漢巍 李蕊彤

[摘要]本文根據(jù)當(dāng)前線性代數(shù)教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)的學(xué)習(xí)成績(jī)與學(xué)習(xí)狀況矛盾的現(xiàn)狀，在分析相關(guān)矛盾出現(xiàn)的原因及其后果的基礎(chǔ)上提出將向量的線性相關(guān)性一節(jié)作為解決矛盾現(xiàn)象的突破口，并從定理形式與所處學(xué)段中的易忽略性入手得出平面向量基本定理是解決相關(guān)教學(xué)問題的有效工具；在分析其有效性的基礎(chǔ)上，給出相關(guān)教學(xué)建議。

[關(guān)鍵詞]平面向量基本定理；線性代數(shù)；線性相關(guān)性

《線性代數(shù)》是高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理類、理工類各專業(yè)學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)和企業(yè)管理所必備的基礎(chǔ)知識(shí)和重要工具。同時(shí)，在當(dāng)前考研大熱的社會(huì)背景下，作為研究生入學(xué)考試的數(shù)學(xué)考試科目，無論是數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三還是在396經(jīng)濟(jì)類聯(lián)考綜合能力中都是必考的一門課程，其重要性不言而喻。

一、線性代數(shù)教學(xué)中的矛盾狀態(tài)及其原因

在《線性代數(shù)》的教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生表現(xiàn)出的狀態(tài)顯得十分矛盾，其表現(xiàn)有如下方面：

從學(xué)生的總體感受及考試成績(jī)來看，一方面，學(xué)生均認(rèn)為該門課程的學(xué)習(xí)難度在所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)類課程中是最簡(jiǎn)單的，其平均成績(jī)位于各門數(shù)學(xué)類課程中前一二位，能夠理解課程的內(nèi)容從而獲得較好的成績(jī)；而另一方面，如果關(guān)注試卷細(xì)節(jié)可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算難度偏低但內(nèi)容較為抽象的計(jì)算題和證明題得分率極低，即學(xué)生對(duì)于考核核心概念及相關(guān)關(guān)系的內(nèi)容理解不深甚至于無法理解。

從特定內(nèi)容來看，后期綜合類題型中有一類代表性題目-矩陣對(duì)角化類題目，該類型題目幾乎將線性代數(shù)中的所有計(jì)算方式方法均進(jìn)行了考察。從考察基本計(jì)算方法的角度而言，題目難度應(yīng)處于中等偏上的程度，但就答題狀況可見只要題目所給矩陣明確，那么其得分率基本在其分值的一半以上，有近一半的學(xué)生可以完整完成相關(guān)題目。即從細(xì)節(jié)看，難度較高的內(nèi)容，明確的問題，學(xué)生可以獲得了較高的成績(jī)；而在不給定具體向量而只給出向量關(guān)系的，進(jìn)而對(duì)向量的線性關(guān)系進(jìn)行判斷的選擇題解答中，學(xué)生的得分率卻無法達(dá)到一半。即從特定內(nèi)容可見，只要給定具體的對(duì)象，無論考察知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量多寡，學(xué)生均能給予較好的反饋；而一旦涉及抽象問題，學(xué)生就無法給出良好的結(jié)果。

上述種種看似矛盾的情況，究其原因在于：一方面，線性代數(shù)的各類問題均有一種成形的形式化的解題方法，可以在僅掌握前期所學(xué)的矩陣、行列式、向量等簡(jiǎn)單概念的情況下即可完成相關(guān)基礎(chǔ)題型的計(jì)算，學(xué)生可以不用充分理解知識(shí)與知識(shí)間的聯(lián)系的情況下解決線性代數(shù)中具體的問題、甚至是很復(fù)雜的問題；而另一方面，線性代數(shù)中綜合性計(jì)算的做法的底層基礎(chǔ)均建立在向量的線性相關(guān)性上，而向量線性相關(guān)性這一節(jié)內(nèi)容由于其抽象性的概念及定理表述往往在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中形成了學(xué)習(xí)障礙，又由于其概念和結(jié)論的基礎(chǔ)性作用，導(dǎo)致該部分內(nèi)容在后續(xù)學(xué)習(xí)過程中不斷被使用，進(jìn)而加重了學(xué)生對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)困難程度。過高的學(xué)習(xí)難度使部分學(xué)生不再關(guān)注課程知識(shí)體系的建構(gòu)，這就導(dǎo)致其無法處理考察核心概念和其之間聯(lián)系的抽象性題目；在為了保證期末獲得足夠分?jǐn)?shù)的情況下，學(xué)生自然選擇記憶形式化的計(jì)算方法，而舍棄解決向量相關(guān)性這一知識(shí)薄弱環(huán)節(jié)。在這兩方面的綜合作用下，就造成了上述教學(xué)中矛盾的情況。

二、相關(guān)矛盾情況所帶來的后果

從學(xué)生角度來看這種狀況，其表現(xiàn)出一種錯(cuò)覺，即學(xué)習(xí)一門課程可以不關(guān)注知識(shí)體系的建立和相關(guān)解決問題方法的底層理論基礎(chǔ)，只需要記憶形式化的解題過程即可在考試中獲得較高的分?jǐn)?shù)。而較高的分?jǐn)?shù)在學(xué)生的眼中意味著這門課程自己已經(jīng)有了較好的掌握，但是沒有理解相關(guān)底層理論基礎(chǔ)和未建立相關(guān)知識(shí)體系就無法理解一門課程，無法將其應(yīng)用到其他課程的學(xué)習(xí)中去和實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移應(yīng)用。任由這種錯(cuò)覺的蔓延將造成學(xué)生對(duì)于知識(shí)的學(xué)習(xí)僅關(guān)注于表面的形式化解題思路，而不是建立自己對(duì)于知識(shí)的理解形成自身的知識(shí)體系，這樣無法實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的應(yīng)用，更別說知識(shí)應(yīng)用后的創(chuàng)新，這無疑是一種對(duì)于人才的無效培養(yǎng)。

從教師角度來看，如果僅滿足于學(xué)生學(xué)會(huì)一些方法獲得足夠交代的成績(jī)的層次，那么這個(gè)教師就失去了傳道的最基本的要求，也就喪失了一名教師最基本的素質(zhì)，無疑是一名不稱職的教師。

三、解決相關(guān)問題的切入點(diǎn)——平面向量基本定理

改變上述狀況的最直接的辦法當(dāng)然是在考試中加大對(duì)底層知識(shí)和知識(shí)體系問題的考察。誠然，這樣做是可以倒逼學(xué)生關(guān)注底層知識(shí)的建構(gòu)，但作為考試而言，基本的計(jì)算方法是必須進(jìn)行考核的；從試卷對(duì)于知識(shí)的考核的全面性而言，基本計(jì)算方法的考核必不可少，且其分值占比也應(yīng)是占試卷總分一半以上的。因此，加大對(duì)底層知識(shí)和知識(shí)體系問題的考察的方法只是治標(biāo)不治本，未從根本上解決其本質(zhì)問題；對(duì)于線性代數(shù)這門課程而言，解決問題的核心就在于如何將向量的線性相關(guān)性一節(jié)，以讓學(xué)生能夠較為直接理解的方式呈現(xiàn)出來，將其轉(zhuǎn)化為學(xué)生學(xué)習(xí)的基石。

對(duì)于如何呈現(xiàn)該部分內(nèi)容，中學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的平面向量基本定理是一個(gè)非常合適的切入點(diǎn)。

（一）平面向量基本定理的內(nèi)容及與線性代數(shù)中向量相關(guān)性的關(guān)系

在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修四》（1）中平面向量基本定理的內(nèi)容為：

如果是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使。

這個(gè)定理在高中階段的作用僅在于平面向量可以沿著任意制定的方向分解，此定理為向量的坐標(biāo)提供了理論基礎(chǔ)。

而從線性代數(shù)的角度來看，其是一個(gè)將線性代數(shù)中向量的線性相關(guān)性若干概念集于一身的定理。從定理中的各個(gè)部分可見，首次作為討論對(duì)象的三個(gè)共面的向量，由于其共面的屬性，由于平面是二維的，則該三個(gè)向量也就均為二維向量。而根據(jù)線性代數(shù)的理論，向量個(gè)數(shù)一旦多于向量維數(shù)，則該組向量必然是線性相關(guān)的，因此三個(gè)向量一旦共面，則這三個(gè)向量線性相關(guān)。而對(duì)于定理中的兩個(gè)向量不共線的情況，則意味著一個(gè)向量不能寫成另一個(gè)向量的數(shù)乘形式，即一個(gè)向量不能被另一個(gè)向量線性表示，由線性代數(shù)中對(duì)于兩個(gè)向量線性關(guān)系的討論可知，可得這兩個(gè)向量線性無關(guān)。綜合上述內(nèi)容，定理的形式即可轉(zhuǎn)化為向量線性無關(guān)，向量線性相關(guān)，則向量可由向量線性表示，且表示方式唯一。由此可見，該定理從更直觀的角度給出了線性無關(guān)、線性相關(guān)，線性無關(guān)與線性相關(guān)之間的關(guān)系，其中不共線、共面的討論更可以為線性無關(guān)和線性相關(guān)的概念引入提供良好的背景及闡述平臺(tái)，定理的形式更是為后續(xù)討論基、坐標(biāo)、維數(shù)打下良好的基礎(chǔ)。

（二）平面向量基本定理適合作為切入點(diǎn)的原因

平面向量基本定理從線性代數(shù)的角度來看十分重要，但其在《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱及考試說明》（2）中的要求為“了解平面向量基本定理”，在《普通高中課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)》（3）中的要求為“理解平面向量基本定理的“理解平面向量基本定理及其意義”?？梢娫摱ɡ碓诟咧须A段的學(xué)習(xí)要求并不高，尤其是高考大綱中的“了解”就造成該定理在高考的整體環(huán)境中往往是一個(gè)被忽略的定理，在高考結(jié)束僅半年多的學(xué)生大多都無法回憶起這個(gè)定理。這種被忽視性正成為這個(gè)定理適合作為線性代數(shù)中作為線性相關(guān)性切入點(diǎn)的重要原因，究其原因有如下兩個(gè)方面：

1.該定理在高中階段是一種被高強(qiáng)度提及、使用的關(guān)鍵定理，雖然在教學(xué)中可以十分順利的借用其相關(guān)知識(shí)導(dǎo)出新概念，但由于原有定理深刻的印象會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中新概念的內(nèi)涵被限制在中學(xué)階段的認(rèn)識(shí)中，尤其是線性相關(guān)性這類抽象的概念更易造成這樣的情況，這樣就破壞了利用原有概念進(jìn)行拓展提升的教學(xué)初衷。而現(xiàn)有的情況是該定理在學(xué)生的知識(shí)體系中處于一種相對(duì)薄弱的地位，引出、并利用其進(jìn)行拓展的過程不會(huì)受到原有知識(shí)內(nèi)涵的影響，更易建立牢固的知識(shí)印象。

2.該定理在中學(xué)階段所起的作用更多的是體現(xiàn)在向量作為基底對(duì)其余向量進(jìn)行分解，進(jìn)而得出向量坐標(biāo)等方面。而這方面的內(nèi)容同將其作為切入點(diǎn)的線性相關(guān)性所討論的內(nèi)容并不直接相關(guān)，那么學(xué)生對(duì)該定理的模糊印象可以使其可以較為孤立的被提出，而不受其他方面的影響，更好地將利用該定理的形式展現(xiàn)我們所需要的線性相關(guān)性部分的內(nèi)容。

四、平面向量基本定理應(yīng)用于線性相關(guān)性的教學(xué)建議

雖然該定理易被忽視的屬性為我們的教學(xué)提供了一定的便利，但該定理的模糊印象也對(duì)教學(xué)有著一定的影響。如果在學(xué)生不加任何準(zhǔn)備的條件下直接將其引入并加以使用，多半只會(huì)將其看成一個(gè)全新的知識(shí)而不是已有知識(shí)的遷移與延展，從而無法達(dá)到設(shè)想的效果。因此，對(duì)如何將平面向量基本定理應(yīng)用于線性相關(guān)性，筆者有如下建議：

（一）提前展示，學(xué)生課后查找并展示自身認(rèn)識(shí)

鑒于學(xué)生對(duì)該定理的模糊印象，建議教師在講授完向量及其線性組合課后，將對(duì)該定理的回顧及與現(xiàn)有知識(shí)的結(jié)合以作業(yè)形式展示，即要求學(xué)生查找相關(guān)資料、回顧平面向量基本定理、并結(jié)合前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容在新的一節(jié)課中進(jìn)行小組展示；并在布置作業(yè)中強(qiáng)調(diào)要結(jié)合當(dāng)前所學(xué)，以避免展示中出現(xiàn)中學(xué)內(nèi)容的簡(jiǎn)單堆砌。這樣可以促進(jìn)學(xué)生提前將該定理納入到知識(shí)體系中，并初步將該定理形式化的轉(zhuǎn)換成線性代數(shù)中的內(nèi)容，以便后續(xù)進(jìn)行延展討論。

（二）適度設(shè)問，利用中學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化概念，適時(shí)拓展

在新的一節(jié)課由學(xué)生展示完相關(guān)認(rèn)識(shí)后，根據(jù)展示內(nèi)容的深淺通過設(shè)問的方式將其中核心的共線、共面等概念提出，并利用中學(xué)所學(xué)平面向量共線共面的內(nèi)容與前一節(jié)課所學(xué)知識(shí)對(duì)比引出線性無關(guān)、線性相關(guān)的本節(jié)核心概念。

（三）及時(shí)回顧，改造定理形式，拓展定理內(nèi)涵

在引出線性相關(guān)與線性無關(guān)概念并進(jìn)行進(jìn)一步闡釋后，建議將此定理再次進(jìn)行回顧，除利用共面、共線這樣形象化的內(nèi)容減弱相關(guān)概念的抽象性、緩解學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力外，還可以利用相關(guān)概念將其形式進(jìn)行拓展，轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)中的相關(guān)定理，進(jìn)而銜接引出線性相關(guān)性的其他定理。

（四）回顧定理原有作用，引導(dǎo)學(xué)生思考，引出后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容

在課程結(jié)尾，建議將學(xué)生分享內(nèi)容中該定理在中學(xué)階段的作用部分再次提出，結(jié)合當(dāng)前所學(xué)引導(dǎo)學(xué)生思考線性代數(shù)的內(nèi)容應(yīng)該如何繼續(xù)進(jìn)行，進(jìn)一步拓展該定理的深度，達(dá)到首尾呼應(yīng)的效果。

五、結(jié)語

在對(duì)線性代數(shù)教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)的矛盾現(xiàn)象進(jìn)行對(duì)比的情況下，本文分析了相關(guān)矛盾現(xiàn)象發(fā)生的深層次原因，認(rèn)為將向量的線性相關(guān)性以更易于學(xué)生理解的方式呈現(xiàn)出來是解決相關(guān)矛盾現(xiàn)象的有效手段。從平面向量定理的定理形式和中學(xué)階段該定理的易被忽略性入手論證了該定理是讓向量相關(guān)性一節(jié)更易于學(xué)生理解的有效途徑，并結(jié)合筆者的個(gè)人實(shí)踐給出了相關(guān)的教學(xué)建議，但由于在設(shè)計(jì)教學(xué)策略相對(duì)粗糙，對(duì)教學(xué)數(shù)據(jù)的收集相對(duì)單一，相關(guān)教學(xué)效果呈現(xiàn)不夠明顯，這也將是后期進(jìn)一步進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐與教學(xué)探討中努力的方向。

以上皆為筆者就平面向量基本定理這一工具推進(jìn)線性代數(shù)教學(xué)的一些拙見，希望能夠給予廣大教師一些啟發(fā)，共同提高線性代數(shù)的教學(xué)水平。

參考文獻(xiàn)：

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[2]教育部考試中心編著.普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱及考試說明[M].北京.高等教育出版社.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中課程方案和語文等學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)[S]（2017年版2020年修訂）. http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s8001/202006/t20200603_462199.html.2022-5-13.

基金項(xiàng)目：本文系甘肅省教育科學(xué)規(guī)劃2021年度“十四五”規(guī)劃課題，項(xiàng)目名稱：“基于學(xué)習(xí)過程中心理壓力變化的線性代數(shù)教學(xué)改革研究”（項(xiàng)目編號(hào)：GS[2021]GHB1941）。

作者簡(jiǎn)介：

漢?。?982.6 -），男，漢族，甘肅榆中人，碩士研究生，講師，研究方向：環(huán)與模范疇；

李蕊彤（1986.11-），女，漢族，廣東梅縣人，本科，二級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。