胡連成|江蘇省豐縣梁寨初級(jí)中學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是教師積極引領(lǐng)的“教”的活動(dòng)，更是學(xué)生主動(dòng)思考的“學(xué)”的活動(dòng).如何在教學(xué)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)與思考，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了三條教學(xué)建議：豐富教學(xué)方式；重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)；強(qiáng)化情境設(shè)計(jì)與問題提出.下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐從“情境—問題—思維”的視角闡述情境設(shè)計(jì)的基本策略，并簡要說明問題的生成與引領(lǐng)、理性思維的發(fā)展與培養(yǎng)之道.

一、情境、問題與思維

（一）情境與問題

情境通常指一個(gè)人在進(jìn)行某種活動(dòng)時(shí)所處的社會(huì)環(huán)境，是人們社會(huì)行為產(chǎn)生的具體條件、境地、狀態(tài).數(shù)學(xué)情境指學(xué)生參加數(shù)學(xué)活動(dòng)、產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的環(huán)境或背景，是能夠讓學(xué)生產(chǎn)生主動(dòng)思考的智力背景，是使學(xué)生主動(dòng)提出問題、嘗試解決問題并形成積極情感體驗(yàn)的信息材料或刺激模式[1].問題是個(gè)體面臨目標(biāo)難以達(dá)成時(shí)產(chǎn)生的心理困境.問題與情境相伴而生，一般認(rèn)為情境即問題情境，不論是生活問題情境、數(shù)學(xué)問題情境還是科學(xué)問題情境等，其目的都是通過創(chuàng)設(shè)情境引發(fā)認(rèn)知沖突，形成數(shù)學(xué)問題.問題伴隨情境而產(chǎn)生，情境為問題而設(shè)計(jì).

問題情境有兩種區(qū)分視角：“情境指向”和“問題指向”.前者關(guān)注基于情境產(chǎn)生的一系列問題，后者關(guān)注情境引發(fā)的心理困境和探究氛圍.筆者認(rèn)為，問題情境指創(chuàng)設(shè)與教學(xué)目的、內(nèi)容體系及學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知心理相關(guān)聯(lián)，能引發(fā)認(rèn)知沖突，形成核心問題，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考的學(xué)習(xí)探究氛圍[2].

（二）理性思維

思維是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)概括的、間接的反映，是人腦在表象、概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析、綜合、判斷、推理等認(rèn)識(shí)活動(dòng)的過程，它源于社會(huì)實(shí)踐，體現(xiàn)的是事物的本質(zhì)與其內(nèi)部規(guī)律性.數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按照人類一般的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律的理性活動(dòng)[3].

數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征是邏輯嚴(yán)密，理性思維是其第一屬性.理性思維指具有明確思維方向、充分思維依據(jù)，能對(duì)所指向的問題進(jìn)行觀察比較、分析綜合、抽象概括、反思質(zhì)疑、批判創(chuàng)新等自覺思維活動(dòng)的一種思維.它是一種注重自覺學(xué)習(xí)和主動(dòng)反思的思維方式，強(qiáng)調(diào)經(jīng)由具體的數(shù)學(xué)方法和策略的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向一般性思維策略的學(xué)習(xí).

（三）“情境—問題—思維”教學(xué)視角

“情境—問題—思維”教學(xué)視角具有以下特征：注重在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中通過問題情境設(shè)計(jì)，引發(fā)認(rèn)知沖突，生成數(shù)學(xué)問題，發(fā)展問題意識(shí)；通過對(duì)問題的分析與聚焦，形成核心問題，引領(lǐng)后續(xù)的探究活動(dòng)；倡導(dǎo)基于核心問題，通過一般化、特殊化、類比、逆向等思維方式形成問題鏈，在系列的問題思考中將思維引向深入.它能促進(jìn)學(xué)生的深度思考與反思建構(gòu)，使其在實(shí)現(xiàn)思維自覺的同時(shí)發(fā)展理性思維.

二、“情境—問題—思維”視角下的情境設(shè)計(jì)解析

數(shù)學(xué)的有效學(xué)習(xí)需要學(xué)生的深度思考，而引發(fā)學(xué)生思考的重要策略是情境的創(chuàng)設(shè)和問題的引領(lǐng).呂傳漢教授提出了基于問題意識(shí)培養(yǎng)的“科學(xué)性、探究性、發(fā)展性、趣味性”數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)基本原則；章飛教授提出了數(shù)學(xué)問題情境創(chuàng)設(shè)“現(xiàn)實(shí)性、趣味性和數(shù)學(xué)一致性”的基本策略；李吉林老師提出了“真、情、美、思”“情景交融、境界為上”等情境創(chuàng)設(shè)基本要求.上述專家從宏觀視角闡述了問題情境創(chuàng)設(shè)的基本原則與要求，概括性強(qiáng)、抽象度高.以下，筆者從“情境—問題—思維”視角出發(fā)，結(jié)合教學(xué)案例具體分析數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)的前提、目的、內(nèi)涵與形式.

（一）前提：立足最近發(fā)展區(qū)，引發(fā)認(rèn)知沖突

最近發(fā)展區(qū)是指兒童在成人指導(dǎo)下或在有能力的同伴合作中解決問題的潛在發(fā)展水平[4].不同學(xué)生指向同一知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)也有一定的差異.理想的教學(xué)應(yīng)該著眼于大多數(shù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，準(zhǔn)確定位教學(xué)最佳區(qū)，在兼顧個(gè)性發(fā)展的同時(shí)實(shí)現(xiàn)共同提升.數(shù)學(xué)問題情境設(shè)計(jì)要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容體系和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知心理，提供中等難度的信息材料.當(dāng)學(xué)生用已有的知識(shí)方法無法順利解決信息材料中的問題時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生思維困境和認(rèn)知矛盾，然后在思維碰撞中形成認(rèn)知沖突，最終在積極的問題思考中順利超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一個(gè)發(fā)展階段的水平.如此循環(huán)，就可達(dá)成“跳一跳摘到桃子”的教學(xué)效果.

【案例1】“正切”情境設(shè)計(jì)

筆者呈現(xiàn)兩組圖片（詳見圖1、圖2）并提出問題，讓學(xué)生觀看圖片并回答，然后梳理整合學(xué)生回答情況，形成問題鏈，啟發(fā)學(xué)生理性思考和有序表達(dá).

圖1不同比值臺(tái)階組

圖2同比值臺(tái)階組

問題1：圖1中哪個(gè)臺(tái)階更陡？你是如何判斷的？

問題2：比較圖2中的兩個(gè)臺(tái)階，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題3：你能用哪些不同的量來表示直角三角形斜邊“陡”的程度？

問題4：問題3中這些不同的量之間有怎樣的關(guān)系？你能用學(xué)過的知識(shí)解釋其中的道理嗎？

問題5：你能否找到類似的直角三角形中兩邊的比值與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

案例分析：“正切”是蘇科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》（以下簡稱“蘇科版教材”）九年級(jí)下冊第七章第一節(jié)中的內(nèi)容.筆者通過生活中的臺(tái)階問題引發(fā)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)思考，利用相似圖形知識(shí)得出直角三角形的銳角大小與其對(duì)邊鄰邊的比值之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系.學(xué)生通過自主思考一般可以得出臺(tái)階“陡”的程度可以從兩個(gè)層面加以說明：一是臺(tái)階的斜邊與水平直角邊的夾角大小可以說明臺(tái)階“陡”的程度，二是臺(tái)階的兩個(gè)直角邊長度變化會(huì)影響臺(tái)階“陡”的程度.教師要在學(xué)生自我發(fā)展可以達(dá)到的基礎(chǔ)上明確其最近發(fā)展區(qū)，抓住教學(xué)最佳區(qū)，通過系列問題引領(lǐng)學(xué)生思維發(fā)展：（1）是否可以從“量”的角度精確刻畫臺(tái)階“陡”的程度（直角三角形中的銳角大小及其對(duì)邊與鄰邊的比值）？（2）這兩種“量”之間有怎樣的關(guān)系（通過圖形動(dòng)態(tài)演示，從圖形變化的角度感知二者的對(duì)應(yīng)關(guān)系）？（3）如何解釋“直角三角形中的銳角與其對(duì)邊鄰邊的比值之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”（利用相似三角形知識(shí)解釋）？經(jīng)過主動(dòng)思考和知識(shí)重構(gòu)，學(xué)生對(duì)“正切”的概念形成了意義理解，進(jìn)而建構(gòu)基于相似圖形和函數(shù)知識(shí)相融合的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并為后續(xù)學(xué)習(xí)正弦、余弦作鋪墊.

（二）目的：基于認(rèn)知沖突，生成核心問題

數(shù)學(xué)是個(gè)體思考的產(chǎn)物，如何讓學(xué)生主動(dòng)思考，是教師在教學(xué)中首先要考慮的問題.而通過情境創(chuàng)設(shè)，形成認(rèn)知沖突，是引發(fā)學(xué)生思考的誘因，由此生成的系列問題是學(xué)生深度思考的載體.認(rèn)知沖突是已有認(rèn)知圖式與解決新問題所要求的能力之間存在矛盾時(shí)的一種知覺狀態(tài)，這時(shí)平衡的知識(shí)結(jié)構(gòu)變成了不平衡，當(dāng)人們利用同化或順應(yīng)的方式形成新的平衡的知識(shí)結(jié)構(gòu)時(shí)，有意義的學(xué)習(xí)就產(chǎn)生了（詳見

圖3新的認(rèn)知圖式的建構(gòu)過程

【案例2】“平方根”情境設(shè)計(jì)

師：計(jì)算兩個(gè)直角三角形的斜邊（詳見圖4），你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖4三角形示意

問題1：如果x12=25，那么x1=____.你是如何計(jì)算的？請你再舉出類似的例子.

問題2：如果x22=2，那么x2=____.你能確定x2的值嗎？如果不能，你能計(jì)算出它的近似值嗎？它的準(zhǔn)確值如何表示？請你再舉出類似的例子.

問題3：如果x2=a，那么x=____.你能確定a的取值范圍嗎？如何表示x的值？

問題4：如果x3=a，那么x=____.你能確定a的取值范圍嗎？如何表示x的值？

案例分析：“平方根”是蘇科版教材八年級(jí)上冊第四章第一課時(shí)的內(nèi)容，它是一種典型的抽象概念，對(duì)學(xué)生的數(shù)感和符號(hào)意識(shí)發(fā)展都起著重要作用.從這一章開始，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)就從有理數(shù)范疇拓展到了實(shí)數(shù)范疇.這是從自然數(shù)到整數(shù)再到有理數(shù)之后的又一次重要數(shù)系擴(kuò)充，而每一次數(shù)系的擴(kuò)充都源于實(shí)際計(jì)算的需要，這節(jié)課的情境設(shè)計(jì)正基于此.學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)可求出第一個(gè)直角三角形的斜邊長，而第二個(gè)斜邊長的計(jì)算會(huì)出現(xiàn)問題，用已有的知識(shí)方法不能求出結(jié)果，形成了認(rèn)知沖突.這能激發(fā)學(xué)生的求知欲，使其生成核心問題“如果x2=2，那么x=____”引領(lǐng)后續(xù)探究.問題探索遵循從“特殊到一般、從已知到未知”的思維發(fā)展規(guī)律，先結(jié)合可以開得盡方的有理數(shù)平方根計(jì)算過程，明確平方根的計(jì)算方法.再以核心問題“如果x2=2，那么x=____.”為例，探索不能開得盡方的有理數(shù)平方根計(jì)算問題，通過分析其“客觀存在性”和現(xiàn)有方法的“不可表示性”，感受數(shù)系擴(kuò)充的必要性，通過回顧歷史上數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的不同表示方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程.然后通過“如果x2=a，那么x=____.”問題的一般化思考，明確平方根的計(jì)算原理（利用平方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算）和一般的表示方法［a的平方根為±a（a≥0）］，順利實(shí)現(xiàn)數(shù)系的擴(kuò)充和運(yùn)算體系完備化（加減、乘除、乘方與開方）.最后類比平方根的計(jì)算原理和表示方法，讓學(xué)生課后解決立方根的相關(guān)內(nèi)容.

（三）內(nèi)涵：情境問題是載體，思維發(fā)展是主線

數(shù)學(xué)教育最重要的價(jià)值是培養(yǎng)學(xué)生根植于內(nèi)心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和自覺的數(shù)學(xué)意識(shí).日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書中指出：上學(xué)期間學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在學(xué)生進(jìn)入社會(huì)后由于沒有應(yīng)用機(jī)會(huì)而很快被忘掉，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法能隨時(shí)隨地發(fā)揮作用，使學(xué)生終身受益.數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)課堂是思維發(fā)展的舞臺(tái).“情境—問題—思維”視角下的數(shù)學(xué)情境教學(xué)，注重在問題的引領(lǐng)下發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使其運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式觀察、分析、解決現(xiàn)實(shí)問題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界，并在數(shù)學(xué)思維發(fā)展的同時(shí)養(yǎng)成主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)反思的意識(shí)，然后經(jīng)由具體的數(shù)學(xué)方法和策略的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向一般性思維策略的學(xué)習(xí)，進(jìn)而培養(yǎng)理性思維、發(fā)展理性精神.因此，數(shù)學(xué)情境設(shè)計(jì)不僅要基于認(rèn)知沖突生成具體的問題，更要在問題生成、思考和解決的過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和理性精神.

【案例3】“勾股定理”情境設(shè)計(jì)

筆者利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)具模型，演示“勾股定理注水法證明”（詳見圖5），讓學(xué)生說出自己的發(fā)現(xiàn).

問題1：實(shí)驗(yàn)中的三角形是直角三角形嗎？

問題2：如果不能確定是直角三角形，你應(yīng)該如何思考？

問題3：是否所有的直角三角形都具有“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的性質(zhì)？鈍角三角形和銳角三角形也具有這一性質(zhì)嗎？

問題4：具備這種性質(zhì)的三角形是否一定是直角三角形？

圖5“勾股定理注水法證明”示意

案例分析：“勾股定理”是蘇科版教材八年級(jí)上冊第三章第一課時(shí)的內(nèi)容，這節(jié)課的主要任務(wù)是“經(jīng)歷探索勾股定理的過程，發(fā)展合情推理能力”，其后的第二課時(shí)學(xué)習(xí)勾股定理的典型證明方法，第三課時(shí)學(xué)習(xí)勾股定理的逆定理.筆者以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)具演示“勾股定理注水證明”的過程（演示時(shí)不要說明學(xué)具中的三角形是否是直角三角形），讓學(xué)生觀察、思考，說出自己的發(fā)現(xiàn).學(xué)生常常將模型中的三角形默認(rèn)為直角三角形，得到結(jié)論“直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”.筆者及時(shí)以問題“它一定是直角三角形嗎”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，生成這節(jié)課具有開放性和生長性的核心問題“哪類三角形兩邊的平方和等于最長邊的平方”，然后借助方格紙畫圖計(jì)算驗(yàn)證.通過畫出的諸多圖形，學(xué)生可以歸納出：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，銳角三角形兩邊的平方和大于最長邊的平方，鈍角三角形兩邊的平方和小于最長邊的平方.筆者再以問題“通過畫圖是否可以說明所有的直角三角形都具備上述性質(zhì)”引領(lǐng)學(xué)生思考問題的一般化證明及其逆向思考（如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于長邊的平方，它一定是直角三角形嗎？）.如此，借助實(shí)驗(yàn)情境，生成數(shù)學(xué)問題，引發(fā)深度思考，通過從特殊到一般的歸納推理，多角度思考問題的分類討論，執(zhí)果索因、反向思考的逆向思維等系列思維活動(dòng)，可在發(fā)展學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和理性精神的同時(shí)實(shí)現(xiàn)情境問題對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的統(tǒng)領(lǐng)作用.

（四）形式：“：“真、趣、美、簡”的和諧統(tǒng)一

情境的設(shè)計(jì)要能吸引學(xué)生的注意力，引發(fā)其深度思考，就應(yīng)在注重思維內(nèi)涵的同時(shí)兼顧“真、趣、美、簡”等特點(diǎn)，力求實(shí)現(xiàn)問題與思維相融、形式與內(nèi)涵統(tǒng)一.

其一，問題情境的“真”指向情境的生活性、真實(shí)性和科學(xué)性.我們可利用生活實(shí)際問題創(chuàng)設(shè)情境，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；可利用數(shù)學(xué)史話創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展歷程；可利用數(shù)學(xué)活動(dòng)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在活動(dòng)中思考數(shù)學(xué)真諦.不管是生活情境、數(shù)學(xué)情境還是科學(xué)情境等，我們都不能為情境而編造情境，尤其不能編造虛假的、違背科學(xué)常識(shí)的情境.

【案例4】“一元一次方程”情境設(shè)計(jì)

小明在2019年把10萬元定期存入某銀行2年，到期后共得本息12萬元，問這家銀行的定期存款年利率為多少？

案例分析：通過計(jì)算可知該銀行定期存款年利率為10%，這與實(shí)際不符.經(jīng)查詢，2019年央行的2年期定期存款的基準(zhǔn)年利率為2.25%，各銀行在這基礎(chǔ)上有適度調(diào)整，但最高沒有超過3%的，這就屬于典型的虛假情境.

其二，問題情境的“趣”指向形式之趣、變化之趣、方法之趣、人文之趣.變化的問題形式、動(dòng)態(tài)的圖形運(yùn)動(dòng)、充滿想象的趣味情境、富有內(nèi)涵的人文底蘊(yùn)、妙趣橫生的方法之變等，一定能吸引學(xué)生的眼球，引發(fā)學(xué)生的深度思考.如案例3中學(xué)具的動(dòng)態(tài)演示、問題的直覺判斷、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运伎?，就充分體現(xiàn)了問題情境的形式之趣、方法之趣、思想之趣.

【案例5】“讀心魔術(shù)”情境設(shè)計(jì)

師生共同完成下列步驟：教師首先猜一個(gè)數(shù)字，寫在信封內(nèi)；然后請學(xué)生任選一個(gè)以同一數(shù)字組成的三位數(shù)，計(jì)算出這個(gè)三位數(shù)除以其各數(shù)字之和的商，記在心中，不要告訴他人；教師隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，讓其公布心中的數(shù)字；最后揭曉教師寫在信封中的數(shù)字.

案例分析：這是王奕瑋老師在全國第十二屆初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)中執(zhí)教“代數(shù)推理”一課的情境設(shè)計(jì).每個(gè)學(xué)生想到的三位數(shù)各不相同，卻得到一樣的數(shù)字，為什么？每個(gè)學(xué)生心中都會(huì)有個(gè)大大的問號(hào).情境設(shè)計(jì)有趣、有味、有內(nèi)涵，引人深思.在這樣的情境氛圍中，學(xué)生能不主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、積極思考、深入探究嗎？

其三，問題情境的“美”指向問題的數(shù)學(xué)美、思想美、意境美.數(shù)學(xué)情境不但要追求外在形式之趣，更要追求數(shù)學(xué)本質(zhì)之美.指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題情境才值得學(xué)生思考、探究.教師要通過情境的創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生在對(duì)有趣有味問題的思考中，得到簡潔的數(shù)學(xué)規(guī)律，感受數(shù)學(xué)方法之妙，體會(huì)數(shù)學(xué)思想之味，進(jìn)而從感性走向理性.這正是數(shù)學(xué)意境之美、理性之美的體現(xiàn).

【案例6】“等分三角形面積”情境設(shè)計(jì)

AD是△ABC的中線（圖略），圖中有面積相等的三角形嗎？你的理由是什么？你還有什么發(fā)現(xiàn)？

問題1：你能畫出多少條可以等分△ABC面積的直線？

問題2：過三角形重心的直線是否一定等分三角形的面積？

問題3：點(diǎn)E在△ABC的邊上（與頂點(diǎn)或各邊中點(diǎn)均不重合，詳見圖6），過點(diǎn)E能否畫出等分△ABC面積的直線？如果能，能畫幾條？你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖6等分三角形面積示意

問題4：如果我們可以畫出無數(shù)條等分△ABC面積的直線，這些直線的分布是否存在一定規(guī)律？

案例分析：該案例是九年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形重心之后所開展的探究性學(xué)習(xí).學(xué)生回顧三角形中線等分三角形面積的相關(guān)知識(shí)后，結(jié)合圖形提出自己的想法.學(xué)生提出的問題可歸納為兩類：一是能畫多少條符合條件的直線；二是符合條件直線的分布有沒有規(guī)律.

符合條件的直線可分為三類.（1）三角形的中線所在的直線（如圖6-1中的線段AD）.（2）平行于三角形一邊且把另兩邊分為兩部分的直線（如圖6-2中的線段GH）.（3）更為一般的直線：畫法一（見圖6-1），連接AE，過點(diǎn)D作DF∥AE，交AB于點(diǎn)F，由S△ADF=S△EDF可得S△AOF=S△EOD，故S△EFB=S△ADB則直線EF為所求；畫法二（見圖6-2），連接EH，過點(diǎn)G作GF∥EH，交AB于點(diǎn)F，則直線EF為所求.所以可作出無數(shù)條等分三角形面積的直線.

符合條件的直線分布規(guī)律探究：（1）利用舉例可說明“經(jīng)過三角形重心的直線不一定等分三角形”，過三角形重心作一邊的平行線，則該直線把三角形分成面積比為4∶5的兩部分.（2）符合條件的直線可用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示其分布規(guī)律的圖形之美，其間還蘊(yùn)含著簡潔的數(shù)量關(guān)系（初中生理解尚存在困難，可以讓學(xué)有余力的學(xué)生課后查閱相關(guān)文獻(xiàn)[5]）.如此，通過圖形動(dòng)態(tài)演示和計(jì)算推理，學(xué)生可以感受到圖形變化的和諧美、數(shù)量關(guān)系的簡潔美、思維轉(zhuǎn)變的意境美.

其四，問題情境的“簡”指情境設(shè)計(jì)不必繁、不必繞、不必難.教師可通過數(shù)學(xué)情境揭示數(shù)學(xué)問題，所設(shè)情境要直指數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)簡約而不簡單，不能為創(chuàng)設(shè)情境而生搬硬套，不能指向不明以致讓人不知所言，也不能信息過多以致干擾學(xué)生的思維.

【案例7】“有理數(shù)的乘法”情境設(shè)計(jì)

七年級(jí)學(xué)習(xí)“有理數(shù)的乘法”時(shí)，某版本的教科書利用水位的變化設(shè)置情境，水位上升為正、下降為負(fù)，幾天后為正、幾天前為負(fù).

案例分析：水位分正負(fù)、時(shí)間也分正負(fù)，本來負(fù)數(shù)就是理解上的難點(diǎn)，這樣繞來繞去，對(duì)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說無疑增加了理解難度.而人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》就注意到了這個(gè)問題，采用“舉例子、找規(guī)律”的簡單歸納法進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)，這種處理方式比較適合七年級(jí)學(xué)生的思維發(fā)展水平.拉普拉斯曾說歸納和類比是發(fā)現(xiàn)真理的主要工具.從一定程度上說，歸納推理更體現(xiàn)為一種學(xué)習(xí)智慧.以往知來、以見知隱，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要方式.

綜上，數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)課堂是思維發(fā)展的舞臺(tái)，如何讓學(xué)生在課堂上實(shí)現(xiàn)有效的思考，值得每位數(shù)學(xué)教育工作者深思.“情境—問題—思維”視角下的課堂教學(xué)，強(qiáng)調(diào)基于學(xué)情，明確最近發(fā)展區(qū)，精心設(shè)計(jì)“真、趣、美、簡”兼?zhèn)涞臄?shù)學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使其在思維的碰撞中生成數(shù)學(xué)問題，并以此引領(lǐng)探究活動(dòng)，在問題探究中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的變換之妙、簡潔之美、思維之趣，在知識(shí)的類比和歸納中發(fā)展數(shù)學(xué)思維.這種教學(xué)方式注重培養(yǎng)學(xué)生的自覺學(xué)習(xí)和反思意識(shí)，強(qiáng)調(diào)通過具體的數(shù)學(xué)方法和策略學(xué)習(xí)，使學(xué)生轉(zhuǎn)向?qū)σ话阈运季S策略的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)理性思維的發(fā)展.