［摘 ?要］ 通過分析教材發(fā)現(xiàn)，教科書在豎式計(jì)算所選擇的內(nèi)容與途徑時(shí)存有瑕疵。為此，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施時(shí)，通過橫式加法計(jì)算時(shí)使用的“拆分”與“湊十”技術(shù)，發(fā)現(xiàn)橫式加法具有由“個(gè)位上的數(shù)”與“個(gè)位上的數(shù)”相加，“十位上的數(shù)”與“十位上的數(shù)”相加的典型特點(diǎn)，這種特點(diǎn)的合理表征，就為學(xué)生將橫式加法轉(zhuǎn)化為豎式加法提供了現(xiàn)象上與思想上的準(zhǔn)備，據(jù)此啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生對豎式加法的認(rèn)識。

［關(guān)鍵詞］ 加法計(jì)算；豎式加法；教科書瑕疵；教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題的緣起

人教社編制的義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書將豎式計(jì)算加法教學(xué)內(nèi)容安排在二年級上（第3冊）“100以內(nèi)的加法和減法”這一節(jié)中，使用了普通生活中的一個(gè)情境，現(xiàn)將這一情境簡述為：二（1）班有35名學(xué)生去參觀博物館，由2名老師帶隊(duì)，問二（1）班的學(xué)生和本班的帶隊(duì)老師一共多少人？首先列出了加法的橫式35+2①；然后直接將這個(gè)橫式加法轉(zhuǎn)化為豎式加法（記為豎式②），計(jì)算途徑如下：

教科書提供的教學(xué)素材在于引導(dǎo)教師向?qū)W生一步一步解釋，幫助學(xué)生掌握從橫式①轉(zhuǎn)化為豎式②的技術(shù)，即在合適的位置上寫出被加數(shù)35，在35的個(gè)位數(shù)正下方寫出加數(shù)2，然后在加數(shù)2的同一行且在被加數(shù)的十位上的數(shù)3的前方寫出加號，在加號與加數(shù)的下方畫一條橫線（這條橫線相當(dāng)于橫式加法中的“等于”號），如此就將橫式所表述的加法①式，轉(zhuǎn)化為豎式加法②式。接著，教師指導(dǎo)學(xué)生依據(jù)豎式形式，先將處于上下位置上的個(gè)位數(shù)5與加數(shù)2相加得到個(gè)位數(shù)7，再將這個(gè)7寫在加數(shù)的縱列個(gè)位數(shù)與橫線的正下方，由于沒有進(jìn)位，故把被加數(shù)中的十位數(shù)寫在被加數(shù)的十位數(shù)3縱列與橫線的正下方，如此得到結(jié)果37。于是，將這個(gè)運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為橫式①的運(yùn)算結(jié)果35+2=37。

下一步，教科書呈現(xiàn)了一系列的橫式加法計(jì)算的題目，幫助教師指導(dǎo)學(xué)生將這些橫式計(jì)算途徑轉(zhuǎn)化為豎式計(jì)算途徑（其實(shí)是以豎式計(jì)算為工具的方式），促進(jìn)學(xué)生鞏固使用豎式計(jì)算的操作技能。接著，教科書又選擇了兩個(gè)數(shù)相加時(shí)個(gè)位數(shù)需要進(jìn)位的加法（例如，35+17=52③），要求學(xué)生采用豎式加法計(jì)算途徑（橫式③相對應(yīng)的豎式加法途徑記為④）。

筆者經(jīng)過現(xiàn)場模擬授課、調(diào)查與訪談等途徑，發(fā)現(xiàn)不少數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中利用上述的這種實(shí)際豎式計(jì)算活動(dòng)環(huán)節(jié)及其組成過程，在講解豎式計(jì)算后總結(jié)出兩個(gè)數(shù)的豎式加法途徑：（1）相同數(shù)位上下對齊（簡稱上下對齊）；（2）從個(gè)位數(shù)開始計(jì)算（簡稱先算個(gè)位）；（3）滿十向前進(jìn)一（簡稱滿十進(jìn)一）。最后，筆者告訴學(xué)生：具有這種加法前后相承三個(gè)環(huán)節(jié)特點(diǎn)的計(jì)算途徑，稱為豎式加法法則。

由于教科書（特別是人教社的）對于數(shù)學(xué)教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)具有強(qiáng)烈的示范作用，因此，普通教師大多數(shù)時(shí)候的施教，可能就是不加變更地執(zhí)行教科書安排的內(nèi)容線索，學(xué)生也就不得不依據(jù)教科書通過教師的安排展開學(xué)習(xí)活動(dòng)。在這種施教的情況下，通過仔細(xì)分析橫式計(jì)算式①到豎式計(jì)算式②的環(huán)節(jié)可以認(rèn)識到：其實(shí)，算式①與算式②之間沒有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。這就導(dǎo)致了學(xué)生只能通過接受的方式學(xué)習(xí)豎式加法法則。

因此，如果教師不具備二次開發(fā)教材的能力，只能亦步亦趨地沿著教科書設(shè)定的軌道行進(jìn)，那么學(xué)生也只能通過機(jī)械訓(xùn)練的途徑，來掌握豎式加法法則中的幾個(gè)具體環(huán)節(jié)。當(dāng)然遇到問題時(shí)采用這種豎式加法法則加以解決，也是可以達(dá)到目的的。使用這種教學(xué)途徑所得到的關(guān)于兩數(shù)加法的豎式計(jì)算，不就是將學(xué)生訓(xùn)練成某種意義上的加法計(jì)數(shù)器嗎？因?yàn)?，學(xué)生只知道依據(jù)豎式加法法則的程序執(zhí)行計(jì)算，就會比較間接地得到計(jì)算的結(jié)果，至于為什么這種豎式計(jì)算法則是有效的，其心理來源是什么？學(xué)生認(rèn)識不到。這種教學(xué)導(dǎo)致的結(jié)果是學(xué)生只知其然，不知其所以然。因此，這與當(dāng)代數(shù)學(xué)教育教學(xué)理念格格不入，是背道而馳的。

那么，關(guān)于豎式加法法則的建立，數(shù)學(xué)教師需要找到何種途徑進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施才能促進(jìn)學(xué)生既知其然，又知其所以然，從而發(fā)揮這個(gè)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)呢？這就需要教師通過仔細(xì)地分析教材，找到創(chuàng)新的方法設(shè)計(jì)建立豎式加法法則的課堂教學(xué)活動(dòng)。

二、建立豎式加法法則的創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)示例

筆者通過分析承載豎式加法計(jì)算知識點(diǎn)的人教社教材，發(fā)現(xiàn)在一年級下學(xué)期的“20以內(nèi)的加法”教學(xué)內(nèi)容中，學(xué)生已經(jīng)能從兩個(gè)加數(shù)中“拆分”較小的加數(shù)與較大的加數(shù)“湊十”，如此，形成了橫式進(jìn)位加法法則。這其實(shí)就是使用加法結(jié)合律與加法交換律，得到進(jìn)位加法的一種途徑。由此認(rèn)識到，在“100以內(nèi)的進(jìn)位加法”中所形成的豎式加法法則肯定源于這種“拆分”與“湊十”。這究竟是怎么回事呢？

透過具體的“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”例子來看建立橫式加法法則的“拆分”與“湊十”的途徑：例如，9+3=9+（1+2）=9+1+2=（9+1）+2=10+2=12⑤。算式⑤中的第一個(gè)等號將3拆成了（1+2）；第二個(gè)等號去掉（1+2）的括號，得到1+2，形成“拆分”；第三個(gè)等號是將9與1相加，加上括號形成（9+1），這就是“湊十”，形成第四個(gè)等號；最后一個(gè)等號是計(jì)算的自然結(jié)果。在這個(gè)過程中，這種加法的交換律與結(jié)合律是“拆分”與“湊十”的書面語言。因此，在心理的認(rèn)知出發(fā)點(diǎn)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了這種使用加法結(jié)合律與交換律工具進(jìn)行計(jì)算與解決問題的方法。

在“100以內(nèi)的進(jìn)位加法”中，筆者先以35+2為例加以說明：35+2=（30+5）+2=30+5+2=30+（5+2）=30+7=37⑥，如果從算式⑥的形式上考察，這就是將被加數(shù)35中的個(gè)位數(shù)上的數(shù)5與加數(shù)個(gè)位數(shù)上的數(shù)2相加，35中的十位上的數(shù)不變，即35+2=30+（5+2）⑦，構(gòu)成了計(jì)算結(jié)果35；再以35+17為例，35+17=（30+5）+（10+7）=30+5+10+7=30+10+5+7=（30+10）+（5+7）=40+12=40+10+2=（40+10）+2=52⑧。如果從算式⑧的形式上考察，從中認(rèn)識到，35+17=（30+10）+（5+7）⑨。

從教材分析的這些結(jié)果中，得到了算式⑦與算式⑨。以這些運(yùn)算過程與結(jié)論為基礎(chǔ)，下面實(shí)錄筆者關(guān)于“100以內(nèi)的進(jìn)位加法”的教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施中的后述部分的關(guān)鍵環(huán)節(jié)：

師：對于計(jì)算題35+2，通過橫式計(jì)算途徑，可以得到35+2=30+（5+2）⑦；對于計(jì)算題35+17，通過橫式計(jì)算途徑，可以得到35+17=（30+10）+（5+7）⑨。仔細(xì)觀察算式⑦與算式⑨，你可以用一種新的途徑對這兩道題進(jìn)行計(jì)算嗎？

生：……（省略號表示學(xué)生思維的暫時(shí)中斷，下同）

師：我們在一年級時(shí)所做的加減法，都是采用這種橫式方式與途徑。大家仔細(xì)觀察算式⑦與算式⑨，可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)算式具有共同點(diǎn)嗎？

生1：觀察算式⑦與算式⑨，我發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)就是分別將個(gè)位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)相加，十位上的數(shù)與十位上的數(shù)相加。

師：很好。在生1發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)相加的這種特點(diǎn)后，你能創(chuàng)造出除了這種橫式加法途徑以外的其他加法途徑，從而繞過算式⑥與算式⑧，以提高加法計(jì)算的效率嗎？

注：雖然只是二年級上學(xué)期的學(xué)生，但是由于在一年級的整個(gè)一學(xué)年里，總是使用橫式進(jìn)行兩個(gè)數(shù)的加減計(jì)算，如此形成了學(xué)生思維的消極定式，即在關(guān)于兩個(gè)數(shù)進(jìn)行加減計(jì)算時(shí)，認(rèn)為除了橫式這種途徑以外，就不再具有其他途徑了。這就是為什么在啟發(fā)學(xué)生從橫式計(jì)算途徑過渡到豎式計(jì)算途徑中所存在的心理疑難的原因。因此，筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，選擇了算式⑦與算式⑨，鼓勵(lì)學(xué)生得出“分別采用個(gè)位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)相加，十位上的數(shù)與十位上的數(shù)相加，這樣的橫式計(jì)算有些不方便”的結(jié)論。據(jù)此促使學(xué)生創(chuàng)造出使用豎式計(jì)算途徑進(jìn)行進(jìn)位加法。這是筆者這節(jié)課最為重要的教學(xué)目標(biāo)，前述的一切工作都是為實(shí)現(xiàn)這項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)所做的鋪墊。

生2：以35+17=（30+10）+（5+7）⑨為例，算式⑨中是將十位上的數(shù)與十位上的數(shù)相加，個(gè)位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)相加。可惜的是，35中的30與17中的10相加，其中間隔了35中的5，同樣，35中的5與17中的7相加，其中又間隔了17中的1（代表10），使計(jì)算不再直接……

師：那么，如何去掉生2所發(fā)現(xiàn)的這種加法計(jì)算時(shí)的數(shù)與數(shù)之間的間隔呢？

生3：如果將35寫在上面，17寫在35的下面，然后將35中的個(gè)位上的數(shù)5與17的個(gè)位上的數(shù)7上下對齊，將35中的十位上的數(shù)3與17中的十位上的數(shù)1上下對齊，即（記為豎式⑩——筆者，下同），這樣就可以將5與7相加，3與1相加，從而去掉了中間所間隔的那些數(shù)了。

注：生3的這種想法確實(shí)是一種高層次的創(chuàng)造，其源于消去生2所發(fā)現(xiàn)的橫式加法計(jì)算中的兩個(gè)相同數(shù)位上的數(shù)相加時(shí)的間隔。但是，與橫式35+17=52相比較，豎式⑩中既沒有加號，又沒有等號，難以表達(dá)具體的兩數(shù)加法的意義。因此，完善數(shù)式⑩成了學(xué)生思維的新動(dòng)力。

師：⑩式不能很好地表示具體運(yùn)算的意義與過程，這很可惜。怎么辦？

生4：給豎式⑩添上加號：（記為{11}式）。但等號加不上去，答案可以擺在這兩個(gè)數(shù)的下方……

師：不錯(cuò)的想法。實(shí)際上，歷史上的數(shù)學(xué)家很早就選擇了這樣的表示途徑：（這就是上述所記的算式④）。那么，這種計(jì)算需要注意什么？

生5：個(gè)位上的數(shù)5加上7得12，這里12又要分成10+2，其中的10與兩個(gè)十位數(shù)上的數(shù)3（代表30）和1（代表10）相加，得到5，個(gè)位上的數(shù)為2，因此得到結(jié)論52。豎式④中的那條長的橫線，可以看作等號。

注：這種教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施，就是為了不完全依據(jù)教科書所呈現(xiàn)的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，而想方設(shè)法啟發(fā)學(xué)生利用加法結(jié)合律與交換律所得到的橫式計(jì)算途徑，轉(zhuǎn)化為豎式計(jì)算途徑。依據(jù)個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)分別相加的特點(diǎn)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷從橫式計(jì)算轉(zhuǎn)化為豎式計(jì)算的過程，從而幫助他們突破消極的思維定式，形成思維的創(chuàng)造性，進(jìn)而發(fā)揮這個(gè)知識點(diǎn)的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生需要從⑧式過渡到⑩式，⑩式過渡到{11}式，{11}式過渡到④式，這樣一步一個(gè)腳印地走過來，由此將橫式加法現(xiàn)實(shí)地、具體地轉(zhuǎn)化為豎式加法。

從橫式加法轉(zhuǎn)化為豎式加法，看上去只不過是將數(shù)據(jù)的方位重新進(jìn)行排列，但是對于剛剛進(jìn)入二年級的學(xué)生來說，這是很難實(shí)現(xiàn)的一項(xiàng)重大事件，教師在這個(gè)關(guān)鍵性節(jié)點(diǎn)上要想方設(shè)法地幫助學(xué)生。絕大多數(shù)教師對于數(shù)學(xué)教科書或多或少地具有依賴性，因此，在利用教科書教學(xué)時(shí)，教師一定要依據(jù)知識特點(diǎn)對教材進(jìn)行二度開發(fā)，采取合作探究的模式啟發(fā)學(xué)生自己萌生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的認(rèn)識，而不是直接把知識告知學(xué)生，以免造成不良的教學(xué)后果。

三、簡要結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的一項(xiàng)非常重要的目標(biāo)，就是要設(shè)法啟發(fā)學(xué)生針對具體數(shù)學(xué)知識信息的特點(diǎn)，萌生出具體的數(shù)學(xué)思想觀念，再在這種思想觀念指令的支配下，形成具體可操作的數(shù)學(xué)方法，從而從心理上發(fā)生數(shù)學(xué)知識認(rèn)識［１］。這就需要教師認(rèn)真地進(jìn)行教材分析，吸收其精華，改進(jìn)其瑕疵，例如，關(guān)于“100以內(nèi)的進(jìn)位加法”的豎式計(jì)算途徑，教科書只是將這種途徑原原本本地奉獻(xiàn)于學(xué)生，而不是啟發(fā)學(xué)生自己萌生出這種思想，這便極大地?fù)p傷了它的教學(xué)價(jià)值，對此，教師需要思之再思，慎之又慎。總而言之，教師應(yīng)將這種知識直接奉獻(xiàn)于學(xué)生的教學(xué)途徑，改造成啟發(fā)學(xué)生自己去創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)知識的教學(xué)途徑。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 張昆. 整合數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置問題的取向——透過“觀念性問題”與“技術(shù)性問題”的視點(diǎn)［Ｊ］. 中小學(xué)教師培訓(xùn)，２０１９（０６）：５３－５６.