戴鍇寧 陳碧芬

【摘 要】 ??“關(guān)系映射反演原則”（簡稱RMI原則）是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其實質(zhì)是“矛盾轉(zhuǎn)移法”.在新課程背景下，對RMI原則進行教育價值的重新挖掘，發(fā)現(xiàn)在應(yīng)用RMI原則的過程中可以培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系的眼光、辯證思維能力和創(chuàng)造性思維品質(zhì)，潛移默化地落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，并用例子解析如何實現(xiàn)這些教育價值.

【關(guān)鍵詞】 ?新課程；RMI原則；教育價值；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

1 ??問題提出

新課程背景下，教育聚焦于人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng).教育要為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件，使學(xué)生終身受益.數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)是促進學(xué)生思維的發(fā)展[1].數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)下的教學(xué)不僅關(guān)注具體數(shù)學(xué)知識的傳授，還關(guān)注滲透數(shù)學(xué)思想方法以幫助學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”.而數(shù)學(xué)的思維方式承載了獨特的數(shù)學(xué)學(xué)科育人價值，是可教、可學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).因此，可立足“數(shù)學(xué)思維”教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)思維教學(xué)應(yīng)當(dāng)分兩個不同階段，即從“學(xué)會數(shù)學(xué)思維”走向“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維”，努力提升學(xué)生思維品質(zhì)[2].第一步“學(xué)會數(shù)學(xué)思維”，在本文指RMI原則.第二步“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維”，即跳出了專業(yè)的范圍從更大的視角上看待數(shù)學(xué)教育的價值.那么，RMI原則的教育價值有哪些？如何實現(xiàn)這些價值呢？

2 ??RMI原則教育價值

關(guān)系（Relationship）映射（Mapping）反演（Inversion）原則是由中國學(xué)者徐利治教授于1983年首先提出的.這一方法已被發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中有著十分廣泛和重要的應(yīng)用；如果從數(shù)學(xué)思想方法角度去進行分析，我們又可以提出更為一般的化歸原則.通常把彼此之間具有確定的數(shù)學(xué)關(guān)系的數(shù)學(xué)對象的集合稱為關(guān)系結(jié)構(gòu).明確的對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)中被稱為映射[3].映射是實現(xiàn)由未知到已知化歸的一個重要手段.由于在應(yīng)用映射法解決問題過程中，有關(guān)的映射在相反的方向上又得到了應(yīng)用，即首先用原來的問題去引出新的問題，后來又用相應(yīng)的解答去引出所尋求的原來的解答.因此，有必要對相反方向上的映射重新區(qū)分為逆映射，即反演，同時求解新問題的解需要選擇合適的“數(shù)學(xué)手續(xù)”，這一過程稱為定映.最后有必要說明，在求解復(fù)雜問題時，可能需要多步的RMI程序.綜上所述，我們可以用框圖1的形式總結(jié)如下：

若跳出了數(shù)學(xué)專業(yè)領(lǐng)域看待RMI原則，其實質(zhì)是“矛盾轉(zhuǎn)移法”，即培養(yǎng)了學(xué)生辯證思維品質(zhì)和解決問題的能力.學(xué)生通過經(jīng)驗的積累，使思維的變通性、靈活性得到提升，明白事物存在普遍聯(lián)系.RMI原則正是基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的聯(lián)系，用“聯(lián)系”的眼光構(gòu)造合適的映射和定映方法，從而建立對應(yīng)的橋梁.2.1 有助于形成聯(lián)系的觀點

“聯(lián)系”是數(shù)學(xué)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)化的主要特征.數(shù)學(xué)內(nèi)部之間、數(shù)學(xué)與外部世界都存在普遍聯(lián)系.因此，教師在教學(xué)時要啟發(fā)學(xué)生用聯(lián)系的眼光思考，促進其在更加廣闊的思維空間中思考，通過類比、推廣、特殊化等方式解決問題.從RMI原則的應(yīng)用過程看，有特殊與一般的聯(lián)系、靜與動的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系等，是“聯(lián)系”實現(xiàn)了映射和反演.因為RMI原則中的“映射”是可逆映射，可定映映射.例如，解析方法可以用于處理平面幾何和立體幾何問題；通過對數(shù)映射，我們可把乘、除、開方等復(fù)雜的運算轉(zhuǎn)化為加、減、乘、除等簡單的運算；函數(shù)、方程、不等式可以相互轉(zhuǎn)化和化歸.這些基本思想方法都符合RMI原則.從這個意義上看待“RMI”的教育價值即實現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)方式育人”，體悟到普適性的數(shù)學(xué)思想方法.

2.2 有助于提升學(xué)生辯證思維

辯證思維能力是科學(xué)思維能力的集中體現(xiàn).學(xué)生辯證思維發(fā)展的不足，不僅影響看問題的全面性，而且也會影響人生觀和世界觀的形成.RMI原則的實質(zhì)是“矛盾轉(zhuǎn)移法”，其應(yīng)用范圍絕不限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域.而矛盾的觀點是唯物辯證法的根本觀點，矛盾分析法是唯物辯證法的根本方法[4].RMI原則不僅可以用于得出肯定性解答，還可用以得出否定性解答，從矛盾中發(fā)現(xiàn)問題、尋找聯(lián)系，以新視角化解矛盾才能獲得內(nèi)心平靜.例如，在轉(zhuǎn)化與化歸的過程中，懂得辯證分析，即將動點問題特殊化變?yōu)槎c進行求解，或者尋找變化中不變的量.因此，RMI原則的教育價值對加強辯證思維能力，對學(xué)生形成科學(xué)的人生觀和價值觀具有重要意義.2.3 有助于提升學(xué)生創(chuàng)造性思維教育必須超越知識.知識當(dāng)然重要，但是知識不是教育的全部內(nèi)容[5].數(shù)學(xué)教育指向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)的思維.從RMI原則的應(yīng)用過程看，創(chuàng)造性思維不僅體現(xiàn)在靈活地選擇“映射”工具上，也蘊含在定映過程的目標映象求解過程中.學(xué)生能靈活地選擇映射工具和數(shù)學(xué)手續(xù)，先漂亮地轉(zhuǎn)化問題，再更好地求解問題.例如：學(xué)生在解題時能準確地定位中學(xué)常見的函數(shù)法、向量法、參數(shù)法等來解決問題.另外，面對實際問題能用數(shù)學(xué)抽象通過構(gòu)造函數(shù)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，創(chuàng)造性地解決了現(xiàn)實的問題.同時，在定映過程中，能熟練地進行邏輯推理計算，展現(xiàn)清晰簡潔的思路.可以看出，學(xué)生尋求“映射橋梁”轉(zhuǎn)化問題、巧妙地求解問題的過程，體現(xiàn)了思維的靈活、變通特點，也是創(chuàng)造性思維的動力.因此，RMI原則指導(dǎo)下的教學(xué)可以提升學(xué)生創(chuàng)造性思維品質(zhì).2.4 有助于落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向標.核心素養(yǎng)之所以是“高級素養(yǎng)”，還有兩個原因，核心素養(yǎng)是跨學(xué)科的，高于學(xué)科知識; 核心素養(yǎng)是綜合性的，是對于知識、能力、態(tài)度的綜合與超越[6].RMI原則指導(dǎo)下的轉(zhuǎn)化和化歸過程中落實了“三會”，同時，在不同知識領(lǐng)域應(yīng)用RMI原則，對于六大核心素養(yǎng)的側(cè)重也不同.

例如：在探究活動領(lǐng)域培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的過程中，首先，應(yīng)用RMI原則對現(xiàn)實問題進行抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)眼光”，完成映射；其次，通過數(shù)學(xué)手續(xù)分析求解數(shù)學(xué)問題的解，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)思維”，完成定映；最后，通過將求得的數(shù)學(xué)問題的解轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實問題的解，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)語言”，完成反演. 在以上過程中，蘊含了數(shù)學(xué)育人的方式，發(fā)揮了數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，“數(shù)學(xué)建模”的核心素養(yǎng)就潛移默化、潤物無聲地得到了落實.

3 ??案例解析

為了更好說明如何實現(xiàn)RMI原則的教育價值，本文將圍繞2018年浙江省高考數(shù)學(xué)第8題進行案例解析.

例題 ?已知四棱錐 S-ABCD 的底面是正方形， 側(cè)棱長均相等，E 是線段 AB 上的點（不含端點）， 設(shè) SE 與 BC 所成的角為 θ1，SE 與平面 ABCD 所成 的角為 θ2，二面角 S-AB-C 的平面角為 θ3，則（ ?）.

A．θ1≤ θ2≤θ3 ??B．θ3≤ θ2≤θ1

C．θ1≤θ3≤θ2 ??D. θ2≤θ3≤θ1

3.1 理清目標原象，尋找映射實現(xiàn)聯(lián)系，完成轉(zhuǎn)化

解法1 ?解析幾何——建立函數(shù)模型（如圖2）

師：本題中四棱錐是動態(tài)的，對每一個給定的四棱錐，棱AB 上的點E也是動態(tài)的，對于動態(tài)的量我們最先想到是借助什么工具來描述呢？生：建立空間直角坐標系.

師：很好.這就是我們應(yīng)用RMI原則進行解題時做的第一步，即分析題目中的已知條件的關(guān)系，尋找可以實現(xiàn)映射的工具.

師生活動：如圖建立直角坐標系，設(shè)底面正方形邊長為2a，四棱錐高為b，點E（a，t，0），其中-a

cosθ1= |SE ·BC | |SE |·|BC | = a ???a2+b2+t2 ?，

cosθ2= |SE ·OE | |SE |·|OE | = ???a2+t2 ????a2+b2+t2 ?，

cosθ3= |SE ·OE0 | |SE |·|OE0 | = a ???a2+b2 ?.

解法2 ?極限思想——化動為靜（如圖3）

師：如果對于動態(tài)問題把握不好， 是否可以充分利用選擇題的特點，化動態(tài)為靜態(tài)呢？

生：可以嘗試特殊化點E的坐標，特殊化正四棱錐的大小.

師生活動：將正四棱錐特殊為所有棱長均相等的正四棱錐，將點 E 無限接近于端點 A.

解法3 ?化繁為簡——降維（如圖4）

師生活動：回憶空間角概念，所有空間角最后都降維成線線角，因此只要在正四棱錐內(nèi)作出 θ1，θ2，θ3即可.記E0為棱 AB 的中點，頂點S在底面的射影為 O（易知O為底面正方形的中心） ，過點O作OO1∥AB，過點 E 作 EO1∥E0O，則 易證EO1⊥SO1． 聯(lián)結(jié) SE，SE0可得∠SEO1=θ1，∠SEO=θ2， ∠SE0O=θ3 分析 ?理清題目中目標原象的特點是利用RMI原則進行解題的首要步驟.教師需要幫助學(xué)生梳理已知條件和回憶相關(guān)的知識，尋找構(gòu)建映射的方法，并介紹常用的“映射工具”，如參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法等等.解法1、解法2和解法3選擇不同的映射方法，建立了知識的聯(lián)系.與此同時，不同映射工具的選取和定映求解的實現(xiàn)，體現(xiàn)了學(xué)生思維的靈活和變通特點.教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考，激活創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生“求異”的眼光.其中解法2的極限思想對于學(xué)生思維訓(xùn)練價值更大，突出靈活和變通特點.同時，本題也有利于學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.2 分析映象結(jié)構(gòu)，尋找演算工具，靈活推理，完成定映師：將原來的問題進行轉(zhuǎn)化后，就需要對目標映象進行求解，那用什么方法比較好呢？生：解法1直接進行代數(shù)化簡即可；解法2假設(shè)當(dāng)點E無限接近端點A時求解；解法3可以利用正切值來比較空間角的大小即可.師生活動： 解法1 ?化簡比較結(jié)果

易得cosθ1≤cosθ3，又cos2θ2=1- a2 a2+b2+t2 ，cos2θ3=1- b2 a2+b2 ，所以cosθ3≤cosθ2，故cosθ1≤cosθ3≤cosθ2.

解法2 ?點E無限接近于端點A，cosθ1→ 1 2 ，cosθ2→ ???2 ?2 ，cosθ3= ???3 ?3 .

解法3 ?tanθ1= SO1 EO1 = SO1 E0O ≥ SO E0O =tanθ3，又tanθ3= SO E0O ≥ SO EO =tanθ2.

分析 ??實現(xiàn)關(guān)系結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化之后，接下來需要求解映象結(jié)構(gòu)中的解.求解過程即為定映過程.實現(xiàn)定映需要學(xué)生掌握一系列的“數(shù)學(xué)手續(xù)”.凡是由數(shù)值計算、代數(shù)計算、解析計算、邏輯演算以及數(shù)學(xué)論證等步驟構(gòu)成的形式過程都稱之為“數(shù)學(xué)手續(xù)”[3]. 教師對于學(xué)生基本知識和基本技能的考查和訓(xùn)練是有必要的.解法2采用了化動態(tài)為靜態(tài)，體現(xiàn)了辯證思維特點和矛盾轉(zhuǎn)移的方法.解法1，2，3都通過不同的 “數(shù)學(xué)手續(xù)”恰當(dāng)?shù)乇硎境隽撕瘮?shù)值的大小，其過程突出了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).3.3 反演回歸目標原象檢驗結(jié)果，注意思維嚴密性師：得出函數(shù)值后，需要做什么？

生：再次檢查題目中要求的量與當(dāng)前求得的解是否一致.師生活動：

解法1：由cosθ1≤cosθ3≤cosθ2，即θ2≤θ3≤θ1.

解法2：由cosθ1= 1 2 ，cosθ2= ???2 ?2 ，cosθ3= ???3 ?3 ，即θ2≤θ3≤θ1

解法3：由tanθ1≥tanθ3≥tanθ2，即θ2≤θ3≤θ1.

師：很好.這也就是要反演回原來的題目，檢查目標原象的解的正確性.最后，我們嘗試運用RMI原則來表示三種解法的程序框架圖： ???解法1 ?如圖5所示：

解法2 ?如圖6所示：

解法3 ?如圖7所示：

分析 ?思維的邏輯性與嚴密性是理性思維的兩個基本特征.因此，教師應(yīng)該注重學(xué)生良好的習(xí)慣，在求出目標映象的解之后，我們不能忘記要反演回歸原問題的解，并檢驗結(jié)果的合理性.尤其在數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實模型時，應(yīng)該允許一定的誤差.學(xué)生思維培養(yǎng)不是“無源之水，無本之木”，它是“接地氣”的.回顧整個理解RMI原則解決問題過程，它要求學(xué)生有良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，并通過具體教與學(xué)過程來支撐.解法1，2，3都需要學(xué)生有聯(lián)系的眼光和辯證轉(zhuǎn)化 的思維.解法2的極限思想相對較難，但對學(xué)生思維的訓(xùn)練和創(chuàng)造性品質(zhì)的培養(yǎng)有相對的價值.

總之，新課程背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)要克服重教書輕育人的傾向，強調(diào)關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科思想、數(shù)學(xué)思維方式的教學(xué).RMI原則立足數(shù)學(xué)本身的學(xué)科特點，蘊藏了普遍的教育價值和廣闊的發(fā)展空間.本文只體現(xiàn)了其在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的“冰山一角”.就教學(xué)工作而言，只有注意數(shù)學(xué)思想方法的分析，才能將數(shù)學(xué)知識“講活”“講懂”“講深”.數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)教育學(xué)都不是封閉的體系，都會隨著時代發(fā)展而發(fā)展.站在新時代，作為教育工作者應(yīng)面向未來，加強自我革新，努力積極實踐，那么RMI原則下的教學(xué)必將結(jié)出更多的碩果.

參考文獻

［1］ ?鄭毓信.從“教學(xué)教育的基本目標”談起——中學(xué)視角下的“數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵”（2）［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2021（21）：3-5.

［2］ ?鄭毓信.數(shù)學(xué)思維教學(xué)的“兩階段理論”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（01）：1-6.

［3］ ??鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論［M］.南寧：廣西教育出版社，1991：87.

［4］ ?彭壽清.習(xí)近平新時代中國特色社會主義教育思想的哲學(xué)基礎(chǔ)［J］.西南大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2018，44（01）：12-21.

［5］ ?錢穎一.批判性思維與創(chuàng)造性思維教育：理念與實踐［J］.清華大學(xué)教育研究，2018，39（04）：1-16.

［6］ ?褚宏啟.核心素養(yǎng)的概念與本質(zhì)［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2016，34（01）：1-3.

作者簡介 ?戴鍇寧（1997—），女，浙江金華人，碩士研究生；主要研究學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）.

陳碧芬（1979—），女，浙江奉化人，副教授，碩士生導(dǎo)師；主要研究數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.