)合幾何圖形得出平方差公式為過(guò)程階段做好鋪墊，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用.

（二）過(guò)程階段——面積割補(bǔ)，探究新知

問(wèn)題2：如圖5，從邊長(zhǎng)為a的大正方形紙片中減去一邊長(zhǎng)為b的小正方形，剩余圖形面積為多少？除了列式計(jì)算，你能用幾何拼接的形式將其表示出來(lái)嗎？請(qǐng)小組利用課前準(zhǔn)備的正方形紙片進(jìn)行裁剪拼接，3分鐘后由同學(xué)來(lái)分享合作探究的成果.

圖5

預(yù)設(shè)：

①沿小正方形邊長(zhǎng)作切割線（如圖6）；

圖6

②沿正方形對(duì)角線作切割線（如圖7）.

圖7

由以上兩種切割方式最終拼接圖形面積都可表示為:（a+b）（a－b）=a2－b2.

揭示數(shù)學(xué)史：①中所運(yùn)用的切割方法是公元3世紀(jì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周髀》”所發(fā)現(xiàn)的面積割補(bǔ)法（如圖1），用以證明平方差公式，在《周髀算經(jīng)》中注釋為“勾股圓方圖”.面積割補(bǔ)法是一種常見(jiàn)的作圖解題的數(shù)學(xué)方法，在劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中稱為出入相補(bǔ)原理（又稱以盈補(bǔ)虛），將一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)分割、移補(bǔ)來(lái)計(jì)算面積，是數(shù)量中平均思想在幾何上的體現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖過(guò)程階段通過(guò)小組合作的形式探究平方差公式的幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的同時(shí)，有益于提升學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng).采用重構(gòu)式引導(dǎo)學(xué)生在剪拼正方形紙片的過(guò)程中，思路自然接軌中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“面積割補(bǔ)法”，將不規(guī)則陰影圖形轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的四邊形，利用等積關(guān)系建立等式，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)家的深刻思想與巧妙方法，樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情懷和民族自豪感.

（三）對(duì)象階段——典例分析，揭示本質(zhì)

問(wèn)題3：幾何視角下的面積探究得到了式子（a+b）（a－b）=a2－b2，你能發(fā)現(xiàn)該式子蘊(yùn)含的結(jié)構(gòu)特征并用語(yǔ)言進(jìn)行描述嗎？

預(yù)設(shè)：整個(gè)式子含有兩個(gè)數(shù)，前一個(gè)括號(hào)是兩數(shù)之和，后一個(gè)括號(hào)是這兩數(shù)之差，其中符號(hào)相同的a稱為相同項(xiàng)，符號(hào)相反的b稱為相反項(xiàng)，二者乘積等于這兩數(shù)平方差，故稱為平方差公式（如圖8）.

圖8

問(wèn)題4：判斷下列各式計(jì)算是否正確？若錯(cuò)誤請(qǐng)加以修改，并指出α，b分別表示什么.

判斷正誤：

問(wèn)題5：公元3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在其《算術(shù)》第1卷第27題中記載：已知兩數(shù)和為20，乘積為96，求這兩個(gè)數(shù).你能利用平方差公式解決這一問(wèn)題嗎？

預(yù)設(shè)：兩個(gè)數(shù)不能同時(shí)大于10，也不能同時(shí)小于10，必定一個(gè)大于10，一個(gè)小于10.可設(shè)一個(gè)數(shù)為10+x，另一個(gè)數(shù)為10－x，二者乘積形式（10+x）（10－x）符合公式結(jié)構(gòu)，運(yùn)用平方差公式（10+x）（10－x）=102－x2計(jì)算得x=2，兩個(gè)數(shù)分別為12和8.

揭示數(shù)學(xué)史：丟番圖“二元問(wèn)題”的解法與古巴比倫數(shù)學(xué)泥板記載的“和差術(shù)”不謀而合，能讓學(xué)生從中體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)文化的傳承及應(yīng)用.“YBC4663泥板”載有這樣一道二元問(wèn)題［5］你能用和差術(shù)進(jìn)行求解嗎？

設(shè)計(jì)意圖操作和過(guò)程階段我們從“形”的視角探索了（a+b）（a－b）=a2－b2，對(duì)象階段我們選取“數(shù)”的視角對(duì)（a+b）（a－b）=a2－b2進(jìn)行剖析，揭示本質(zhì).問(wèn)題4采用了教材例題，體現(xiàn)教材的示范性，其中a，b分別以數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式呈現(xiàn)，著重對(duì)公式中相同項(xiàng)和相反項(xiàng)進(jìn)行辨析，加深學(xué)生對(duì)結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性的理解.問(wèn)題5以數(shù)學(xué)史的方式融入平方差公式在解決二元一次方程組中的有效應(yīng)用，不同于先前直接呈現(xiàn)式子判斷正誤，此處滲透了方程和換元思想，豐富了公式的運(yùn)用情形.

（四）圖式階段——拓展深化，豐富認(rèn)知

問(wèn)題6：公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》第Ⅱ卷命題5中，用巧妙的幾何圖形證明了平方差公式，但其形式與今天所學(xué)存在差異，你能依據(jù)圖2列出圖形所示公式嗎？

課堂小結(jié)：

（1）你能用圖形、符號(hào)和文字語(yǔ)言表達(dá)平方差公式嗎？

（2）平方差公式的本質(zhì)是什么？

（3）看似枯燥的平方差公式居然蘊(yùn)藏了如此豐富的數(shù)學(xué)史，哪一個(gè)令你印象最深刻？

揭示數(shù)學(xué)史：歐幾里得用圖2巧妙證明的公式屬于平方差公式的精彩變形，其相同項(xiàng)為，相反項(xiàng)為.歐幾里得的《幾何原本》建立了人類歷史上第一個(gè)公理體系（也稱演繹邏輯體系），它的邏輯演繹范式幾乎決定了自它之后整個(gè)西方數(shù)學(xué)和科學(xué)的表達(dá)方式.在這一部宏偉著作中還蘊(yùn)含了許多以后我們要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓我們一起期待與它們的相遇.

設(shè)計(jì)意圖在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度對(duì)平方差公式進(jìn)行了探究，對(duì)其結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性的特征已有所掌握.引入歐幾里得幾何圖解所得的變形公式，能突破學(xué)生思維定式，豐富學(xué)生對(duì)平方差公式的認(rèn)識(shí).簡(jiǎn)述《幾何原本》的歷史地位使學(xué)生感悟所學(xué)知識(shí)的重要性，并為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了鋪墊.以提問(wèn)反思形式進(jìn)行的課堂小結(jié)有利于梳理學(xué)生的知識(shí)體系，搭建幾何、代數(shù)和文字相互轉(zhuǎn)譯的橋梁，為完全平方公式和因式分解的學(xué)習(xí)提供了思維方向.

結(jié)束語(yǔ)

APOS理論的本質(zhì)是用操作、過(guò)程、對(duì)象和圖式來(lái)表示數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的動(dòng)態(tài)心理過(guò)程，為搭建結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系助力.數(shù)學(xué)史的自然融入使原本單調(diào)的數(shù)學(xué)課堂變得有趣起來(lái)，能在不同階段的知識(shí)探索過(guò)程中選取典型素材推陳出新，感悟數(shù)學(xué)家的所思所想，體現(xiàn)了知識(shí)之諧、方法之美和探究之樂(lè).適切的歷史素材和多元的融入方式保障了教學(xué)活動(dòng)的豐富性，古巴比倫、古希臘、古代中國(guó)以及近現(xiàn)代等諸多數(shù)學(xué)著作上記載著平方差公式的探究與應(yīng)用，不僅能使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在傳承與發(fā)展中展現(xiàn)的文化魅力，還能體現(xiàn)數(shù)學(xué)史料在課堂教學(xué)運(yùn)用中彰顯的德育功效.