蔡玲
[摘? 要] 文章以“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)案例為背景,剖析在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,如何梳理“明線”,深入挖掘“暗線”,生成有效“問題串”,推動知識的自然生成和發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
[關(guān)鍵詞] 明線;暗線;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);問題串;數(shù)系擴充;復(fù)數(shù)概念
提出問題
著名數(shù)學(xué)家保羅·哈爾莫斯(P.R.halmos)曾言“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.數(shù)學(xué)教學(xué)是問題教學(xué),數(shù)學(xué)問題在精不在多.教師通過設(shè)置有層次性、系統(tǒng)性、挑戰(zhàn)性的主干問題形成有效“問題串”推動知識自然生成和發(fā)展,為學(xué)生的深度思考和思維發(fā)展提供時間和空間,是“問題解決式數(shù)學(xué)觀”的體現(xiàn).
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出,教師要“明晰數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性,引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程,實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展”[1]. 在每個教學(xué)單元中,教學(xué)內(nèi)容都有自己的“明線”和“暗線”,體現(xiàn)著教學(xué)的階段性、系統(tǒng)性和整體性. 教師要準(zhǔn)確梳理單元內(nèi)容的“明線”,深入挖掘教學(xué)素材的“暗線”,生成有效“問題串”,幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識,助力數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.
“明線”“暗線”的內(nèi)涵剖析
“明線”是師生閱讀教材就能夠明白的基本知識和方法,稍加梳理就可以明確每節(jié)課的明線是“提出問題—分析問題—解決問題—系統(tǒng)回顧”. “暗線”有兩種內(nèi)涵,一是指解決新問題時用到的思想方法,如化歸思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想;二是指研究新問題的路徑,例如研究函數(shù)問題采用的“抽象生活實例本質(zhì)屬性—定義—表示—圖象和性質(zhì)研究—應(yīng)用”. 章建躍主編曾言,教學(xué)內(nèi)容的安排是以“事實—方法—方法論—數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”為“暗線”,提議教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)研究的“基本套路”.把握“暗線”是實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力的實踐操作. 在清楚“明線”并深入挖掘“暗線”的過程中,教師才能引導(dǎo)學(xué)生“如何思考”“如何解決”,讓學(xué)生準(zhǔn)確把握和理解教學(xué)內(nèi)容,同時發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”的“明線”“暗線”及“問題串”
1. “數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”的“明線”和“暗線”
首先,需要梳理本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容(包括知識要素、數(shù)學(xué)思想要素、研究方法要素). 學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容前,在義務(wù)教育階段已經(jīng)經(jīng)歷了從自然數(shù)集到實數(shù)集的擴充過程,對數(shù)系的擴充有了一定的認識,知道數(shù)系擴充后,新的數(shù)系能夠解決在原有數(shù)系上無法解決的一些問題. 例如引進無理數(shù),把有理數(shù)集擴充到實數(shù)集后,就可以解決“解方程x2-2=0”這樣的問題了,因此遇到如x2+1=0這樣的方程求解的問題時,通過引導(dǎo)啟發(fā),學(xué)生能夠聯(lián)想到對現(xiàn)有實數(shù)集進行擴充,從而使方程x2+1=0有解. 學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中,多次利用過類比的方法研究數(shù)學(xué)問題,為這節(jié)課利用類比同樣的過程和方法將實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)集提供了可能.
學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的障礙,一是學(xué)生雖然經(jīng)歷過數(shù)系擴充的過程,但對擴充方法及規(guī)則的理解較淺;二是現(xiàn)實生活中沒有任何事物支持復(fù)數(shù),學(xué)生會懷疑引進復(fù)數(shù)的必要性;三是學(xué)生以前學(xué)習(xí)的都是單純的一個數(shù),復(fù)數(shù)的代數(shù)形式卻是兩項和的形式,學(xué)生理解起來會有困難.
由此確定本節(jié)課內(nèi)容的“明線”是明確復(fù)數(shù)的概念及表示、虛數(shù)和純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等的條件. “暗線”是通過數(shù)系擴充,歸納“規(guī)則”,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);通過實數(shù)集向復(fù)數(shù)集的擴充,讓學(xué)生體會類比思想方法,提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),并讓學(xué)生感受人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用. 對于新的概念,研究路徑通常是:通過具體實例抽象概括本質(zhì)特征—定義—表示—特殊量—特殊關(guān)系—應(yīng)用.
圖1展示的是學(xué)生已有經(jīng)驗和本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)關(guān)系:
2.“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”的“問題串”及設(shè)計意圖
問題1:(1)從方程的角度來看,負實數(shù)能不能開平方即方程x2+a=0(a>0)有沒有解,可以歸結(jié)為方程x2+1=0有沒有解. 想一想,這是為什么?
(2)我們知道,方程x2+1=0無實數(shù)解,聯(lián)系從自然數(shù)集向?qū)崝?shù)集擴充的過程,你能給出一種方法,適當(dāng)擴充實數(shù)集,使這個方程有解嗎?
設(shè)計意圖 將歷史上負數(shù)能否開平方的問題轉(zhuǎn)化為方程x2+1=0是否有解的問題,為后續(xù)從方程角度研究數(shù)系擴充做好鋪墊;同時讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問題都可以轉(zhuǎn)化和化歸為基本問題. 問題(2)點出了本節(jié)課研究的目標(biāo)、思路和方法.
問題2:我們把一個數(shù)集連同規(guī)定的運算及運算律叫做數(shù)系. 回顧從自然數(shù)集向?qū)崝?shù)集擴充的過程,每一次數(shù)系擴充的原因是什么?分別解決了什么實際問題和數(shù)學(xué)問題?請借助以下方程加以說明.
(1)x∈N,解方程x+2=0;
(2)x∈Z,解方程2x+3=0;
(3)x∈Q,解方程x2-2=0.
設(shè)計意圖 運用具體實例的回顧,梳理數(shù)系擴充史,引導(dǎo)學(xué)生抓住知識的“生長點”,理解數(shù)系擴充的社會需求和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要,為引進虛數(shù)單位埋下伏筆.
問題3:從上述解方程的過程可以看出,每一次數(shù)系擴充都是在原數(shù)集上添加“新數(shù)”. 請大家回憶一下,擴充后,原數(shù)系的加法運算和乘法運算(減法、除法運算可以轉(zhuǎn)化為加法、乘法運算)及運算律在新數(shù)系中協(xié)調(diào)一致嗎?由此你能歸納出數(shù)系擴充的“規(guī)則”嗎?
設(shè)計意圖 梳理數(shù)系擴充過程和方法,得出數(shù)系擴充的“規(guī)則”:引進“新數(shù)”,且加法、乘法運算不變.為后續(xù)實數(shù)集向復(fù)數(shù)集擴充提供方法依據(jù),從而突破本節(jié)課的教學(xué)難點.
問題4:(1)回到本節(jié)課開頭提出的問題,方程x2+1=0無實數(shù)解,類比從自然數(shù)集到實數(shù)集的數(shù)系擴充規(guī)則,你能想出讓該方程有解的方法嗎?
(2)引進一個什么樣的“新數(shù)”呢?
(3)虛數(shù)單位為什么是i,而不是其他字母呢?
(2)你能把上述列舉的所有“新數(shù)”用一個代數(shù)式表達出來嗎?
(3)如何寫出新的數(shù)集?
設(shè)計意圖 通過類比數(shù)系擴充規(guī)則,讓學(xué)生得出復(fù)數(shù)集中的具體復(fù)數(shù),再由特殊到一般,抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和集合表示. 讓學(xué)生經(jīng)歷、體會數(shù)學(xué)概念符號化、形式化的過程,讓學(xué)生順利接受復(fù)數(shù)表達式是兩項之和的形式,提升學(xué)生的抽象概括、邏輯推理素養(yǎng).
問題6:閱讀教科書,回答以下問題.
(1)復(fù)數(shù)的表示方法有哪些?
(2)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的實部是什么?虛部是什么?
(3)什么是虛數(shù)和純虛數(shù)?請舉例說明.
設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書,明確復(fù)數(shù)的基本概念和表示方法,培養(yǎng)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材的習(xí)慣和理解能力.
問題7:既然稱為復(fù)數(shù)集,其元素就必須滿足互異性,即要弄清復(fù)數(shù)相等的含義. 請根據(jù)你剛才閱讀的教科書內(nèi)容,回答下列問題.
(1)復(fù)數(shù)a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)的充要條件是什么?
(2)該充要條件和我們曾經(jīng)學(xué)過的哪些知識點類似?
(3)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為實數(shù)的條件是什么?a+bi=0的充要條件是什么?
設(shè)計意圖 問題(1)引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識聯(lián)系起來,達成知識的統(tǒng)一性和完整性,讓學(xué)生學(xué)會用類比的方法研究新問題. 問題(2)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)點和平面向量,為研究復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的三角形式奠定基礎(chǔ). 問題(3)通過專門研究“復(fù)數(shù)為實數(shù)”和“復(fù)數(shù)相等”這種特例,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注特殊元素、特殊關(guān)系,保證研究的完備性.
問題8:復(fù)數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關(guān)系?你能將復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)分類并用韋恩圖表示出來嗎?
設(shè)計意圖 加深學(xué)生對子集的認識. 用不同方式將復(fù)數(shù)集分類,深化學(xué)生對復(fù)數(shù)概念的理解.
問題9:(1)本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識?
(2)本節(jié)課你學(xué)到了研究新問題的哪些方法?
設(shè)計意圖 問題(1)旨在引導(dǎo)學(xué)生說出復(fù)數(shù)概念、表示、分類、相等這些“明線”知識. 問題(2)引導(dǎo)學(xué)生提煉歸納研究新問題的思想方法,如類比、從特殊到一般等.
反思與展望
有效“問題串”源于對知識“明線”的梳理,更來自對“暗線”的深入挖掘.理清“明線”相對容易,一般課堂都容易做到. 但只有挖掘出“暗線”才能加深學(xué)生對“明線”的理解,才能培養(yǎng)學(xué)生面對新問題的分析能力和解決能力,才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 挖掘“暗線”是教學(xué)重中之重,然而在實際教學(xué)中,該環(huán)節(jié)相對薄弱. 那么該如何挖掘“暗線”,讓問題有效且環(huán)環(huán)相扣、由淺入深地形成“問題串”呢?筆者認為需要做到“三個‘明確”“一個‘研讀”.
(1)明確“上位知識”和“下位知識”,即明確知識從哪里來、到哪里去. 例如本節(jié)課,“上位知識”是學(xué)生已有的數(shù)系擴充歷程,教師要做的是利用學(xué)生最近發(fā)展區(qū)讓學(xué)生明白“學(xué)什么、為什么學(xué)、怎么學(xué)、如何聯(lián)系”,進一步讓學(xué)生明確“學(xué)習(xí)方法、如何延伸”,并為接下來的復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的三角表示打下基礎(chǔ).
(2)明確研究方法和研究路徑,即明確新概念、新問題的研究用的方法是什么、路徑是什么. 例如研究函數(shù),采用的方法通常是從特殊到一般,路徑是“用具體生活做背景抽象概括—定義—表示—圖象和性質(zhì)—應(yīng)用”. 研究向量,路徑通常是“用物理知識做背景抽象概括—定義—表示—特殊元素—特殊關(guān)系—應(yīng)用”.而研究“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”,方法是類比,路徑是“從已有經(jīng)歷中抽象概括出本質(zhì)屬性—定義—表示—特殊復(fù)數(shù)(復(fù)數(shù)為實數(shù))—特殊關(guān)系(復(fù)數(shù)相等)—應(yīng)用”.
(3)明確數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo). 課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基地,教學(xué)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體.明確每節(jié)課的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目標(biāo)有助于挖掘“暗線”. 在“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”這節(jié)課中,主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力. 數(shù)學(xué)抽象源于對大量社會實踐問題本質(zhì)屬性的概括,這需要師生合作找出一定量的具體實例,再從具體實例中抽象概括出問題的本質(zhì)屬性. 師生通過對以往數(shù)系擴充的回顧、總結(jié)、抽象,以此類推得到實數(shù)集向復(fù)數(shù)集擴充的方法和規(guī)則,實現(xiàn)學(xué)生邏輯推理能力的形成.
(4)研讀教材、教師教學(xué)用書、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、期刊. 無論是“上位、下位知識”還是研究方法、研究路徑,以及要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),都可以在教材、教師教學(xué)用書、課程標(biāo)準(zhǔn)上找到. 甚至教材、教師教學(xué)用書等已經(jīng)幫大家設(shè)置了“大問題串”,對大多數(shù)章節(jié)起始課都給出了教學(xué)案例. 教師只要多研讀教材、教師教學(xué)用書、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),相關(guān)問題都能找到答案. 但教材、教師教學(xué)用書、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)更重視知識的歸納和總結(jié),屬于綱領(lǐng)性教學(xué)文件,如何把綱領(lǐng)性的東西找到載體落實,變成生動具體的實例,研究數(shù)學(xué)期刊就是很好的輔助手段. 在各種期刊上,對某一節(jié)課、某一個單元教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計,都有詳細的多角度、多視角的表達,并配有教學(xué)案例或教學(xué)片段. 教師通過收集整理閱讀相關(guān)論文,不僅能夠擴大教學(xué)視野,獲得教學(xué)經(jīng)驗和方法,還能夠加深對單元教學(xué)內(nèi)容的理解.
在教學(xué)過程中,堅持理清“明線”,深入挖掘“暗線”,兩手都要抓、兩手都要硬,必能不斷歸納提煉出共同的研究視角和共通的研究方法,設(shè)計出有的放矢的“問題串”,從而加強學(xué)生的過程體驗,通過科學(xué)探究,實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的目標(biāo).
參考文獻:
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