摘?要：本文旨在分析中職階段數(shù)學(xué)中一些Geogebra應(yīng)用教學(xué)案例，探究Geogebra在中職階段數(shù)學(xué)應(yīng)用中的特色及其優(yōu)勢，思考如何在中職學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)中更好地使用。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；Geogebra；教學(xué)案例；函數(shù)向量；立體幾何

本文重點(diǎn)探討的重點(diǎn)是Geogebra在中職階段應(yīng)用教學(xué)中的案例及其分析。與傳統(tǒng)的教學(xué)手段進(jìn)行對比，Geogebra軟件在代數(shù)和幾何上展現(xiàn)了強(qiáng)大的教學(xué)功能，在基礎(chǔ)教育中的教學(xué)中有很強(qiáng)的應(yīng)用能力。通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以直觀地了解數(shù)學(xué)知識，并且在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中激發(fā)中職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在Geogebra的幫助下，可以更有效率地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

1?中職數(shù)學(xué)教學(xué)常用軟件介紹

在目前的數(shù)學(xué)教育中，比較常見的數(shù)學(xué)輔助軟件有mathtype、幾何畫板、mathmatica。其中mathtype用在平時編輯數(shù)學(xué)符號，它缺乏幾何作圖能力，有著不小的弊端。幾何畫板可以進(jìn)行作圖功能，但是在計(jì)算代數(shù)上相對有所缺失。mathmatica功能與Geogebra有些相似，但是操作系統(tǒng)過于復(fù)雜。Geogebra另一個最大的優(yōu)勢就是軟件版權(quán)是免費(fèi)的。

2?Geogebra軟件介紹

Geogebra是一款結(jié)合代數(shù)、幾何和微積分的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，基于Geogebra軟件在代數(shù)和幾何上的強(qiáng)大功能，其在基礎(chǔ)教育的教學(xué)中有很強(qiáng)的應(yīng)用能力。

Geogebra軟件特點(diǎn)如下：

*可免費(fèi)用于學(xué)習(xí)、教學(xué)和考評。

*功能強(qiáng)大、使用簡單、交互性強(qiáng)。

*支持多種語言。

*以趣味的方式真正觀察和體驗(yàn)數(shù)學(xué)和科學(xué)。

*可適用于各種課程或項(xiàng)目。

*在世界上有數(shù)百萬人使用。

3?運(yùn)用Geogebra軟件教學(xué)案例

由于Geogebra軟件的優(yōu)勢，必然有了讓我們利用它上課的可能，這里我們提供一些本校老師在上課時，利用Geogebra軟件的一些案例。

3.1?數(shù)形的完美應(yīng)用——向量

Geogebra第三欄中專門有一“向量”圖標(biāo)，通過這一強(qiáng)大功能，為學(xué)生建立起向量的模型及其簡單應(yīng)用。

3.1.1?課本7.1平面向量的概念

Geogebra在本節(jié)課中的應(yīng)用：Geogebra第三欄中專門有一個“向量”圖標(biāo)，通過Geogebra，我們可以很簡單地用圖標(biāo)畫多條向量，并且進(jìn)行簡單的區(qū)分，不同的向量之間通過什么進(jìn)行區(qū)分？左圖中的向量都是不相同的向量，利用軟件的直觀性，可以相對簡單地體現(xiàn)向量的定義：有方向、有大小的量。通過度量向量長度展現(xiàn)向量的模。

隨后可以利用Geogebra軟件中的“向量”圖標(biāo)建立相等的量（圖1），再次體現(xiàn)向量的大小和方向，即引出相反向量。強(qiáng)調(diào)相等及相反向量的共同點(diǎn)——大?。＃┫嗤?。

在介紹平行向量和向量共線特點(diǎn)時，可以通過建立平行線，通過平移功能直觀體現(xiàn)出平行，在通過向量確定端點(diǎn)的前提下，拉動終點(diǎn)，進(jìn)行觀察向量特征，得出平行向量只和方向有關(guān)，和大小無關(guān)的特點(diǎn)。

Geogebra在本節(jié)課中的應(yīng)用思考：在向量概念一節(jié)課中，利用Geogebra充分體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，并且還有著信息化教學(xué)中的精準(zhǔn)，保證了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性的同時，方便學(xué)生形成向量概念，顯著提高了教學(xué)的效率。

3.1.2?課本7.2向量的線性運(yùn)算——加減運(yùn)算

Geogebra在本節(jié)課中的應(yīng)用：在向量的加法、減法運(yùn)算中，我們要區(qū)分平行向量和非平行向量。在我校休閑體育專業(yè)中，曾經(jīng)利用Geogebra演示了高爾夫比賽中的過程，體現(xiàn)了向量的加法特征的同時，彰顯出向量在休閑體育專業(yè)中的應(yīng)用。能夠理解向量運(yùn)算的本質(zhì)，引入合理擊球的概念、和向量——擊球點(diǎn)到球洞、加向量——第一次擊球和第二次擊球，通過用Geogebra可以很直觀描述出兩個向量的和運(yùn)算本質(zhì)，如圖1兩種情況：平行的和向量：u→+v→=w→，不平行的和向量：y=x-12。通過擊球建模向量配合Geogebra的圖像展示向量的和計(jì)算。

學(xué)生對于認(rèn)識圖形是一種直觀認(rèn)識，而同樣的圖形，我們可以通過不同對應(yīng)的變式引出減法的特征。如圖2和圖3，教師可以這樣提問，觀察左邊的圖形向量w（c）是正確的進(jìn)洞軌跡，向量u（a）是第一次擊球，問如何表示出第二次擊球向量v（b）。對于學(xué)生而言，向量v是很容易出現(xiàn)概念的，而可以很容易讓休體班的學(xué)生自己歸納出向量v是作為差向量出現(xiàn)的，v→=w→-u→/b→=c→-a→。在試著擦去另一個向量u（a），可以讓學(xué)生歸納出另一個向量關(guān)系。最后在總結(jié)和向量和差向量關(guān)系的時候，利用Geogebra很容易由v→+u→=w→推出另兩個v→=w→-u→和u→=w→-v→，得到被減向量和和向量之間關(guān)系。在建立了向量思維模型后，引入代數(shù)知識就相對比較簡單了，達(dá)到了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)變。

Geogebra在本節(jié)課中的應(yīng)用思考：向量加減的計(jì)算分為數(shù)的運(yùn)算和幾何意義。而難度較大的是幾何意義，而Geogebra可以方便形象地進(jìn)行教學(xué)和幫助學(xué)生建模，而在數(shù)的運(yùn)算和單位向量的求解上更是便捷和準(zhǔn)確。缺點(diǎn)就是利用了Geogebra后，運(yùn)算難度降低，學(xué)生在思維上會產(chǎn)生一定的惰性。

球員比賽的擊球路線，展示出擊球及其軌跡并利用Geogebra用向量模擬。

3.2?圖形中的美麗——立體幾何

可以這么說，立體幾何才是我們教師利用Geogebra的主場。本章節(jié)重難點(diǎn)是在認(rèn)識棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這些特征描述實(shí)際中簡單物體的結(jié)構(gòu)，從而使學(xué)生把學(xué)習(xí)的眼光從課堂延伸到更廣闊的生活實(shí)際中去?？梢岳肎eogebra完成圖形的建立，確定圖形的大致結(jié)構(gòu)尋找出對應(yīng)的立體幾何。在這里我們以我校陸老師在開設(shè)的一節(jié)三視圖學(xué)習(xí)的公開課作為案例進(jìn)行探討和分析，如圖4。

Geogebra在本節(jié)課中的應(yīng)用：美術(shù)設(shè)計(jì)班的同學(xué)在設(shè)計(jì)亭子時遇到了困擾，利用數(shù)學(xué)三視圖知識，結(jié)合Geogebra軟件進(jìn)行輔助指導(dǎo)完善學(xué)生作品。

在本節(jié)課中學(xué)生首先分組完成了通過收集亭子素材——素描亭子——Geogebra制作亭子，讓亭子能夠在電腦中具現(xiàn)出來。在這一過程中，學(xué)生在原有相對抽象的藝術(shù)形態(tài)素描里對亭子進(jìn)行了進(jìn)一步整理，在制作過程中雖然也有著很多不足，但是在互相幫助和指導(dǎo)中，學(xué)生明顯對自己設(shè)計(jì)的亭子有了更多的了解。

回顧設(shè)計(jì)要求，再通過改變?nèi)晥D的長、寬、高，利用Geogebra所作三觀圖一一對應(yīng)，確保設(shè)計(jì)合理和達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)。進(jìn)一步修改亭子中占地面積——俯視圖、可容納休憩的人數(shù)對應(yīng)椅子的坐寬——左視圖、亭子的合理高度——主視圖。學(xué)生的專業(yè)知識和問題充分結(jié)合了Geogebra的強(qiáng)大功能，利用數(shù)學(xué)知識處理實(shí)際問題。

Geogebra在本節(jié)課中的應(yīng)用思考：通過Geogebra展示改善了教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，在3D繪圖區(qū)，能夠把立體幾何圖形完整、360度無死角地體現(xiàn)出來，讓學(xué)生對于簡單組合體有了更加直觀的認(rèn)識，并且可以通過建模后，處理一些比較簡單的數(shù)學(xué)問題。

在整個立體幾何章節(jié)中，Geogebra完全可以大展拳腳。Geogebra在畫棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球及其簡單組合體方面有著其獨(dú)特性。首先，Geogebra在畫立體幾何圖形時，有著多元化的特征，可以通過做底面直接拉成一個棱柱，同樣也可以通過確定幾個點(diǎn)分別確定底面和高制作棱柱。在作圖過程中方法的多樣性，讓學(xué)生有多種選擇之余，可以進(jìn)一步了解圖形的結(jié)構(gòu)特征并反饋到作圖過程中。其次，Geogebra作圖能給學(xué)生和教學(xué)帶來無比的便捷性，與手繪作圖相比，速度有了明顯提高。最后，Geogebra作圖基于程序的特征有著百分之百的正確性。

3.3?數(shù)學(xué)的基石——函數(shù)

可能有人會很奇怪，為什么會把函數(shù)放在最后？因?yàn)楹瘮?shù)是數(shù)學(xué)的基石，沒有函數(shù)數(shù)學(xué)的骨架就沒了。一個合格的數(shù)學(xué)輔助教學(xué)軟件，函數(shù)可以說是必不可少的一部分，但是也是最能體現(xiàn)差距的一部分。讓我們來了解一下Geogebra在中職教學(xué)中的應(yīng)用。

Geogebra在課本3.3簡單冪函數(shù)這節(jié)課中的應(yīng)用：

本節(jié)課是在讓學(xué)生預(yù)習(xí)了冪函數(shù)定義的前提下進(jìn)行的，觀察冪函數(shù)y=xa（-5

最后利用Geogebra再簡單介紹y=x12、y=x-12的性質(zhì)，幫助學(xué)生做一個簡單補(bǔ)充。

課后作業(yè)要求每一個學(xué)生制作符合4種情況的Geogebra冪函數(shù)圖像。

Geogebra在本節(jié)課中的應(yīng)用思考：本節(jié)課，學(xué)生在繪制過程中利用Geogebra的快速呈現(xiàn)函數(shù)圖像并且易于操作的特點(diǎn)，讓學(xué)生在自己動手的前提下，充分感悟幾個簡單冪函數(shù)的性質(zhì)，并且加深理解。

在函數(shù)教學(xué)利用Geogebra進(jìn)行教學(xué)中，有如下幾點(diǎn)全面性。

3.3.1?內(nèi)容全面性

中職階段的函數(shù)簡單冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，初中階段的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)，都能夠在Geogebra上表示出來，通過軟件能夠簡單明了地體現(xiàn)出函數(shù)圖形和函數(shù)特征。Geogebra是學(xué)生構(gòu)建模型的最好方法。

其中冪函數(shù)是最多變的函數(shù)，在實(shí)際教學(xué)中，我們完全可以通過滑動條改變指數(shù)，體現(xiàn)出不同冪函數(shù)的特征，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和歸納。

3.3.2?性質(zhì)的全面性

在中職階段，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的基本性質(zhì)有定義域、最值、單調(diào)性、奇偶性和周期性。Geogebra通過讓函數(shù)在繪圖區(qū)的呈現(xiàn)，直觀給學(xué)生講解不同函數(shù)的不同性質(zhì)、特點(diǎn)，為學(xué)生總結(jié)規(guī)律，進(jìn)行建模，其中Geogebra極值更是一步到位，幫助學(xué)生找到對應(yīng)最值。在教授三角函數(shù)中，有著極大的教學(xué)價值。

3.3.3?應(yīng)用的全面性

在函數(shù)解答題中，學(xué)生最難的就是建立準(zhǔn)確的函數(shù)模型，而Geogebra的點(diǎn)集能夠很好地幫助觀察點(diǎn)的分布特點(diǎn)，思考對應(yīng)函數(shù)特征，形成自己的模型。而一些基本的題目用Geogebra更是一目了然地得到結(jié)果。

Geogebra是一個結(jié)合幾何、代數(shù)與微積分的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，在各個年齡層的教學(xué)中都有著極大的作用。職業(yè)教育中數(shù)學(xué)往往是學(xué)生們最感到無力的一門，但是通過Geogebra這種合理的信息化手段，把復(fù)雜變得簡單，把抽象變得具現(xiàn)，把死板變得生動。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：趙誼陽（1987—?），男，漢族，上海人，學(xué)士，中級，研究方向：中職數(shù)學(xué)教育信息化應(yīng)用。