毛星波，盛冬發(fā)，朱 軍

（西南林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，昆明 650224）

0 引言

中國(guó)作為基建大國(guó)，橋梁建設(shè)在促進(jìn)國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展和提高國(guó)民整體生活水平方面發(fā)揮了重大作用，拱橋作為一種歷史悠久的橋梁結(jié)構(gòu)在其中扮演著重要的角色。拱橋按受力體系可分為三鉸拱、兩鉸拱和無(wú)鉸拱，其中三鉸拱因其良好的適用性與受力性能，在地勢(shì)險(xiǎn)峻偏遠(yuǎn)的地方得到廣泛運(yùn)用［1］。三鉸拱實(shí)用理論的研究主要有力學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)兩個(gè)方面。在力學(xué)分析方面，李彤等［2-3］利用計(jì)算機(jī)編程求解三鉸拱內(nèi)力及其影響線(xiàn)，提高了三鉸拱力學(xué)分析的精度與效率。夏健明［4］提出利用Excel數(shù)據(jù)計(jì)算及成圖功能繪制三鉸拱內(nèi)力圖，為三鉸拱內(nèi)力計(jì)算提供了一種新思路。也有學(xué)者對(duì)三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算方法進(jìn)行了研究［5-6］，或以現(xiàn)代流行語(yǔ)言為三鉸拱內(nèi)力計(jì)算編制相應(yīng)程序［7-8］。在優(yōu)化方面，任治章等［9-10］在合理拱軸線(xiàn)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出均布荷載作用下的三鉸拱最優(yōu)矢跨比理論解。鄧小康等［11］基于拱圈自重建立微分平衡方程，解得了等截面空腹式三鉸拱合理拱軸線(xiàn)。

上述研究的具體對(duì)象皆為三鉸平拱，即兩拱腳處于同一水平高度的三鉸拱，對(duì)斜拱方面的研究則甚少。本文對(duì)三鉸斜拱一些受力及優(yōu)化的問(wèn)題進(jìn)行分析研究。首先，對(duì)豎向均布荷載下三鉸斜拱的合理拱軸線(xiàn)分析求解，并對(duì)三鉸斜拱約束反力及內(nèi)力影響線(xiàn)函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)；其次，建立以?xún)?nèi)力為目標(biāo)函數(shù)的三鉸斜拱矢跨比優(yōu)化模型；最后，為便于本文理論在實(shí)際工程中的應(yīng)用，使用Maple符號(hào)計(jì)算軟件編制相應(yīng)的計(jì)算程序，并通過(guò)案例驗(yàn)證文中理論推導(dǎo)的正確性及優(yōu)化模型的優(yōu)化效果。

1 三鉸斜拱合理拱軸線(xiàn)分析求解

以拱的任一截面左邊（或右邊）所有外力的合力（包括數(shù)量、方向和作用點(diǎn)）作出合力多邊形，該合力多邊形稱(chēng)為拱的壓力線(xiàn)。當(dāng)拱的壓力線(xiàn)與拱的軸線(xiàn)重合時(shí)，各截面的彎矩為零，拱處于無(wú)彎矩狀態(tài)，這時(shí)各截面只受軸力作用。此時(shí)，使拱處于無(wú)彎矩狀態(tài)的這一軸線(xiàn)稱(chēng)為合理拱軸線(xiàn)［12］。由此可知，擁有合理拱軸線(xiàn)的拱橋截面上應(yīng)力均勻，能充分利用材料強(qiáng)度和圬工材料良好的抗壓性能。

根據(jù)合理拱軸線(xiàn)定義，若使三鉸斜拱的截面彎矩方程恒等于零，便有可能解出合理拱軸線(xiàn)函數(shù)。設(shè)三鉸斜拱在均布荷載作用下截面彎矩恒等于零，其具體受力情況如圖1 所示。

圖1 三鉸斜拱合理拱軸線(xiàn)推導(dǎo)簡(jiǎn)圖

故有其任意截面的彎矩方程式

根據(jù)圖1，建立B、C鉸點(diǎn)的彎矩平衡方程組，以此解得A鉸點(diǎn)支座水平反力FAx和A鉸點(diǎn)支座垂直反力FAy。將FAx與FAy代回式（1），得其合理拱軸線(xiàn)式

將A、B鉸點(diǎn)拱腳高差h＝0、左右半拱跨長(zhǎng)差L1＝0 代入式（2）得：

為三鉸平拱在均布荷載作用下的合理拱軸線(xiàn)表達(dá)式［13-14］，表明式（2）對(duì)三鉸平拱同樣適用。

2 三鉸斜拱影響線(xiàn)函數(shù)推導(dǎo)及內(nèi)力計(jì)算

當(dāng)一個(gè)指向不變的單位集中荷載（通常是豎直向下的）沿結(jié)構(gòu)移動(dòng)時(shí)，表示結(jié)構(gòu)某一指定量值變化規(guī)律的圖形，稱(chēng)為該量值的影響線(xiàn)［15］。在拱橋設(shè)計(jì)時(shí)，利用影響線(xiàn)確定拱橋關(guān)鍵截面上某量值的最不利荷載作用位置，并據(jù)此求出該量值在設(shè)計(jì)荷載作用下產(chǎn)生的最大值，以此作為關(guān)鍵截面尺寸和形狀設(shè)計(jì)的依據(jù)。因此影響線(xiàn)的確定對(duì)拱橋設(shè)計(jì)至關(guān)重要。設(shè)三鉸斜拱在單位豎向移動(dòng)載荷FP作用如圖2 所示，可分別推導(dǎo)支座垂直反力FAy、FBy，支座水平反力FAx、FBx，彎矩MK、剪力QK和軸力NK的影響線(xiàn)函數(shù)。

圖2 三鉸斜拱受力計(jì)算簡(jiǎn)圖

2.1 支座反力影響線(xiàn)的推導(dǎo)

三鉸斜拱與雙鉸拱、無(wú)鉸拱具有明顯不同的特征。雙鉸拱、無(wú)鉸拱由于多余約束的存在為超靜定結(jié)構(gòu)，而三鉸斜拱解除了多余約束，為靜定結(jié)構(gòu)。鑒于此，使用平衡方程可求解三鉸斜拱支座反力影響線(xiàn)函數(shù)。另考慮到單位荷載的移動(dòng)性，將支座約束反力影響線(xiàn)的求解分為單位荷載在左半拱時(shí)和右半拱時(shí)兩種情況。依據(jù)圖2 建立B、C鉸點(diǎn)彎矩平衡方程組，求解出三鉸斜拱A鉸點(diǎn)支座反力影響線(xiàn)函數(shù)如下：

同理，建立A、C鉸點(diǎn)彎矩平衡方程組，可求解出三鉸斜拱B鉸點(diǎn)支座反力FBy、FBx影響線(xiàn)函數(shù)。

2.2 內(nèi)力影響線(xiàn)的推導(dǎo)

拱軸截面內(nèi)力影響線(xiàn)可用截面法求得。左半拱截面的內(nèi)力影響線(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖3。圖中：xK、yK為擬求解影響線(xiàn)的截面的形心坐標(biāo)；φK為該截面處拱軸線(xiàn)傾角，可由拱軸線(xiàn)方程求導(dǎo)得出，其在右半拱時(shí)取值為負(fù)。另外，圖3 中內(nèi)力MK、QK、NK所示方向皆設(shè)定為正方向。根據(jù)圖3，利用截面法對(duì)擬求解截面xK位于左半拱時(shí)的內(nèi)力影響線(xiàn)函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，得內(nèi)力MK、QK、NK影響線(xiàn)函數(shù)如下：

圖3 左半拱內(nèi)力影響線(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)圖

同理，通過(guò)已知具體表達(dá)式的FBx、FBy影響線(xiàn)，可建立起擬求解截面xK位于右半拱時(shí)的內(nèi)力影響線(xiàn)函數(shù)表達(dá)式。

2.3 三鉸斜拱內(nèi)力計(jì)算

因影響線(xiàn)描述了單位移動(dòng)載荷作用下某量值的變化規(guī)律，故當(dāng)荷載為集中荷載組或分布荷載組時(shí)，這些量值可以根據(jù)疊加原理利用影響線(xiàn)求得。考慮利用影響線(xiàn)計(jì)算三鉸斜拱相關(guān)截面內(nèi)力，其計(jì)算公式為

式中：Z為三鉸斜拱因荷載作用所產(chǎn)生的量值大小，文中為指定截面彎矩MK、剪力QK、軸力NK的大??；FPi為若干豎向集中荷載；yi為與集中荷載相對(duì)應(yīng)的影響線(xiàn)縱標(biāo)；qx為分布荷載函數(shù)；yx為分布荷載相對(duì)應(yīng)的影響線(xiàn)函數(shù)。

3 三鉸斜拱矢跨比優(yōu)化

雖然具有合理拱軸線(xiàn)形的拱橋截面應(yīng)力均勻，能充分利用材料強(qiáng)度，但實(shí)際上拱橋不可能僅受均布載荷作用。此時(shí)，式（2）的合理拱軸線(xiàn)函數(shù)將變得不再那么“合理”，拱橋截面上也不再只有軸力。為使這種情況下的三鉸斜拱受力更合理，考慮以拱軸各控制點(diǎn)內(nèi)力平方和為目標(biāo)函數(shù)對(duì)其進(jìn)行矢跨比優(yōu)化。所建立的矢跨比優(yōu)化模型如下：

式中：設(shè)計(jì)變量f為矢高，其上下限值分別為fmax與fmin；Zi為各拱軸控制點(diǎn)處彎矩或軸力，其值大小用含矢高f的函數(shù)表示，具體表達(dá)式也可通過(guò)三鉸斜拱Maple程序快速求得。各拱軸控制點(diǎn)的選取依據(jù)以下原則：若以彎矩為目標(biāo)函數(shù)，則以集中力作用點(diǎn)、均布力作用范圍起始點(diǎn)、均布力作用范圍結(jié)束點(diǎn)、拱跨等分點(diǎn)為各控制點(diǎn)優(yōu)先選擇，其盡可能在拱軸線(xiàn)上均勻分布；若以軸力為目標(biāo)函數(shù)，則優(yōu)先將拱腳、拱頂選作為控制點(diǎn)，然后參考以彎矩為目標(biāo)函數(shù)的選擇方法選擇其他控制點(diǎn)。得到優(yōu)化模型具體表達(dá)式后，可利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行尋優(yōu)，得到最優(yōu)矢高。

4 三鉸斜拱影響線(xiàn)繪制及內(nèi)力計(jì)算的Maple編程

為便于工程實(shí)際應(yīng)用，考慮將文中理論與方法編制成Maple程序，Maple軟件提供的如符號(hào)計(jì)算、數(shù)值處理、二維與三維作圖等廣泛的數(shù)學(xué)計(jì)算功能得到了大量工程師及學(xué)者的青睞與使用［16］，故其也是目前世界上最為通用的數(shù)學(xué)和工程計(jì)算軟件之一。Maple 程序編制的流程如圖4 所示（具體代碼可聯(lián)系作者獲知）。圖中，拱形已知條件為三鉸斜拱矢高f、跨長(zhǎng)L、兩拱腳高差h、左右半拱跨度差L1及擬求解影響線(xiàn)函數(shù)的截面的橫坐標(biāo)，荷載已知條件對(duì)于集中荷載，為其載荷作用點(diǎn)橫坐標(biāo)及載荷大小，對(duì)于分布荷載，為其載荷作用范圍起始點(diǎn)、終止點(diǎn)及載荷函數(shù)。以上兩已知條件皆由使用者根據(jù)工程實(shí)際情況輸入。

圖4 Maple程序運(yùn)行流程

5 計(jì)算案例與驗(yàn)證

通過(guò)下面案例驗(yàn)證本文三鉸斜拱力學(xué)推導(dǎo)的正確性及優(yōu)化模型的優(yōu)化效果。現(xiàn)已知有三鉸斜拱如圖5所示，其中拱腳高差h＝2 m、f＝4 m、L1＝2 m、l＝12 m。拱圈自重為均布荷載q＝58 kN／m，拱上車(chē)輛集中荷載FP1＝70 kN、FP2＝100 kN、FP3＝30 kN，其作用點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為：x＝2 m，x＝6 m，x＝10 m。另外，該三鉸斜拱設(shè)計(jì)矢高上下限為3.5～4.5 m，且x＝6 m 截面處為關(guān)鍵控制截面K截面。

圖5 三鉸斜拱案例

將案例拱形已知條件及拱圈自重荷載代入Maple程序，得到該三鉸斜拱均布自重作用下的各截面內(nèi)力。將上述內(nèi)力數(shù)據(jù)與SAP2000 有限元內(nèi)力分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得到圖6。從圖6（a）、（b）知，SAP2000 和Maple對(duì)截面剪力及彎矩的分析結(jié)果都趨近于0。由此推斷，本文給出的三鉸斜拱合理拱軸線(xiàn)函數(shù)是正確的。另外，從圖6（c）可以看出兩者對(duì)于軸力的計(jì)算結(jié)果基本吻合，表明本文Maple 程序?qū)Π咐孛鎯?nèi)力的計(jì)算有較好的精度。

圖6 均布自重作用下SAP2000和Maple求解內(nèi)力對(duì)比

使用Maple程序與SAP2000 軟件分別對(duì)該案例A鉸點(diǎn)支座反力及K截面影響線(xiàn)進(jìn)行分析及繪制，得到圖7、8。圖7 中，折線(xiàn)圖為Maple 程序分析所得結(jié)果，其下方為SAP2000 軟件分析結(jié)果。圖8 布置與圖7 相同，需注意的是，Maple 分析時(shí)設(shè)定的剪力正方向與SAP2000 軟件相反。觀(guān)察兩圖，圖中兩種方法所得的影響線(xiàn)的變化趨勢(shì)及極值點(diǎn)特征基本一致。由此可推斷，本文對(duì)三鉸斜拱支座反力及內(nèi)力影響線(xiàn)函數(shù)方程的推導(dǎo)也是正確的。

圖7 A鉸點(diǎn)支座反力影響線(xiàn)

圖8 K截面內(nèi)力影響線(xiàn)

對(duì)案例進(jìn)行矢跨比優(yōu)化。選取x＝0、2、6、8、10、14 m處截面作控制點(diǎn)，結(jié)合所給矢高約束條件，建立以軸力為目標(biāo)的矢跨比優(yōu)化模型。通過(guò)Maple程序得到優(yōu)化模型具體表達(dá)式，并經(jīng)數(shù)學(xué)計(jì)算軟件尋優(yōu)，得到優(yōu)化矢高f為4.5 m，故其最佳矢跨比為9／28。優(yōu)化前后的案例截面軸力對(duì)比見(jiàn)圖9。由圖9 知，優(yōu)化后各截面軸力均有所減小，減小最大位置x＝6.5 m 處，減小了9.05%。以上結(jié)果說(shuō)明，本文所提出的矢跨比優(yōu)化模型取得了較好的優(yōu)化效果。

圖9 案例軸力N優(yōu)化前后對(duì)比

6 結(jié)論

本文根據(jù)三鉸斜拱受力特點(diǎn)，對(duì)其處于均布荷載下的合理拱軸線(xiàn)及相關(guān)影響線(xiàn)函數(shù)進(jìn)行了推導(dǎo)，并以拱軸各控制點(diǎn)內(nèi)力平方和為目標(biāo)函數(shù)提出了一種矢跨比優(yōu)化模型，最后編制了與文中理論相對(duì)應(yīng)的Maple程序，得到的主要結(jié)論如下：

（1）推導(dǎo)得到了三鉸斜拱合理拱軸線(xiàn)、支座反力及內(nèi)力影響線(xiàn)函數(shù)表達(dá)式，對(duì)三鉸斜拱的設(shè)計(jì)與建設(shè)有一定指導(dǎo)意義。其函數(shù)對(duì)于三鉸平拱同樣適用，統(tǒng)一了三鉸拱受力計(jì)算公式。

（2）通過(guò)案例證明了文中矢跨比優(yōu)化模型有較好優(yōu)化效果，為三鉸斜拱的矢跨比優(yōu)化提供了明確且可行的理論支持。

（3）編制的Maple 程序?yàn)槿q斜拱支座反力、彎矩、剪力、軸力影響線(xiàn)的繪制及截面內(nèi)力的計(jì)算提供了便利。同時(shí)，因程序中使用的函數(shù)對(duì)三鉸平拱同樣適用，故該程序也可用于三鉸平拱相應(yīng)問(wèn)題的計(jì)算。