摘 要：數(shù)形結(jié)合思想是借助可視化的幾何圖形，將數(shù)學(xué)概念與幾何圖形相結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的一種思想方法，在初中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.幾何問題不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和幾何推理能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可將數(shù)學(xué)概念與平行四邊形、全等三角形、阿氏圓等幾何圖形相結(jié)合，讓學(xué)生能夠更直觀地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；幾何問題

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）26-0029-03

作者簡介：羅志山（1966.03-） 男，江蘇省南通人，本科，一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

初中數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、訓(xùn)練基本技能、形成基本數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的主陣地，也是培養(yǎng)學(xué)生高階數(shù)學(xué)思維的主陣地[1].數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)構(gòu)結(jié)合起來進(jìn)行思考的一種思想.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師需培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識，提高數(shù)形結(jié)合能力，從而提高學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

1 利用數(shù)形結(jié)合思想妙解平行四邊形問題

平行四邊形是初中數(shù)學(xué)中一個重要的平面圖形，它的性質(zhì)在解題中有著廣泛的應(yīng)用.在與平行四邊形有關(guān)的數(shù)學(xué)問題中，其主要涉及平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定等知識，利用這些知識解決問題時，數(shù)形結(jié)合思想可以發(fā)揮重要作用.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生理解平行四邊形的概念、性質(zhì)和判定，還可以幫助學(xué)生找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性和機動性.

在“平行四邊形”教學(xué)中，教師可以給學(xué)生展示一些平行四邊形的實際例子，比如鐵路軌道、籃球場地等，通過觀察這些實際對象的特點，學(xué)生可以直觀地感受到平行四邊形的形狀和性質(zhì).然后，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察并描述這些平行四邊形的特點，如對邊是否平行、對角是否相等等，從而幫助學(xué)生建立對平行四邊形的初步認(rèn)識.接著，教師可以為學(xué)生展示課堂例題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力.

例1 如圖1，在平行四邊形ABCD中，設(shè)點E，F(xiàn)分別為邊BC，AB上的一點，CF與AE相交于一點P，CF＝AE.求證：∠APD＝∠CPD.

為使學(xué)生熟練運用平行四邊形的性質(zhì)解決本題，教師可幫助學(xué)生回顧平行四邊形的性質(zhì).指導(dǎo)學(xué)生繪制平行四邊形的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形中的邊、角、對角線，并與平行四邊形的定義結(jié)合起來，探索平行四邊形的性質(zhì).教師可要求學(xué)生測量平行四邊形各邊的長度和各角的大小，通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對邊相等、平行四邊形的對角相等.同時，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察平行四邊形的對角線的特征，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)“平行四邊形的對角線互相平分”.針對本題，在教師的指引下，學(xué)生積極思考，踴躍發(fā)言，得到了問題的證明方法.

證明 如圖2，過點D作DG⊥AE，DH⊥CF，垂足分別為G，H.連接DF，DE.

除此之外，教師還可以設(shè)計一些與實際生活相關(guān)的問題，要求學(xué)生利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和解答.例如，教師可以給學(xué)生一個房間的平面圖，要求學(xué)生找出平行四邊形.通過這樣的問題設(shè)計，能夠?qū)?shù)學(xué)知識與實際情境相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和問題分析能力.

借助數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，可為學(xué)生解決問題提供良好的數(shù)學(xué)解題思路，提高學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可借助數(shù)形結(jié)合的思想方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的幾何直觀和幾何推理能力.

2 利用數(shù)形結(jié)合思想妙解全等三角形問題

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用非常廣泛，不僅可以解決與平行四邊形有關(guān)的幾何問題，還可以解決與全等三角形有關(guān)的幾何問題.教師可引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)概念與幾何圖形相結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念和幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，從而提高學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

在“全等三角形”教學(xué)中，教師可展示一些全等三角形，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的特征，從而得到全等三角形的性質(zhì).首先，教師給學(xué)生展示兩個全等三角形，并提醒學(xué)生注意圖形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的大小關(guān)系.然后，教師讓學(xué)生通過觀察和比較，找出兩個全等三角形中具有相等關(guān)系的邊或角，從而發(fā)現(xiàn)全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等三角形的對應(yīng)角相等.接下來，教師可以設(shè)計一些有趣的幾何問題，讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決.

例2 如圖3，在△ABC中，點D在線段AC上，線段BD平分∠ABC，延長BA到點E處，使得BE＝BC，連接DE，若∠ADE＝38°，求∠ADB的度數(shù).

教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形特征，對已知條件和所求角度之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行思考，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.學(xué)生指出，從角平分線入手，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出對應(yīng)角相等，然后再借助假設(shè)法和等量代換得出最后的結(jié)果.教師對學(xué)生的求解思路給予充分肯定，并請學(xué)生寫出求解過程.

解 因為BD平分∠ABC，所以∠DBE＝∠DBC.

在△BDE和△BDC中，

因為BC＝BE，∠EBD＝∠CBD，BD＝BD，

所以△BDE≌△BDC，所以∠BDE＝∠BDC.

設(shè)∠BDA＝α，則∠CDB＝∠EDB＝α+38°，又因為∠CDA為平角，所以α+α+38°＝180°，解得α＝71°，即∠ADB＝71°.

除此之外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)概念與實際生活中的問題相結(jié)合，讓學(xué)生意識到全等三角形在生活中的廣泛應(yīng)用.例如，教師可以給學(xué)生講解全等三角形在建筑設(shè)計、地圖繪制等領(lǐng)域的應(yīng)用等.

借助數(shù)形結(jié)合思想方法，學(xué)生對幾何知識有了更深入的理解，提高了學(xué)生觀察和比較的能力.全等三角形的判定與性質(zhì)是解決與全等三角形有關(guān)幾何問題的工具，數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生提供了一種有效解決幾何問題的方法，使學(xué)生靈活運用所學(xué)知識解決幾何推理問題.因此，掌握全等三角形的概念可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)解決實際問題，為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)[2].

3 利用數(shù)形結(jié)合思想妙用最值阿氏圓

阿波羅尼斯圓是一種特殊的圓，簡稱為阿氏圓，其特點是它的半徑與焦點之間的距離成反比例關(guān)系，學(xué)生學(xué)習(xí)阿波羅尼斯圓的意義在于它代表了幾何學(xué)中的一個重要概念，不僅具有理論上的價值，還有實際應(yīng)用的意義.通過學(xué)習(xí)阿波羅尼斯圓，教師可以引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)中的比例關(guān)系和圖形的性質(zhì)，幫助學(xué)生更好地理解和解決最值問題.

在“圓”的教學(xué)中，教師可以指出阿波羅尼斯圓的研究對于幾何學(xué)發(fā)展的重要意義，擴展學(xué)生對圓形的認(rèn)識，使學(xué)生能夠更加全面地理解和應(yīng)用圓的性質(zhì).通過研究阿波羅尼斯圓，教師可以引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探索圓的曲率、切線和法線等方面的特性.在教學(xué)實踐中，教師可以給學(xué)生呈現(xiàn)一個最值問題，求解一個三角形內(nèi)切圓半徑的最大值問題，然后引入阿氏圓的概念，并通過對幾何圖形的觀察，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)阿氏圓的半徑與三角形的邊長之間存在著某種關(guān)系.接著，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識，如勾股定理和三角形面積公式，結(jié)合阿氏圓的性質(zhì)，推導(dǎo)出最值問題的解決方法.通過這樣的教學(xué)方式，學(xué)生不僅能夠理解數(shù)學(xué)規(guī)律，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和分析問題的能力.

例3 如圖4，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，且CB=4，CA=5，圓C的半徑為2，點P為圓上的一個動點，連接PA和PB，求PA+12PB的最小值.圖4 例3題圖

結(jié)合圖形特征和已知條件，教師可以鼓勵學(xué)生自主解答，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).其中一名學(xué)生提供了如下解題思路：

為此，教師給予學(xué)生充分肯定，并鼓勵其他學(xué)生繼續(xù)思考，突破問題難點，最終求出結(jié)果，有學(xué)生求得AD=37，教師肯定了學(xué)生的回答.

借助數(shù)形結(jié)合思想解決與阿氏圓有關(guān)的最值問題，為學(xué)生提供了鍛煉幾何推理思維的機會，幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)最值問題的幾何意義，從而為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供更加豐富和深入的活動體驗[3].

總之，數(shù)形結(jié)合思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，在初中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.幾何問題不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和幾何推理能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師也可以將數(shù)學(xué)概念與幾何圖形相結(jié)合，讓學(xué)生能夠更直觀地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識.數(shù)形結(jié)合思想是一種有效解決幾何問題的思想方法，可以提高學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］趙春玉.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用探析[J].試題與研究，2023（20）：46-48.

[2] 何朝富.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].考試周刊，2023（23）：107-110.

[3] 楊敏.淺談如何激活初中生的數(shù)形結(jié)合意識[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（14）：74-75.

［責(zé)任編輯：李 璟］