文｜宗迎峰

一次函數(shù)是學(xué)生首次學(xué)習(xí)，由于具有高度抽象性，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來一定難度。一次函數(shù)探索過程中的數(shù)形結(jié)合思想，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及其他函數(shù)提供了可以類比的研究途徑。在教學(xué)過程中若單純使用傳統(tǒng)教學(xué)手段，學(xué)生很難完全理解一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。而利用幾何畫板不僅可以方便地畫出一次函數(shù)的圖象，學(xué)生還能通過動手操作體驗到函數(shù)圖象與性質(zhì)隨函數(shù)解析式變化而做出的相應(yīng)改變，進(jìn)一步提升信息素養(yǎng)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》對一次函數(shù)提出的學(xué)業(yè)要求是會根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx＋b（k≠0）探索并理解k值的變化對函數(shù)圖象的影響，同時還提出，數(shù)學(xué)課堂上要利用數(shù)學(xué)專用軟件開展數(shù)學(xué)實驗。

一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)取決于k值和b值，只從解析式角度去分析，顯然不夠直觀，學(xué)生難以完全理解和掌握。在正比例函數(shù)的基礎(chǔ)上探索一次函數(shù)圖象的平移變化，盡管學(xué)生也可以用描點法畫出圖象進(jìn)行研究，但描出的點比較有限，圖象不夠精確。同時，如果畫出的圖象數(shù)量過少，缺乏普遍意義，學(xué)生難以觀察歸納出本質(zhì)特征；如果畫出的圖象太多，又比較耗時。而運用幾何畫板（5.06 版）這一工具，通過演示對比正比例函數(shù)與一次函數(shù)，學(xué)生能夠更好地體驗數(shù)形結(jié)合的思想，并且在學(xué)習(xí)過程中感受“從特殊到一般”這一重要數(shù)學(xué)研究方法。

一、一次函數(shù)圖象平移

一次函數(shù)圖象初中階段只涉及上下平移，選擇函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3 進(jìn)行研究，這兩個函數(shù)解析式比較簡單，便于計算和描點。

（一）從“數(shù)”的角度分析研究

學(xué)生觀察解析式的異同，思考：函數(shù)y=2x＋3 和函數(shù)y=2x相比，多了常數(shù)項3，當(dāng)自變量取相同數(shù)值時，函數(shù)值會有什么差異？

學(xué)生列表求值，x取一些特殊數(shù)值，計算兩個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值，并對函數(shù)值進(jìn)行對比，觀察規(guī)律。

思考：當(dāng)x取相同數(shù)值時，y=2x＋3 的函數(shù)值比y=2x多3，這在圖象上會有什么樣的表現(xiàn)？

猜想函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3 圖象的關(guān)系。

以上是從自變量與函數(shù)值的角度分析兩個函數(shù)的關(guān)系，學(xué)生能理解“當(dāng)橫坐標(biāo)相同時，函數(shù)y=2x＋3上的點縱坐標(biāo)比y=2x大3”，進(jìn)而根據(jù)“點動成線”提出自己的猜想，但缺乏直觀感受。

（二）從“形”的角度分析研究

學(xué)生在操作臺上用幾何畫板畫出函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3 的圖象，其他學(xué)生同時在練習(xí)本上用描點法畫出圖象。雖然幾何畫板可以直接畫出圖象，也比較直觀準(zhǔn)確，有利于學(xué)生觀察，但學(xué)生用描點法畫圖的過程也是不可缺少的，這既是為了培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力，同時又因為畫出函數(shù)圖象、觀察函數(shù)圖象進(jìn)而歸納性質(zhì)特征是研究函數(shù)的思路，這為以后研究新函數(shù)提供了途徑。

1.學(xué)生畫出圖象以后，與操作臺同學(xué)畫出的圖象進(jìn)行對比，觀察自己所畫圖象是否正確。

觀察圖象思考：函數(shù)y=2x＋3 的圖象是什么形狀？函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3 的圖象有什么位置關(guān)系？

猜想：函數(shù)y=2x圖象通過怎樣的平移能夠得到函數(shù)y=2x＋3 的圖象？

以上活動是讓學(xué)生通過觀察初步感知函數(shù)y=2x＋3 的圖象與性質(zhì)。

2.在兩個函數(shù)圖象上構(gòu)造一些橫坐標(biāo)相同的點。

學(xué)生觀察思考：當(dāng)函數(shù)y=2x與y=2x＋3 圖象上的點橫坐標(biāo)相同時，縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)橫坐標(biāo)相同時，函數(shù)y=2x上的點的縱坐標(biāo)比y=2x＋3 小3。

為了更有說服力，在函數(shù)y=2x上構(gòu)造點A，經(jīng)過點A作y軸平行線，然后構(gòu)造這條平行線與函數(shù)y=2x＋3 的交點B，度量點A和點B的坐標(biāo)。拖動點A，就可以清晰地看到：隨著點A位置的改變，點B和點A的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)多3。

3.思考：點A通過怎樣的平移能到點B的位置？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)點A向上平移3 個單位長度得到點B。

教師演示平移的動態(tài)過程。

為了便于學(xué)生觀察，把先前所構(gòu)造的函數(shù)y=2x圖象上的點在“顯示”菜單中設(shè)置成“追蹤點”，這樣，當(dāng)點擊“動畫點”按鈕時，函數(shù)y=2x的圖象向上平移的軌跡就直觀地顯示出來了。

4.思考：根據(jù)“點動成線”，函數(shù)y=2x的圖象通過怎樣的平移能夠得到函數(shù)y=2x＋3 的圖象？

學(xué)生通過前面過程已經(jīng)理解了兩個函數(shù)圖象上對應(yīng)點的關(guān)系，能夠得出結(jié)論：函數(shù)y=2x圖象上的每個點都向上平移3 個單位長度就得到函數(shù)y=2x＋3的圖象，所以函數(shù)y=2x＋3 的圖象也是直線。

觀察兩條直線的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們互相平行。

教師用幾何畫板演示直線平移過程。

利用前面做出的點A和點B構(gòu)造線段AB，在線段AB上構(gòu)造點C，選中點C和點A，在“構(gòu)造”菜單里點擊“軌跡”，出現(xiàn)和直線y=2x平行的直線。選中點C，按“編輯→操作類按鈕→動畫”流程操作，出現(xiàn)“動畫點”按鈕，右鍵設(shè)置“屬性”，“方向”選擇“向后”，然后點擊“確認(rèn)”。點擊“動畫點”，可以看到函數(shù)y=2x圖象向上平移3 個單位長度得到函數(shù)y=2x＋3圖象的過程。

把常數(shù)項換成其他數(shù)字進(jìn)行演示，學(xué)生觀察總結(jié)。

用類似的教學(xué)流程在動態(tài)變化中來講函數(shù)y=2x圖象和函數(shù)y=2x－3 圖象的關(guān)系，以調(diào)動學(xué)生的積極性，增加學(xué)生參與演示的機(jī)會。

5.在教學(xué)k值小于0 的一次函數(shù)圖象性質(zhì)過程中，把上面的流程做一個相反的變化。

先提出問題：把正比例函數(shù)y=－2x的圖象向上平移4 個單位長度，哪些特點發(fā)生變化？哪些特點不變？請猜想解析式。

學(xué)生已經(jīng)有了前面的探究經(jīng)歷，所以在學(xué)習(xí)活動中不急于演示動態(tài)變化過程，可以先引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的增減性、經(jīng)過的象限、與y軸的交點坐標(biāo)等方面對正比例函數(shù)y=－2x進(jìn)行想象，然后思考它向上平移4 個單位長度以后有哪些特點發(fā)生變化，哪些特點不變。

學(xué)生回答之后，不評價對錯，先畫出函數(shù)y=－2x+4 的圖象，然后演示動態(tài)過程，讓學(xué)生觀察圖象的相同點和不同點，對結(jié)論進(jìn)行驗證。

學(xué)生觀察思考：正比例函數(shù)y=－2x的圖象在向上平移過程中，解析式哪些部分發(fā)生變化？哪些部分不變？

在“度量”菜單中有“度量方程”的功能，拖動函數(shù)圖象，學(xué)生能夠觀察到當(dāng)函數(shù)圖象位置發(fā)生變化時，k值不變，一直都是－2，b值發(fā)生變化。這為下面總結(jié)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)作出了鋪墊。

一次函數(shù)圖象是一條直線，但在幾何畫板中經(jīng)過定點畫這個函數(shù)圖象的平行線是不能直接作出的，往往是在原函數(shù)圖象上構(gòu)造兩個點，然后經(jīng)過這兩個點畫出一條和原函數(shù)圖象重合的直線，最后再經(jīng)過定點來構(gòu)造這條新直線的平行線，從而得到與原一次函數(shù)圖象平行的直線。

“軌跡”構(gòu)造的直線也無法直接度量方程，同樣可以在這條直線上構(gòu)造兩個點，隱藏直線，然后構(gòu)造經(jīng)過這兩個點的直線，度量新直線的解析式。

在演示圖象平移過程中往往會出現(xiàn)一種情況：圖象平移之后會跳回原來的位置，不能停留在終點，不利于學(xué)生觀察。以直線y=－2x平移到直線y=－2x+4為例來解決這個問題，先根據(jù)前面流程作出直線y=－2x向上平移4 個單位長度得到直線y=－2x+4 的動畫，再選中直線y=－2x+4 做“隱藏/顯示”按鈕（流程是編輯→操作類按鈕→隱藏/顯示），然后依次選中“動畫點”和“隱藏/顯示”兩個按鈕，在“編輯”菜單中“操作類按鈕”選擇“系列按鈕”，這樣就實現(xiàn)了一個按鈕控制整個移動過程，并且不會發(fā)生跳回現(xiàn)象。

6.歸納總結(jié)階段把重點轉(zhuǎn)向?qū)W生的操作體驗。因為經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生已經(jīng)對一次函數(shù)圖象和性質(zhì)有了初步的理解，還需要通過進(jìn)一步的體驗感悟來加深印象。

為了讓學(xué)生直觀感受k值的作用，教師可讓學(xué)生畫出大量k值固定不變的一次函數(shù)的圖象，如k=0.5，畫出直線y=0.5x，y=0.5x＋4，y=0.5x＋2，y=0.5x－1.5，y=0.5x－4…學(xué)生觀察到這些函數(shù)的圖象都是平行的直線。

總結(jié)規(guī)律：一次函數(shù)的k值相同時，它們的圖象是一組互相平行的直線；反過來，當(dāng)一次函數(shù)圖象是平行直線時，它們的解析式k值相同。

學(xué)生在幾何畫板中畫出k=-2 的一次函數(shù)y=-2x，y=-2x+4，y=-2x+2，y=-2x-0.5，y=-2x-3…的圖象，通過觀察再次驗證規(guī)律。

思考：觀察兩組函數(shù)圖象以及前面正比例函數(shù)圖象到一次函數(shù)圖象的動態(tài)變化過程，你能說出一次函數(shù)圖象從左到右上升或下降的規(guī)律嗎？

由此得到k的第二個作用：k＞0，一次函數(shù)圖象從左到右上升，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；k＜0，一次函數(shù)圖象從左到右下降，函數(shù)值隨自變量的增大而減小。

把正比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象放在同一個坐標(biāo)系中，更方便比較它們的異同。

通過以上過程，學(xué)生對一次函數(shù)中k值對圖象的兩個作用有直觀、清晰的理解認(rèn)識。

二、一次函數(shù)圖象與y 軸的交點

一次函數(shù)中常數(shù)項的作用與以后要學(xué)習(xí)的二次函數(shù)中常數(shù)項的作用相同，所以常數(shù)項的研究方法對今后學(xué)習(xí)其他函數(shù)具有指導(dǎo)作用，仍然從“數(shù)”與“形”兩個角度進(jìn)行研究，以函數(shù)y=2x+3 為例。

（一）從“數(shù)”的角度分析研究

思考：一次函數(shù)y=2x+3，當(dāng)x=0 時，y值等于幾？

學(xué)生求出當(dāng)x=0 時，y=3。

思考：這個計算結(jié)果反映了函數(shù)y=2x+3 的圖象有什么樣的特征？

根據(jù)自變量和函數(shù)值的關(guān)系，可以知道函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)是（0，3）。

思考：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與y軸的交點坐標(biāo)是什么？

學(xué)生利用前面分析具體解析式獲得的經(jīng)驗，從特殊到一般，可以推導(dǎo)出一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與y軸交點坐標(biāo)是（0，b）。

從“數(shù)”的角度盡管也能得出結(jié)論，但缺乏直觀性，不利于學(xué)生思維的發(fā)散，難以進(jìn)行更深層次的發(fā)掘。

（二）從“形”的角度分析研究

1.利用正比例函數(shù)圖象的平移分析

思考：一次函數(shù)y=2x+3 的圖象可以由哪個正比例函數(shù)圖象通過怎樣的平移得到？與y軸的交點發(fā)生了怎樣的變化？

這是由函數(shù)圖象的平移得到與y軸交點的平移。

學(xué)生由函數(shù)y=2x的圖象向上平移3 個單位長度得到函數(shù)y=2x+3 的圖象，可以聯(lián)想到圖象與y軸的交點也向上平移了3 個單位長度，函數(shù)y=2x+3 的圖象與y軸交點坐標(biāo)為（0，3）。

2.幾何畫板畫圖分析

學(xué)生在操作臺上利用幾何畫板畫出一次函數(shù)y=4x+3，y=2x+3，y=0.5x+3，y=-0.5x+3，y=-x+3，y=-2x+3…的圖象。

觀察思考：這些圖象與y軸的交點有什么特點？

學(xué)生可以看出它們與y軸的交點坐標(biāo)都是（0，3）。

觀察思考：它們的解析式有什么樣的共同點？

學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式中常數(shù)項b值都是3。

這樣學(xué)生就建立起了b值與函數(shù)圖象y軸交點坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析為什么它們的圖象與y軸的交點坐標(biāo)都是（0，3）。

最后學(xué)生共同歸納出一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中b值的作用：決定著一次函數(shù)圖象與y軸交點的坐標(biāo)，b值相同的一次函數(shù)圖象與y軸交點在同一位置。

三、結(jié)語

如果使用傳統(tǒng)教學(xué)手段，只能側(cè)重從“數(shù)”的角度分析一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，盡管也可以用描點法對畫出的圖象進(jìn)行分析研究，但不利于學(xué)生完全理解一次函數(shù)的本質(zhì)，也不利于學(xué)生進(jìn)一步發(fā)掘。

課堂上利用幾何畫板講授一次函數(shù)，一方面動態(tài)演示，從微觀和運動變化的角度進(jìn)行探索，真正實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，另一方面強(qiáng)大的交互性讓學(xué)生有更多的參與機(jī)會，學(xué)生在“做中學(xué)”，通過體驗感悟，能夠從本質(zhì)上理解一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并且留下深刻印象。同時，利用幾何畫板把正比例函數(shù)的圖象和大量的一次函數(shù)的圖象放在一個平面直角坐標(biāo)系中加以對比，讓學(xué)生在動態(tài)變化中清晰、準(zhǔn)確地認(rèn)識和理解它們的關(guān)系，進(jìn)一步體驗到類比的數(shù)學(xué)思想。

但是幾何畫板只能作為一種輔助教學(xué)手段，在教學(xué)過程中不能完全以演示代替教師的啟發(fā)引導(dǎo)和學(xué)生的畫圖實踐，只有合理利用，才能真正促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式的變革，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。