上海大學(xué)附屬嘉定高級(jí)中學(xué) 顧成龍
高中數(shù)學(xué)知識(shí)豐富而抽象,其中,對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與實(shí)際應(yīng)用是比較難啃的骨頭,尤其是概念新授課后的習(xí)題課。有的教師為了“省時(shí)減力”,試圖通過(guò)“題海戰(zhàn)術(shù)”,達(dá)到“熟能生巧”的效果,卻事倍功半。實(shí)際上,這嚴(yán)重忽視了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的把握,導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的偏差,影響解決問(wèn)題能力的發(fā)展,無(wú)法形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)習(xí)題課是指以習(xí)題為中心,教師根據(jù)學(xué)情特點(diǎn),基于教學(xué)目標(biāo),圍繞知識(shí)點(diǎn)的鞏固與練習(xí)題的講解而展開(kāi)的一種教學(xué)活動(dòng)。作為數(shù)學(xué)課最重要的組成部分之一,習(xí)題課教學(xué)可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,鞏固所學(xué)的知識(shí),提高解決問(wèn)題的能力。
自2020年9月上海市高中數(shù)學(xué)施行“雙新”教育以來(lái),筆者一直進(jìn)行數(shù)學(xué)概念新授課與習(xí)題課的課堂教學(xué)研究,試圖提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)概念的理解與應(yīng)用。筆者以一節(jié)“函數(shù)的概念和表示方法”習(xí)題課為例,打破以教師進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)再到學(xué)生練習(xí)為主的習(xí)題課傳統(tǒng)教學(xué)模式,通過(guò)問(wèn)題情境教學(xué)方式,把概念的知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)融入問(wèn)題中,來(lái)探索數(shù)學(xué)概念鞏固與應(yīng)用。
在進(jìn)行習(xí)題課的設(shè)計(jì)時(shí),教師要結(jié)合數(shù)學(xué)概念進(jìn)行適當(dāng)選題,設(shè)計(jì)具有針對(duì)性的典型例題,形成問(wèn)題鏈,環(huán)環(huán)相扣,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題探究數(shù)學(xué)概念本質(zhì),在深度與廣度上有效激發(fā)學(xué)生的思維品質(zhì)。
“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中最核心的概念之一,理解函數(shù)概念對(duì)高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要?!镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》認(rèn)為:函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為重要的數(shù)學(xué)模式,是研究其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基本工具,有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。函數(shù)及應(yīng)用是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。
函數(shù)概念的理解與應(yīng)用涉及函數(shù)的三種表示方式(解析法、列表法、圖象法),以及定義域與值域的求解。在這節(jié)“函數(shù)的概念和表示方法”的習(xí)題課上,例題1考查學(xué)生通過(guò)辨析問(wèn)題中變量間的關(guān)系,回顧函數(shù)的定義,掌握解析法。例題2通過(guò)高鐵車次相關(guān)信息,在實(shí)際生活中抽象出函數(shù),讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,通過(guò)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題,進(jìn)而解決生活中一些實(shí)際問(wèn)題,掌握列表法。例題3通過(guò)圖象驗(yàn)證函數(shù)相等,通過(guò)“形”判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等,進(jìn)一步考查定義:根據(jù)定義判斷,通過(guò)圖象和列表驗(yàn)證判斷。例題4通過(guò)列不等式組求解,考查函數(shù)三要素中的定義域。例題5考查函數(shù)三要素中的值域,要求畫(huà)出一個(gè)分段函數(shù)圖象,并分析圖象的特點(diǎn),得出圖象法可以直觀地理解函數(shù)的性質(zhì)。
例題1:下列能體現(xiàn)變量y是關(guān)于變量x的函數(shù)的是___。
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題中變量間關(guān)系的辨析,引導(dǎo)同學(xué)們回顧函數(shù)的定義?!皢?wèn)題(2)(4)表示函數(shù)的方法為解析法,還有其他的表示方法嗎?”由此引出例題2。
例題2:判斷下列兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù):y=x( x∈{0 ,1});y=x2( x∈{0 ,1}),并說(shuō)明理由。
變式:若y=x( x∈[0,1]);y=x2( x∈[0,1]),則兩函數(shù)相同嗎?并說(shuō)明理由。
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)函數(shù)定義,對(duì)兩個(gè)相同函數(shù)進(jìn)行辨析,讓同學(xué)們意識(shí)到變量與變量的配對(duì)法則,解析式只是一種表示方式,表達(dá)式不同,配對(duì)的法則不一定不同。如果表達(dá)式可以化簡(jiǎn)或者等價(jià)同一種形式,那么對(duì)應(yīng)法則是一樣的,這與代數(shù)中的式(也叫表達(dá)式)不一樣,式強(qiáng)調(diào)的是形,而函數(shù)注重對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)。確定兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)之后,再?gòu)膱D象法、列表法的角度進(jìn)行驗(yàn)證,熟悉了函數(shù)的三種表示方法。通過(guò)變式訓(xùn)練,進(jìn)一步深化同學(xué)們對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的理解。
例題3:求下列函數(shù)的定義域:
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)的形式構(gòu)造兩個(gè)具體的函數(shù),考查函數(shù)的定義域;對(duì)(1)做了一個(gè)變式,讓同學(xué)們注意零次冪的底數(shù)不能取0。任何函數(shù)的研究第一步都需要確定函數(shù)的定義域,只有在定義域內(nèi)研究函數(shù)的性質(zhì)才有意義。如將參數(shù)問(wèn)題進(jìn)行分類討論,借助數(shù)形結(jié)合,提升學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)。
蘇洪雨、章建躍、郭慧清指出“通過(guò)創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)情境,引導(dǎo)學(xué)生理解與把握函數(shù)的本質(zhì),啟發(fā)學(xué)生思考,再現(xiàn)函數(shù)概念的創(chuàng)造過(guò)程,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成?!庇纱?,教師在習(xí)題課的課堂教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)結(jié)合典型例題,創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)問(wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程中,層層推進(jìn),鞏固其對(duì)函數(shù)概念的正確理解與應(yīng)用。
在本節(jié)習(xí)題課中,問(wèn)題情境由3個(gè)典型例題組成的問(wèn)題鏈架構(gòu),其中例題1~2探索函數(shù)的概念與表示方法,例題3探究函數(shù)的概念應(yīng)用。在處理每一個(gè)例題時(shí),筆者步步設(shè)問(wèn),啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考辨析,層層深入,直至把問(wèn)題解決,在分析與處理問(wèn)題過(guò)程中,鞏固函數(shù)概念的理解與應(yīng)用。如在例題3中,問(wèn)題呈現(xiàn)后,筆者啟發(fā)學(xué)生通過(guò)函數(shù)定義,對(duì)兩個(gè)相同函數(shù)進(jìn)行辨析,進(jìn)一步探究變量與變量的配對(duì)法則,解析式只是一種表示方式,式的形不同,配對(duì)的法則不一定不同。隨后,在確定兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)之后,進(jìn)一步通過(guò)問(wèn)題的形式,引領(lǐng)學(xué)生再?gòu)膱D象法、列表法的角度進(jìn)行驗(yàn)證,熟悉函數(shù)的三種表示方法。通過(guò)變式訓(xùn)練,進(jìn)一步深化同學(xué)們對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的理解。筆者將教學(xué)片段呈現(xiàn)如下:
例題2:判斷下列兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù):f( x)=x( x∈{0 ,1}),g( x)=x2( x∈{0 ,1}),并說(shuō)明理由。
變式:若f( x)=x( x∈[0,1]),g( x)=x2(x∈[0,1]),則兩函數(shù)相同嗎?并說(shuō)明理由。
教師:兩個(gè)函數(shù)相同嗎?
學(xué)生1:不相同,因?yàn)閥=f(x)是一次函數(shù),y=g(x)是二次函數(shù)。
學(xué)生2:和同學(xué)1的觀點(diǎn)相同。
教師:請(qǐng)大家再回顧一下函數(shù)的定義,結(jié)合定義對(duì)比分析y=f(x)、y=g(x),再次判斷是否相同?
學(xué)生3:當(dāng)x=0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是0;當(dāng)x=1時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是1;所以它們是相同的函數(shù)。
教師:非常棒!請(qǐng)同學(xué)們?cè)佼?huà)出y=f(x)、y=g(x)的圖象,或者用列表形式表示,進(jìn)行觀察,來(lái)判斷是否是相同函數(shù)。
學(xué)生(全體):他們的圖象是相同的兩個(gè)點(diǎn),列表也是相同的。
教師:這驗(yàn)證了同學(xué)3的觀點(diǎn)是正確的。
教師:如果改變定義域,請(qǐng)看變式,這兩個(gè)函數(shù)還相同嗎?
高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)要從片面講授提升為全面發(fā)展學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念并應(yīng)用不是一件“輕而易舉”的事。本文以一節(jié)“函數(shù)的概念和表示方法”習(xí)題課為例,跳出傳統(tǒng)教學(xué)套路,設(shè)計(jì)典型例題,創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題辨析,不斷深入與探究,鞏固對(duì)函數(shù)概念的理解,提升運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,最終發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)。在這節(jié)課反饋環(huán)節(jié),當(dāng)聽(tīng)到學(xué)生說(shuō)“顧老師把函數(shù)的概念講得深入淺出,妙趣橫生,我真正理解了函數(shù)”時(shí),筆者倍感欣慰。
總的來(lái)說(shuō),在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師任重道遠(yuǎn),要敢于嘗試通過(guò)創(chuàng)設(shè)各種情境,引導(dǎo)學(xué)生多觀察,多思考,多探究,在辨析與解決問(wèn)題中,把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。