陳國(guó)祥

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)理性思維的發(fā)展是提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的基礎(chǔ)，理性思維水平體現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維的靈活性、目標(biāo)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性等數(shù)學(xué)品質(zhì). 初中數(shù)學(xué)教學(xué)要以培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、提升學(xué)生的思維品質(zhì)為目標(biāo). 文章提出，通過一題多解的習(xí)題訓(xùn)練，比較不同的解題思路，優(yōu)化解題方法，能提升學(xué)生的思維能力.

［關(guān)鍵詞］ 一題多解；解題方法；理性思維；思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是思維能力的培養(yǎng). 學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識(shí)，來提升思維能力，培養(yǎng)思維品質(zhì).一題多解的試題訓(xùn)練，不僅能鍛煉學(xué)生思維的靈活性，還能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

本文選取了通過典型試題引導(dǎo)學(xué)生嘗試多種解法的教學(xué)實(shí)踐，與各位同行分享，供大家分析和研究.

呈現(xiàn)典型試題

如圖1所示，⊙O為△ABC的外接圓，∠CAB=30°，∠CBA=45°，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D. 若⊙O的半徑為2，求CD的長(zhǎng).

本題融合了圓與特殊直角三角形的相關(guān)知識(shí)，雖然比較簡(jiǎn)單，但蘊(yùn)含的知識(shí)豐富，解題方法多樣，是一道非常典型的一題多解試題，具有研究和探討的價(jià)值. 教學(xué)時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生開展問題探究，通過不同解法的比較，探討和優(yōu)化解題方法，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔思維，提升思維能力，培養(yǎng)思維品質(zhì)，落實(shí)核心素養(yǎng).

探討多種解法

解法1? 如圖2所示，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接AE，則可得∠E=∠B=45°. 因?yàn)镃E是⊙O的直徑，所以∠CAE=90°. 又⊙O的半徑為2，所以AC=2. 因?yàn)椤螩AB=30°，CD⊥AB，所以CD=AC=.

解法說明? 解法1通過作輔助線，得到⊙O的一條直徑（即CE），并構(gòu)造了等腰直角三角形（即△CAE），于是運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)和圓的知識(shí)獲得了試題的答案.

解法2? 如圖3所示，連接CO并延長(zhǎng)，與⊙O相交于點(diǎn)E，連接BE，則∠E=∠A=30°. 因?yàn)镃E為⊙O的直徑，所以∠CBE=90°. 所以BC=CE=2. 因?yàn)镃D⊥AB，∠CBD=45°，所以CD=BC=.

解法說明? 解法2的解題思路與解法1相同，都是通過構(gòu)造直角三角形來解題. 解法2通過作輔助線，構(gòu)造了含30°角的直角三角形，從而求得BC的長(zhǎng)，接著在等腰直角三角形CDB中求得CD的長(zhǎng).

解法3? 如圖4所示，連接OA，OC，則∠AOC=2∠B=90°. 又因?yàn)镺A=OC=2，所以AC=2. 因?yàn)镃D⊥AB，∠CAD=30°，所以CD=AC=.

解法說明? 解法3通過連接OA，OC，構(gòu)造了等腰三角形AOC，并利用相同的弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，得到△AOC為等腰直角三角形，最后結(jié)合題干條件求解. 解法3同樣是添加輔助線，但與解法1和解法2相比，涉及的知識(shí)點(diǎn)更少，因此解題步驟更簡(jiǎn)捷.

解法4? 如圖5所示，連接OC，OB，則∠COB=2∠A=60°. 又OC=OB，所以△OCB為等邊三角形. 所以O(shè)C=BC=2. 因?yàn)镃D⊥AB，∠CBD=45°，所以CD=BC=.

解法說明? 解法4與解法3的思路和方法相同，但解法4利用學(xué)生最為熟悉的等邊三角形知識(shí)，且直接應(yīng)用了原題中的等腰直角三角形，因此解法4比解法3更加簡(jiǎn)捷.

合作探究

引導(dǎo)學(xué)生探究出多種解題方法并不是教學(xué)的終點(diǎn)，教師還要在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生將試題的不同解法進(jìn)行比較與研究，指導(dǎo)學(xué)生在尋求最優(yōu)解法的實(shí)踐體驗(yàn)過程中實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階，從一題多解過渡到一題優(yōu)解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

師：請(qǐng)大家以小組為單位，結(jié)合表1比較這四種解法的區(qū)別和聯(lián)系.

第一小組：解法1和解法2具有相同的解題思路，都是通過添加輔助線構(gòu)造直徑，從而形成特殊的直角三角形后求解.

第二小組：解法3和解法4的解題思路是相同的，都是連半徑，形成特殊的三角形后求解.

第三小組：解法4在構(gòu)造三角形時(shí)選擇了等邊三角形，于是可以直接利用題干中已知的圓的半徑得到BC的長(zhǎng)度為2，進(jìn)而通過原題中的等腰直角三角形BDC獲得答案.

師：大家分析得非常好，經(jīng)過比較，我們發(fā)現(xiàn)解法4的解題過程最為簡(jiǎn)捷，屬于最優(yōu)解法.

教學(xué)啟示

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)進(jìn)行探索和理解. 學(xué)會(huì)解決數(shù)學(xué)問題并不等同于解數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的本源問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，使學(xué)生能夠從知識(shí)的源頭深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，不僅知其然，更知其所以然.

1. 開展解題反思，比較不同解法

解題練習(xí)不僅要關(guān)注如何獲得解題思路和答案，還要在解題后進(jìn)行反思，回顧解題的過程，思考解題過程中那些煩冗復(fù)雜的部分能否變得更加簡(jiǎn)單，并嘗試將較為復(fù)雜的部分變得更為簡(jiǎn)捷，試著通過直接的觀察就知道整個(gè)解題過程. 在學(xué)生獨(dú)立思考求解和開展多種解題方法交流的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧獲取解題思路的過程，梳理解題過程中添加的輔助線，并且總結(jié)在解題過程中運(yùn)用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而有效地比較不同解題方法之間的本質(zhì)區(qū)別. 這一過程旨在培養(yǎng)學(xué)生的深度思維，提升學(xué)生的思維能力.

2. 加強(qiáng)思維鍛煉，引導(dǎo)探究學(xué)習(xí)

教師要引導(dǎo)學(xué)生開展自主探究活動(dòng)，按照學(xué)生的認(rèn)知水平將學(xué)生分成若干研究小組，指導(dǎo)學(xué)生從不同的角度圍繞學(xué)習(xí)任務(wù)展開探究，并進(jìn)行研究成果的交流和展示. 教師還要在學(xué)生合作探究的過程中進(jìn)行指導(dǎo)，使學(xué)生能夠有條理地對(duì)數(shù)學(xué)問題展開研究和分析，學(xué)會(huì)從不同的視角理解試題，掌握如何進(jìn)行不同解法的比較，明晰不同解法之間的優(yōu)劣，從而為學(xué)生開展進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 研究任務(wù)的創(chuàng)建為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自主學(xué)習(xí)和交流學(xué)習(xí)的平臺(tái)，營(yíng)造了輕松愉悅的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生在合作探究中培養(yǎng)了思維品質(zhì)，提升了合作能力.

3. 開展深度學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式

隨著課程改革的進(jìn)行，數(shù)學(xué)試題不僅關(guān)注知識(shí)的考查，還關(guān)注問題的創(chuàng)新，它們以學(xué)生的思維品質(zhì)為考查目標(biāo)，突出考查學(xué)生思維的靈活性、深刻性和批判性. 因此，教師要主動(dòng)改革與創(chuàng)新教學(xué)方式，擺脫單純的題海戰(zhàn)術(shù)、機(jī)械練習(xí)的教學(xué)方式，通過一題多解，引導(dǎo)學(xué)生開展合作學(xué)習(xí)，探討最優(yōu)解法，學(xué)會(huì)比較不同的解題方法，鍛煉學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生進(jìn)行深度思考和深度學(xué)習(xí). 本例中，教師引導(dǎo)學(xué)生合作探究，使他們?cè)诮涣髦斜虐l(fā)出思維的火花，出現(xiàn)不同的解法，并讓他們?cè)谙嗷ヌ接懼械玫絾l(fā)，發(fā)現(xiàn)不同解題思路之間的相同之處，從而抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生，使思維真正參與其中.