孫靜嫻

［摘? 要］ 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮“畫數(shù)學(xué)”的育人功能，彰顯“畫數(shù)學(xué)”的育人價值。教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生個體“畫數(shù)學(xué)”，更要引導(dǎo)學(xué)生群體“畫數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生合作“畫數(shù)學(xué)”。通過合作“畫數(shù)學(xué)”，提升學(xué)生群體的“學(xué)習(xí)力”。“畫數(shù)學(xué)”應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生“生命·實踐”活動的確證與表征，成為學(xué)生數(shù)學(xué)智慧、數(shù)學(xué)生命的一種外在性的表達(dá)，讓學(xué)生抵達(dá)一種妙不可言的學(xué)習(xí)境界。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；合作“畫數(shù)學(xué)”；群體“學(xué)習(xí)力”

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，“畫數(shù)學(xué)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式?！爱嫈?shù)學(xué)”一方面是用來描述“數(shù)學(xué)本體性知識、信息”的一個過程；另一方面也是學(xué)生用來記錄自己思維、認(rèn)知、探究的一個過程?！爱嫈?shù)學(xué)”為學(xué)生數(shù)學(xué)思考、探究提供了一種證據(jù)，同時也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種載體、媒介、工具等。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分引導(dǎo)學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”，讓“畫數(shù)學(xué)”成為學(xué)生生命實踐活動的確證與表征，成為學(xué)生數(shù)學(xué)智慧、數(shù)學(xué)生命的一種外在性的表達(dá)，進(jìn)而很好地判斷學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樣態(tài)。從這個層面上說，“畫數(shù)學(xué)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的催化劑、潤滑劑，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“風(fēng)向標(biāo)”，還是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“晴雨表”。

在“畫數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐中，筆者立足學(xué)生群體，從小組合作的視角來探討“畫數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐。

一、小組對話——用“畫數(shù)學(xué)”建構(gòu)概念

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是數(shù)學(xué)知識的自主建構(gòu)的過程。學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的自主建構(gòu)不僅是“個體性建構(gòu)”，更是“群體性建構(gòu)”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生在自主思考的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生與學(xué)生之間相互對話、協(xié)商與交流。這種對話、協(xié)商與交流不僅包括組內(nèi)成員之間的對話、協(xié)商與交流，更包括“組與組”之間的對話、協(xié)商與交流。在對話協(xié)商與交流的過程中學(xué)生個體之間往往存在著數(shù)學(xué)認(rèn)知的信息差，因而需要借助“畫數(shù)學(xué)”的方式來促進(jìn)同伴對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的思考、探索、理解與建構(gòu)。因此，可以說“畫數(shù)學(xué)”就是學(xué)生與學(xué)生之間進(jìn)行數(shù)學(xué)對話、交流與協(xié)商的一種方式。

在小組合作“畫數(shù)學(xué)”的過程中，一方面可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思路進(jìn)一步明晰，另一方面能讓學(xué)生模糊的數(shù)學(xué)認(rèn)知得以清晰。小組合作“畫數(shù)學(xué)”不同于學(xué)生“個體畫數(shù)學(xué)”，“合作畫數(shù)學(xué)”往往需要將“數(shù)學(xué)圖”“數(shù)學(xué)表”“數(shù)學(xué)畫”等放置于小組成員的“公眾眼光”之下，并接受“公眾眼光”的審視。比如教學(xué)“求兩數(shù)相差多少的實際問題”時，學(xué)生遇到這樣一道題目：“小明和小華一起植樹，他們一共有30棵樹苗。如果小明給小華6棵樹苗，他們的樹苗就相等。原來小明和小華各有多少棵樹苗？”這樣的問題，讓部分學(xué)生感覺無從下手。為此，學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行了深度研討?！皩W(xué)優(yōu)生”主動拿起手中的筆畫圖，有的學(xué)生先畫了兩條線段表示一共有30棵樹苗，然后將其中的一條線段擦去一部分表示為給小華的6棵樹苗，認(rèn)為這樣就表示兩個人的樹苗相等。對此，部分學(xué)生提出異議，認(rèn)為應(yīng)當(dāng)“將一條線段擦去一部分的同時要將另一條線段接上相同的長度，然后兩條線段才相等，表示兩個人擁有的樹苗數(shù)相等”。在群體協(xié)商之后，有的學(xué)生對“畫圖”提出了這樣的意見和建議：先畫出兩條相等的線段表示后來兩人擁有的樹苗相等，然后將一根線段延長“一些”，將另一根線段縮短相同的“一些”。如此，學(xué)生通過合作“畫數(shù)學(xué)”有效地分析題目中的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)出了“相差數(shù)”和“移動數(shù)”兩個核心概念。

小組對話是小組合作“畫數(shù)學(xué)”的一種有益補(bǔ)充。在研究、探討相關(guān)數(shù)學(xué)知識時，學(xué)生不可能一蹴而就，因而總會在“畫數(shù)學(xué)”中暴露這樣那樣的錯誤或者不到位的地方，這就需要學(xué)生經(jīng)過彼此研討、協(xié)商。在小組對話時，每一個小組成員都會將自己作為“畫數(shù)學(xué)”的主人，對“數(shù)學(xué)圖畫”提出建設(shè)性的意見和建議。這樣，通過小組合作畫數(shù)學(xué)，學(xué)生完成了對數(shù)學(xué)知識的自主性、合作性的建構(gòu)。

二、小組協(xié)作——用“畫數(shù)學(xué)”解決問題

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是“群體對話”的過程，也是“群體協(xié)作”的過程。在這個過程中，學(xué)生彼此之間應(yīng)當(dāng)相互激勵，并鼓勵每一個小組成員的實踐創(chuàng)新，而不能讓小組成員簡單地、機(jī)械地模仿，不能讓小組成員照搬照抄。否則，小組協(xié)作就沒有學(xué)習(xí)的活力。當(dāng)一個小組中的“成員”都能個性化地組織、探索、建構(gòu)數(shù)學(xué)新知時，整個小組的學(xué)習(xí)就會呈現(xiàn)出一種勃勃生機(jī)的學(xué)習(xí)樣態(tài)。實踐證明，“畫數(shù)學(xué)”作為一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手段，受到了許多學(xué)生的支持、歡迎。

比如教學(xué)“解決問題的策略——畫圖”時，學(xué)生遇到了這樣的題組：

問題1：一個長方形菜地長40米、寬25米，如果讓長或?qū)挿謩e增長6米，那么長方形菜地的面積增加多少平方米？

問題2：一個長方形菜地，如果讓長和寬分別增長6米，面積分別增加150平方米、240平方米，原來長方形菜地的長、寬分別是多少米？原來長方形菜地的面積是多少平方米？

問題3：一個長方形菜地長40米、寬25米，如果讓長和寬同時增長6米，那么長方形菜地的面積增加多少平方米？

問題4：一個長方形菜地，如果讓長和寬同時增長6米，面積增加150平方米，原來長方形菜地的周長是多少米？

這樣的問題題組“倒逼”學(xué)生畫圖分析，因為學(xué)生的具體、直觀、形象的思維難以抽象性地解決問題。為此，學(xué)生必須積極尋找有效解決問題的策略。在思考、探究的過程中，有的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該先畫圖將題目中的意思表征出來，然后根據(jù)圖聯(lián)系題意進(jìn)行分析；有的學(xué)生認(rèn)為畫圖的時候要注意比較等。在畫圖的過程中，小組成員自覺地進(jìn)行審視，尤其對數(shù)據(jù)的標(biāo)注提出相關(guān)的意見和建議。在畫圖的過程中，小組成員還自覺地對同伴的圖進(jìn)行修改、完善。借助畫圖，學(xué)生的認(rèn)知障礙、認(rèn)知困惑不攻自破，問題迎刃而解。

在小組合作“畫數(shù)學(xué)”的過程中，筆者有意識地將一些小組的“數(shù)學(xué)圖”呈現(xiàn)出來，作為典型并示范性地對“數(shù)學(xué)圖”進(jìn)行評點，讓學(xué)生在一次次的感知、領(lǐng)悟中慢慢地受到相互影響、相互啟發(fā)，從中獲得“畫數(shù)學(xué)”的思想方法，讓學(xué)生更加積極地專注課堂學(xué)習(xí)。通過“畫數(shù)學(xué)”，學(xué)生的認(rèn)知障礙、認(rèn)知困惑、認(rèn)知疑點、盲點等都在畫圖的過程中被有效消除。

三、小組協(xié)商——用“畫數(shù)學(xué)”優(yōu)化思路

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”通常有兩種方式：一是要求學(xué)生畫出精準(zhǔn)的示意圖，二是要求學(xué)生畫出能夠表征題意、有助于分析問題的“草圖”。相較而言，學(xué)生更喜歡“草圖”。在引導(dǎo)學(xué)生畫“草圖”的過程中，教師要讓學(xué)生認(rèn)識到“什么要素是可以省略的，什么要素是一定需要標(biāo)注的”。因此，畫“草圖”常常需要小組協(xié)商。通常而言，畫“草圖”旨在表達(dá)學(xué)生思考的過程、分析問題的方法等，而非追求美感。因此，教師應(yīng)要求學(xué)生畫“草圖”時要直觀易懂、標(biāo)記簡單，要注重畫圖的過程和及時反饋。

在“畫數(shù)學(xué)”的過程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用相關(guān)的方法來畫圖。比如，可以讓學(xué)生用簡單的符號“箭頭”“AB”等來表示方向、事物等，從而增強(qiáng)學(xué)生對“數(shù)學(xué)圖”的敏感性；可以引導(dǎo)學(xué)生用“表格”“方框”等來充實圖、設(shè)計圖，尤其是可以引導(dǎo)學(xué)生畫出相關(guān)的“韋恩圖”“箭頭圖”“氣泡圖”“樹形圖”等，這些圖都有著各自的功能和作用。在畫圖的過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組協(xié)商，讓學(xué)生探討“畫怎樣的圖”“用怎樣的要素來表達(dá)”比較科學(xué)、合理等。比如，在教學(xué)相關(guān)的種屬概念時，要引導(dǎo)學(xué)生畫出“韋恩圖”；在教學(xué)“解決問題的策略——倒推”時，要引導(dǎo)學(xué)生畫出“箭頭圖”；在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念時，要引導(dǎo)學(xué)生畫出“氣泡圖”去把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)；在梳理、總結(jié)相關(guān)的概念之間的關(guān)系時，要引導(dǎo)學(xué)生畫出相關(guān)的“樹形圖”等。比如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題”時，筆者呈現(xiàn)了這樣的題組：

法進(jìn)行畫圖。通過畫出對比性的“線段圖”，學(xué)生能將相關(guān)的問題進(jìn)行對比，同時能結(jié)合相關(guān)的條件進(jìn)行綜合，從而有助于數(shù)學(xué)問題的解決。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是動態(tài)的，但可以用“繪圖”這種靜態(tài)的方式來表達(dá)、呈現(xiàn)，從而助推學(xué)生的思考、探索?！爱媹D”不是簡單的一種信手拈來的“小技巧”，而是一種科學(xué)、一種藝術(shù)?！爱媹D”降低了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，減緩了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的坡度，豐厚了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效度。借助“畫圖”不僅能有效地激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，而且能有效開掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性。

四、小組評價——用“畫數(shù)學(xué)”促進(jìn)反饋

“畫數(shù)學(xué)”不僅有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的分析，更有助于反饋學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樣態(tài)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分應(yīng)用學(xué)生的“畫圖”過程，去捕捉學(xué)生的思維、認(rèn)知狀態(tài)，去揣摩學(xué)生的具體學(xué)情。教師尤其要引導(dǎo)學(xué)生對所畫的“數(shù)學(xué)圖”“數(shù)學(xué)表”等進(jìn)行交流反饋評價，通過評價促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知等不斷進(jìn)階。教師要通過“數(shù)學(xué)畫”對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行反饋評價，從而充分發(fā)揮“數(shù)學(xué)畫”的育人功能，彰顯“數(shù)學(xué)畫”的育人價值。

比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時，筆者發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生雖然能夠熟練地說出分?jǐn)?shù)的意義，但他們在遇到相關(guān)問題時卻一籌莫展。筆者認(rèn)為，學(xué)生對一個分?jǐn)?shù)概念的理解不應(yīng)僅停留在識記的層面上，而應(yīng)當(dāng)走向一種應(yīng)用。從某種意義上說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一種“行為的學(xué)習(xí)”。在教學(xué)中，筆者這樣引導(dǎo)學(xué)生“畫分?jǐn)?shù)”，并且對“畫的分?jǐn)?shù)”展開評價：

在問題的導(dǎo)引下，學(xué)生以小組為單位，分別畫出了兩個大小不同的圓，表示甲班人數(shù)和乙班人數(shù)。其中，有的學(xué)生將表示甲班人數(shù)和乙班人數(shù)的圖形畫得一樣大，有的學(xué)生將表示甲班人數(shù)的圓畫得大，這些都在小組評價時得以糾正。在合作交流的過程中，學(xué)生對各自的圖進(jìn)行評價，并且得出了一致性的結(jié)論：即當(dāng)乙班人數(shù)大于甲班人數(shù)時，這個結(jié)論不成立。據(jù)此，有的學(xué)生用“夸張的筆法”將表示乙班人數(shù)的圓畫得非常大，將表示甲班人數(shù)的圓畫得非常小。這樣，在小組評價的過程中，學(xué)生用畫表達(dá)了對數(shù)學(xué)的一種認(rèn)知、理解。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮“畫數(shù)學(xué)”的育人功能，彰顯“畫數(shù)學(xué)”的育人價值。通過“畫數(shù)學(xué)”，深化學(xué)生對知識的理解和優(yōu)化學(xué)習(xí)的體驗?！爱嫈?shù)學(xué)”不僅是一種學(xué)習(xí)方式，更是一種有效的學(xué)習(xí)策略、學(xué)習(xí)路徑，“畫數(shù)學(xué)”給了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個“形象支撐”。在“畫數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生彼此之間展開對話、交流，“畫數(shù)學(xué)”抵達(dá)一種妙不可言的學(xué)習(xí)境界。