劉夢(mèng)哲

摘要：以美英早期85種幾何教科書為研究對(duì)象，考察二面角在數(shù)學(xué)內(nèi)部和數(shù)學(xué)外部的應(yīng)用，對(duì)其演變過程進(jìn)行分析、歸納和總結(jié)，并給出教學(xué)啟示.

關(guān)鍵詞：美英早期幾何教科書；二面角的應(yīng)用；演變過程；教學(xué)啟示

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，并且在社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮越來越大的作用，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到現(xiàn)代社會(huì)及人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€(gè)方面.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).［1］可以說，數(shù)學(xué)應(yīng)用能力已然成為基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容和目的.

二面角是立體幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，它是空間圖形中突出的量化指標(biāo)，是空間圖形位置關(guān)系的具體體現(xiàn)［2］.二面角及其平面角之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了平面幾何與立體幾何之間的橋梁，對(duì)于學(xué)生后續(xù)探索柱、錐、臺(tái)等基本立體圖形的面面關(guān)系起到了十分重要的作用.事實(shí)上，二面角在數(shù)學(xué)內(nèi)部及外部都有著廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)內(nèi)部中，二面角及其平面角的定義不僅用于證明點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，還使得平面角中的諸多性質(zhì)在二面角中同樣適用，而在現(xiàn)實(shí)生活中，二面角常被應(yīng)用于工程、建筑及測(cè)量等領(lǐng)域，為人們的生產(chǎn)生活帶來了極大的便利.

已有教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師多關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部的計(jì)算問題，即計(jì)算簡(jiǎn)單幾何體中兩平面的夾角［3-4］.事實(shí)上，數(shù)學(xué)應(yīng)用不等于數(shù)學(xué)解題，更重要的是將其與日常生活中的許多問題建立聯(lián)系.鑒于此，本文對(duì)19—20世紀(jì)美英幾何教科書進(jìn)行考察，試圖尋找有關(guān)二面角應(yīng)用的素材，為教師教學(xué)提供有益參考.

1早期教科書的選取

本文選取1819—1958年間出版的85種美英早期幾何教科書作為研究對(duì)象，以20年為一個(gè)時(shí)間段進(jìn)行劃分，其出版時(shí)間分布情況如圖1所示.其中，對(duì)于同一作者再版的教科書，若內(nèi)容無顯著變化，則選取最早的版本，若內(nèi)容有顯著變化，則將其視為不同的教科書.

關(guān)于二面角應(yīng)用的內(nèi)容大多直接出現(xiàn)在二面角及其平面角的定義之后，早期教科書中涉及數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用多是以命題的方式進(jìn)行呈現(xiàn)，而涉及實(shí)際生活中的應(yīng)用多來自“空間中的直線和平面”“平面角和多面角”等章節(jié)的練習(xí)題中.

2數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用

二面角及其平面角的定義不僅簡(jiǎn)化了空間中面面關(guān)系的證明和計(jì)算，同時(shí)也將平面角的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)一步推廣延伸到二面角中.美英早期幾何教科書中關(guān)于二面角在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用問題可以分為面面垂直問題、距離問題、性質(zhì)類問題和其它問題四類.

2.1面面垂直問題

例1證明命題“如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則任意一個(gè)過這條直線的平面都垂直于另一平面.”［5］如圖2，已知直線AB垂直于平面MN，則任意一個(gè)過直線AB的平面都垂直于平面MN.

設(shè)平面PQ過直線AB，且與平面MN交于直線CD.在面MN中作AE⊥CD，又因?yàn)锳B⊥CD，所以∠BAE是二面角N-CD-Q的平面角.又因?yàn)锳B⊥AE，所以面PQ⊥面MN.

例2證明命題“如果兩平面互相垂直，一條直線位于一個(gè)平面中且垂直于兩平面的交線，則這條直線與另一個(gè)平面垂直.”［6］如圖3，若面PQ⊥面MN且兩平面交于直線DQ，直線AB面PQ內(nèi)且AB⊥DQ，則AB⊥面MN.

過點(diǎn)B在平面MN內(nèi)作BC⊥DQ，因?yàn)锳B⊥DQ，所以∠ABC是二面角P-DQ-N的平面角，因?yàn)槊鍼Q⊥面MN，于是∠ABC=90°.由AB⊥DQ及AB⊥BC，則AB⊥面MN.

2.2距離問題

例3證明命題“二面角平分面上任意一點(diǎn)到兩平面的距離相等.”［7］如圖4，假設(shè)點(diǎn)P是二面角C-AB-D的平分面AM上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面AC、BD的距離相等.

過點(diǎn)P作PE⊥面AC、PF⊥面BD，垂足為E、F.通過PE和PF作一平面交面AC于直線OE、交面BD于直線OF，于是AB⊥面PEF.因?yàn)锳B⊥OE、AB⊥OP及AB⊥OF，則∠EOP、∠POF分別為二面角C-AB-M、M-AB-D的平面角.又因?yàn)椤螮OP=∠POF、∠PEO=∠PFO=90°及OP為公共邊，所以△PEO≌△PFO，則PE=PF.

例4基于例3，如果PF=EF，則二面角C-AB-D的度數(shù)是多少；如果PF=OF，則二面角C-AB-D的度數(shù)又是多少.［8］

如圖4，因?yàn)镻F=EF，則PF=PE=EF，由△PEF是等邊三角形，于是∠EPF=60°，則∠EOF=120°，即二面角C-AB-D的度數(shù)是120°.因?yàn)镻F=OF，則△PFO是等腰直角三角形，故∠POF=45°，于是∠EOF=2∠POF=90°，即二面角C-AB-D的度數(shù)是90°.

2.3性質(zhì)類問題

因?yàn)槎娼堑亩葦?shù)等于其平面角的度數(shù)，因此，許多平面上角的性質(zhì)對(duì)于二面角同樣適用.表1給出了二面角的許多性質(zhì).對(duì)于表1中二面角的性質(zhì)，將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的平面角即可完成證明，由此也出現(xiàn)了一系列的計(jì)算問題.

若兩平面相交，則對(duì)頂二面角相等.［6］

例5兩個(gè)平行平面MN和PQ被第三個(gè)平面RS所截，使得其中一個(gè)二面角的度數(shù)為27°15′30″，請(qǐng)尋找其它二面角的度數(shù).［11］

例6指出圖5中的相鄰二面角、對(duì)頂二面角以及兩個(gè)互補(bǔ)的二面角.［12］

2.4其他問題

例7是否存在一條直線KL，使得KL垂直于二面角O-AM-N的兩平面.［13］

如圖6，過點(diǎn)K在平面OM中作KA⊥AM，過點(diǎn)L在平面MN中作LA⊥AM，于是∠KAL是二面角O-AM-N的平面角.如果KL⊥面MN、KL⊥面MO，則在△AKL中有兩個(gè)直角，這顯然與事實(shí)不符，所以不存在一條直線同時(shí)垂直于二面角的兩平面.

例8證明命題“從二面角內(nèi)任何一點(diǎn)作兩平面的垂線，兩條垂線所夾的角等于這個(gè)二面角的補(bǔ)角.”［14］如圖7，過二面角M-NB-Q內(nèi)一點(diǎn)P，作PE⊥面MN、PF⊥面NQ，垂足分別為E、F.由例3中的證明可知AE⊥NB、AF⊥NB，則∠EAF為二面角M-NB-Q的平面角.在四邊形PEAF中，因?yàn)椤螾EA=∠PFA=90°，而四邊形內(nèi)角和為360°，所以∠EAF+∠EPF=180°.

3生活中的應(yīng)用

二面角的概念在實(shí)際生活中有諸多的應(yīng)用，其不僅能與日常生活中許多常見的事物建立起聯(lián)系，還在工程、建筑等領(lǐng)域有著即為廣泛的應(yīng)用.在85種幾何教科書中，涉及二面角在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用問題包括定義類問題、建筑問題、工程問題、操作問題四類.

3.1定義類問題

套上實(shí)際生活的外衣，本質(zhì)上依然運(yùn)用二面角及其平面角的定義，可以在許多二面角的實(shí)物中找到其平面角.

例9表明打開書頁之間的二面角是通過兩頁上相對(duì)文字線之間的平面角進(jìn)行測(cè)量.［12］

例10說明一扇門打開時(shí)，所經(jīng)過的二面角是通過門底邊緣運(yùn)動(dòng)時(shí)所經(jīng)過的平面角來測(cè)量的.［12］

例11如圖8，在旋轉(zhuǎn)門中找出①直二面角、②鄰接二面角、③互補(bǔ)二面角、④垂直于兩相交平面的第三個(gè)平面、⑤三個(gè)平面的公共點(diǎn)，其中每個(gè)平面都與另外兩個(gè)平面相交.［15］

3.2建筑問題

例12屋頂長(zhǎng)為60英寸、寬為40英寸且與水平方向成45°角，如果太陽直射屋頂，找出屋頂陰影在地面上的區(qū)域.［5］

如圖9（a），因?yàn)樘栔鄙湮蓓?，所以屋頂陰影的長(zhǎng)與屋頂相同，仍然是60英寸.對(duì)于屋頂陰影的寬，圖9（b）是屋頂?shù)臋M截面，延長(zhǎng)CB交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF∥ED，交CD于點(diǎn)F.因?yàn)椤螩ED=∠CBF=45°及CB=40，所以BF=AD=20√2，于是屋頂陰影在地面上的區(qū)域是一個(gè)長(zhǎng)為60英寸，寬為20√2英寸的矩形.

例13凸窗的相鄰兩面所夾二面角的度數(shù)是多少，凸窗由三個(gè)相等的直立平面部分組成，它們的底部包含一個(gè)正八邊形的三個(gè)邊.［12］因?yàn)橥勾暗臋M截面是一個(gè)包含三條邊的正八邊形，而正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角均為135°，因此凸窗相鄰兩面的二面角度數(shù)是135°.

3.3工程問題

例14如果給一根鉛垂線和木工方尺，如何確定地板水平？如果給一個(gè)水平尺或水平儀，又如何確定地板水平.［16-17］使用鉛垂線可以用來檢驗(yàn)平面與水平面垂直，當(dāng)墻壁與水平面垂直后，運(yùn)用木工方尺的一邊緊貼墻壁，其直角緊貼墻壁和地板的棱，若木工方尺的另一邊能緊貼地板，由例1的結(jié)論可知地板水平.若利用水平尺或水平儀，觀察水平儀兩次則可以確定地板是否水平，此時(shí)水平儀擺放的位置不平行.

例15木匠如何通過斜角規(guī)和量角器來確定房間相鄰兩面墻的度數(shù).［18］利用二面角的平面角的定義用鐵絲貼緊墻面，鐵絲折成的角度等于房間相鄰兩面墻的度數(shù).

3.4操作問題

例16將一張厚紙或硬紙板按圖中所示的方式切割和折疊，制作一個(gè)測(cè)量二面角的儀器（圖10）.

例17如圖11，有一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊，如果將鐵絲像ABC那樣繞長(zhǎng)方體的棱彎曲，使得∠ABC=90°，則會(huì)以何種方式彎曲鐵絲；如果繞邊緣傾斜地彎曲一根鐵絲，例如DEF，可以將它彎曲到什么角度；如果將鐵絲傾斜彎曲，就像GHI，可以將它彎曲到什么角度.

與之相類似的問題還包括：如果過二面角棱上任意一點(diǎn)在兩平面內(nèi)作直線，則兩直線所成平面角的度數(shù)可以從0到兩個(gè)直角，請(qǐng)使用房間墻壁的角落或盒子的棱予以解釋.

4二面角應(yīng)用的演變

以20年為一個(gè)時(shí)間段，圖12給出了二面角應(yīng)用的時(shí)間段分布情況.由圖看出，二面角在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用一直被教科書編者所青睞，在1819年開始的140年中，超過半數(shù)的教科書均有所涉及.與此同時(shí)，19世紀(jì)中葉以后，有越來越多的教科書不僅包含二面角在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，還會(huì)加入其在實(shí)際生活方面的應(yīng)用.

19世紀(jì)末20世紀(jì)初，隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，由于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)課程已不能適應(yīng)科學(xué)和生活需要，也不能適應(yīng)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，于是“克萊因—貝利運(yùn)動(dòng)”悄然興起.英國(guó)數(shù)學(xué)家貝利提出“數(shù)學(xué)教育應(yīng)該面向大眾”“數(shù)學(xué)教育必須重視應(yīng)用”的改革指導(dǎo)思想；德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的意義、內(nèi)容、教材、方法等，必須緊跟時(shí)代步伐，結(jié)合近代數(shù)學(xué)和教育學(xué)的新進(jìn)展，不斷進(jìn)行改革，他提出的改革方針是：順應(yīng)學(xué)生心理發(fā)展的規(guī)律，選取和排列教材；融合數(shù)學(xué)各分科，密切數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系；不過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的形式訓(xùn)練，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)實(shí)用方面，以便充分發(fā)展學(xué)生對(duì)自然和社會(huì)的各種現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察的能力；以函數(shù)概念和直觀幾何作為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心.

此后，在1908年12月，美國(guó)數(shù)學(xué)和國(guó)家科學(xué)教師聯(lián)合會(huì)批準(zhǔn)任命一個(gè)由15人組成的國(guó)家委員會(huì)（以下簡(jiǎn)稱“十五人委員會(huì)”）負(fù)責(zé)幾何教學(xué)大綱的修訂.在十五人委員會(huì)關(guān)于幾何大綱的最終報(bào)告中指出：立體幾何扮演著越來越重要的角色，其為實(shí)際測(cè)量提供了一個(gè)相當(dāng)廣泛的領(lǐng)域.因此，十五人委員會(huì)將學(xué)習(xí)立體幾何的目標(biāo)總結(jié)為：強(qiáng)調(diào)并延續(xù)平面幾何的價(jià)值；提出立體幾何在測(cè)量領(lǐng)域的合理應(yīng)用范圍；培養(yǎng)空間想象能力.在這兩次數(shù)學(xué)教育改革的推動(dòng)下，數(shù)學(xué)課程逐步轉(zhuǎn)向注重?cái)?shù)學(xué)的實(shí)用性和生活性，由此，20世紀(jì)以來，越來越多的幾何教科書編者會(huì)在教科書中加入關(guān)于二面角在實(shí)際生活中應(yīng)用的內(nèi)容.

5結(jié)論與啟示

綜上所述，歷史上出現(xiàn)了二面角的諸多應(yīng)用，其既可以用于幾何證明、計(jì)算二面角度數(shù)等數(shù)學(xué)問題之中，又可以用于測(cè)量墻體的垂直度、計(jì)算相鄰墻體夾角等生活問題之中，這些素材為今日二面角應(yīng)用的教學(xué)提供了諸多啟示.

第一，以“境”培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.興趣是最好的老師，也是學(xué)生各種創(chuàng)造力、求知欲的原動(dòng)力.應(yīng)試教育讓許多學(xué)生覺得數(shù)學(xué)是索然無味的，而新課改背景的數(shù)學(xué)教學(xué)則要極力改變這一現(xiàn)狀.從二面角應(yīng)用的教學(xué)來看，應(yīng)用不能僅僅停留在簡(jiǎn)單幾何體的計(jì)算之上，而應(yīng)以學(xué)生周圍的事物為載體，例如門窗、電腦開合等，并伴隨動(dòng)手操作，這樣才可以稱得上一種“有效應(yīng)用”.學(xué)生涉境體味，在親身經(jīng)歷中不僅加深了對(duì)于二面角及其平面角概念的理解和記憶，更重要的是學(xué)生成為了學(xué)習(xí)的主人，提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)的興趣.

第二，以“觀”培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).想要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，首先則應(yīng)加強(qiáng)教師的應(yīng)用意識(shí).在日常生活中，教師應(yīng)努力成為一名細(xì)心的“觀察者”，于是教師將會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)和生活中的諸多問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，把數(shù)學(xué)和周圍的世界緊密聯(lián)系在一起，將賦予數(shù)學(xué)新的內(nèi)涵和使命.與此同時(shí)，教師也要引導(dǎo)學(xué)生善于觀察，鼓勵(lì)學(xué)生提出問題并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.因此，教師可以給學(xué)生布置“尋找身邊的二面角并進(jìn)行測(cè)量”等問題，這樣做不僅給予學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間，還有助于讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

第三，以“做”加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.學(xué)數(shù)學(xué)就是為了用數(shù)學(xué)，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的，而學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)正是在解決一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題中得以發(fā)展和提高.這就要求我們的課堂更加注重理論聯(lián)系實(shí)際，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)操作活動(dòng).因此，教師可以給學(xué)生設(shè)置數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的情景，比如讓學(xué)生以小組為單位，分別測(cè)量門、窗、墻壁之間的夾角，學(xué)生之間集思廣益，將二面角及其平面角的定義運(yùn)用于實(shí)際測(cè)量，在整個(gè)活動(dòng)中不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

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