李方　楊沛娟

一、試題呈現(xiàn)及分析

（2021年全國(guó)新高考第22題）已知函數(shù)f（x）=x（1－lnx）.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna－alnb=a－b，證明：2<1a+1b

分析：（1） 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.

（2）將題中的等式進(jìn)行恒等變換，設(shè)1a=x1，1b=x2，原不等式等價(jià)于2

二、試題解答

第（1）小題解法如下：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．由f（x）=x（1－lnx）得f′（x）=－lnx，當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f′（x）>0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）<0．故f（x）在區(qū)間（0，1］內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間［1，+∞）內(nèi)為減函數(shù).

評(píng)注：解法5用到的是構(gòu)造函數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于x1+x2－e<0的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.