李道選

摘 要：從情境問題入手，運用GeoGebra動態(tài)地、可視化地探究解析幾何中的一類定點問題.實現(xiàn)學(xué)生動手，主動發(fā)現(xiàn)情境問題中的定點，歸納猜想結(jié)論，并加以證明和運用.通過動態(tài)的、可視化的探究活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，進而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：動態(tài)可視化;核心素養(yǎng);GeoGebra;定點問題

1 提出問題

問題是數(shù)學(xué)探究的出發(fā)點，沒有典型問題設(shè)計的課堂就沒有活躍的思維，學(xué)生帶著問題進行探究是建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的有效手段.在探究過程中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念和原理的形成過程，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體.

問題只是探究的起點，要使探究過程綻放思維的火花，還必須要有精彩的探究過程.精彩的探究過程離不開可視化的探究手段，所謂數(shù)學(xué)可視化是指應(yīng)用豐富多樣的視覺表征手段，以形象直觀的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象，幫助學(xué)習(xí)者更好地理解數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、建構(gòu)數(shù)學(xué)［1］.通過信息技術(shù)，用形象的圖形、圖象、動畫等，把抽象的概念、推理、原理或過程，直觀形象、具體生動地呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者［2］，是實現(xiàn)精彩探究過程的有效手段.

在高中數(shù)學(xué)解析幾何板塊中，“定點”問題具有很強的綜合性，通過此問題的探究，可以有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時這樣的探究也具有較強的育人價值.在高考命題中，由于“定點”問題的綜合性，以此為背景的試題往往具有較強的區(qū)分度，符合高考的選才功能.不論是從學(xué)習(xí)的角度，還是高考的角度，探究“定點”問題都是有價值的.

解析幾何中的“定點”問題主要研究幾何元素的運動規(guī)律以及形與數(shù)的聯(lián)系，傳統(tǒng)的教學(xué)方式無法實現(xiàn)動態(tài)探究，動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra在這方面體現(xiàn)出極大的優(yōu)勢.在新人教版教材中，GeoGebra與數(shù)學(xué)知識進行了深度融合，學(xué)生對GeoGebra也有深刻的認識.本文嘗試在課堂教學(xué)中，運用GeoGebra動態(tài)地、可視化地探究“定點”問題，讓學(xué)生經(jīng)歷“動態(tài)探究—歸納猜想—推理論證—理解運用”的學(xué)習(xí)過程，體會“從特殊到一般”的重要數(shù)學(xué)思想.

2 課前準備

本節(jié)課安排在圓錐曲線的章末，從學(xué)生的認知水平看，掌握了圓錐曲線的標準方程和幾何性質(zhì)，經(jīng)歷過直線與圓錐曲線的相關(guān)問題研究，具備研究“定點”問題的必備知識和基本能力.本節(jié)課的教學(xué)思路：借助空間形式認識直線與圓錐曲線的位置變化與運動規(guī)律，建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建幾何問題的代數(shù)模型，運用代數(shù)模型解決幾何問題.

2.1 編制問題情境

4 價值尋求

運用GeoGebra動態(tài)地、可視化地探究問題，在高中解析幾何的教學(xué)中體現(xiàn)出巨大的優(yōu)勢.解析幾何中的圖形往往呈現(xiàn)出綜合性、動態(tài)性、隱藏性，運用GeoGebra可以展示圖象的動態(tài)變化過程，挖掘圖象中的隱藏屬性，有效地降低學(xué)生的認知負荷，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識.

4.1 有利于發(fā)展核心素養(yǎng)

通過經(jīng)歷“動態(tài)探究—歸納猜想—推理論證—理解運用—拓展探究”過程，凸顯動態(tài)直觀與數(shù)學(xué)抽象，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)有明顯的提升作用.

數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)［2］.觀察現(xiàn)象，抽象出規(guī)律和結(jié)構(gòu)，然后用數(shù)學(xué)語言予以表征，是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基本途徑.本節(jié)課運用GeoGebra“動態(tài)演示—觀察發(fā)現(xiàn)—歸納總結(jié)—抽象出結(jié)論”，讓學(xué)生在體驗學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象.如果沒有GeoGebra的動態(tài)演示，只把結(jié)論告訴學(xué)生，無法讓學(xué)生體驗抽象過程，從而不利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)［3］.本節(jié)課的特點是運用GeoGebra創(chuàng)建直觀動態(tài)的幾何圖形，應(yīng)用動態(tài)圖形來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，歸納猜想出結(jié)論.整個過程讓學(xué)生通過動態(tài)感知圖形的變化形成活動經(jīng)驗，從而構(gòu)建數(shù)與形的關(guān)系，進而抽象出結(jié)論，此過程既有直觀想象素養(yǎng)的應(yīng)用，也有直觀想象素養(yǎng)的提升.

4.2 有利于激發(fā)探究興趣

傳統(tǒng)的可視化手段是靜態(tài)的，對于動態(tài)問題的研究往往是靠學(xué)生的想象，這對學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)要求太高，不利于激發(fā)學(xué)生的探究興趣.而運用GeoGebra能將問題可視化，學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境中可以動手操作，有效地提高了學(xué)生對于數(shù)學(xué)活動的參與性，進而激發(fā)了學(xué)生的探究興趣.

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，由于技術(shù)限制，無法做到動態(tài)探究，導(dǎo)致學(xué)生“死記公式”.這既不能獲得基本活動經(jīng)驗，又會使數(shù)學(xué)變得枯燥無味.高中數(shù)學(xué)課程標準中明確提出“四基”，包含了基本活動經(jīng)驗，通過GeoGebra實現(xiàn)的動態(tài)探究，學(xué)生在有趣的數(shù)學(xué)活動中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，避免了“死記公式”的不良現(xiàn)象，幫助學(xué)生通過活動經(jīng)驗記住結(jié)論.

4.3 有利于拓展知識

在高中數(shù)學(xué)課程中，要注重培養(yǎng)學(xué)生自主探究，鼓勵學(xué)生運用信息技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問題［3］.在本節(jié)課的“擴展探究”中，學(xué)生可以輕松地探究出“擴展結(jié)論1”“擴展結(jié)論2”“擴展結(jié)論3”和“最終結(jié)論”，有效地擴充了學(xué)生的知識面，為以后解決問題提供經(jīng)驗.

參考文獻：

［1］ 張志勇.高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)：原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺［J］.數(shù)學(xué)通報，2018，57（7）：2124+28.

［2］ 岑健林.可視化教學(xué)的研究與探索［J］.中國教育信息化，2022，28（7）：4149.

［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：高等教育出版社，2020.