杜宇

［摘? 要］ 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是新課程的重要目標(biāo)，代數(shù)思維在培養(yǎng)學(xué)生抽象能力、推理意識(shí)、模型意識(shí)方面起著非常重要的作用。因此，教師要將核心素養(yǎng)的理念融入學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)之中，有意識(shí)地培養(yǎng)小學(xué)生的代數(shù)思維，轉(zhuǎn)變運(yùn)算方式，培養(yǎng)綜合能力。

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；代數(shù)思維；抽象能力；推理意識(shí)；模型意識(shí)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有高度的整體性、一致性和發(fā)展性［1］，繼高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)后，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中也提出以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的課程體系，并明確指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括以下三個(gè)方面：（1）會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界。在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)的眼光主要表現(xiàn)為抽象能力（包括符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、量感）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí)；（2）會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力；（3）會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要表現(xiàn)為數(shù)據(jù)意識(shí)或數(shù)據(jù)觀念、模型意識(shí)或模型觀念、應(yīng)用意識(shí)［2］。

數(shù)學(xué)思維是核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，代數(shù)思維是其中的一種。代數(shù)思維是指學(xué)生能夠歸納概括出一般化的算式結(jié)構(gòu)、變化規(guī)律和數(shù)量關(guān)系，并且能運(yùn)用符號(hào)來(lái)表征和推理論證一般化的結(jié)論［3］。代數(shù)思維的本質(zhì)是一般化思維，在規(guī)則的推導(dǎo)下進(jìn)行一系列的符號(hào)化運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模。小學(xué)階段代數(shù)思維的培養(yǎng)直指小學(xué)數(shù)學(xué)抽象能力、推理意識(shí)和模型意識(shí)。這是因?yàn)榉?hào)化是代數(shù)思維的基本特征之一，數(shù)及數(shù)量關(guān)系進(jìn)一步抽象成符號(hào)表達(dá)；代數(shù)推理的一般性與普遍性需要符號(hào)化的推理過(guò)程，從而發(fā)展代數(shù)思維；代數(shù)思維主要表現(xiàn)為解決問(wèn)題時(shí)的模型建構(gòu)，其實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)建模。

由此可見(jiàn)，代數(shù)思維的培養(yǎng)與核心素養(yǎng)“三會(huì)”是一脈相承的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)小學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)，進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練，開(kāi)展實(shí)踐研究，為中學(xué)的代數(shù)學(xué)習(xí)做好必要的基礎(chǔ)鋪墊，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的自然過(guò)渡，從而促進(jìn)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不斷提升。

一、關(guān)注符號(hào)意識(shí)，激發(fā)代數(shù)思維

7～12歲的小學(xué)生正處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過(guò)渡，逐漸不需要具體的形象教具來(lái)輔助學(xué)習(xí)。學(xué)生的邏輯推理思維開(kāi)始發(fā)展，抽象思維能力逐漸變強(qiáng)，能用符號(hào)進(jìn)行思考和對(duì)算術(shù)進(jìn)行抽象。代數(shù)的學(xué)習(xí)需要學(xué)生更多抽象思維的參與，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維能打開(kāi)其抽象思維的大門(mén)。在教學(xué)過(guò)程中教師要有意識(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)和強(qiáng)化，使學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維能有效銜接和過(guò)渡。

符號(hào)意識(shí)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，其重要性不言而喻，代數(shù)思維的培養(yǎng)就要重視符號(hào)意識(shí)。在學(xué)生能夠運(yùn)用文字語(yǔ)言描述量與量之間的關(guān)系后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美。比如，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)、字母來(lái)表示數(shù)字和算式；引導(dǎo)學(xué)生在主動(dòng)發(fā)現(xiàn)與交流中用簡(jiǎn)潔的符號(hào)形式來(lái)表征同一情境、同一問(wèn)題，加深對(duì)不同表征形式中的等價(jià)關(guān)系的理解，將等價(jià)關(guān)系推廣到類(lèi)似的情境中來(lái)發(fā)展其代數(shù)思維。

比如，在教學(xué)“乘法的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師可以呈現(xiàn)：5+5+5=（? ）×（? ），7+7+7+7=（? ）×（? ），9+9=（  ）×（? ），☆+☆+☆=（? ）×（? ），m+m+m+m=（? ）×（? ）。通過(guò)☆、m表示算式中相同的加數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考☆、m可以表示哪些數(shù)，加深理解乘法的意義。學(xué)習(xí)運(yùn)算律體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)規(guī)律探索的歸納過(guò)程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律需要學(xué)生進(jìn)行抽象概括，表達(dá)規(guī)律則需要學(xué)生對(duì)規(guī)律進(jìn)行一般化表達(dá)［4］。比如，乘法分配律的文字表達(dá)“兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把積相加”，學(xué)生對(duì)此難以理解；然而當(dāng)通過(guò)抽象符號(hào)表達(dá)成（a+b）×c=ac+bc，學(xué)生能形象地理解乘法分配律。讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、交流、歸納、表達(dá)、抽象的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是學(xué)生代數(shù)思維的體現(xiàn)，是不可或缺的。

二、巧用代數(shù)推理，助推代數(shù)思維

推理意識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。推理意識(shí)主要是指學(xué)生對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟［2］。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)了代數(shù)推理的教學(xué)理念，指出代數(shù)推理能為學(xué)生的邏輯推理提供一定的幫助。小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在教學(xué)中巧妙地使用代數(shù)推理，讓學(xué)生初步感知代數(shù)推理的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。

比如，六年級(jí)分?jǐn)?shù)除法的算理是小學(xué)算理中最難理解的，教材通過(guò)具體情境和數(shù)形結(jié)合思想來(lái)幫助學(xué)生理解（如圖1），但教學(xué)后很多學(xué)生對(duì)算理依舊模糊不清，直接運(yùn)用結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，這對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展是不利的。在教學(xué)減法算理時(shí)，教師可以采用“想加做減”的方法，即從“減法是加法的逆運(yùn)算”來(lái)理解算理；同樣，在教學(xué)除法時(shí)，也可以從“除法是乘法的逆運(yùn)算”來(lái)加以理解。因此，筆者做了以下代數(shù)推理的嘗試（如圖2）。

這樣的代數(shù)推理，能讓學(xué)生很直觀地理解算理：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。學(xué)生容易接受這個(gè)理解算理的過(guò)程，能直達(dá)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)代數(shù)推理的過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思想，并與中學(xué)的代數(shù)內(nèi)容接軌。

比如，在教學(xué)“3的倍數(shù)特征”時(shí)，教師常常采用觀察法、枚舉法、不完全歸納法等方式得出結(jié)論。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程沒(méi)有真正培養(yǎng)學(xué)生的思維，沒(méi)有促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展，不利于學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。在五年級(jí)上冊(cè)學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了用字母表示數(shù)，已經(jīng)具備代數(shù)推理的基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)“3的倍數(shù)特征”時(shí)，筆者以代數(shù)推理的方式來(lái)揭示“3的倍數(shù)特征”的本質(zhì)（如圖3）。

在探究性作業(yè)中，筆者也設(shè)計(jì)了代數(shù)推理的題目，如圖4。其中，方法二的代數(shù)推理更具有說(shuō)服力，而且這個(gè)方法可以類(lèi)推到更復(fù)雜的循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的教學(xué)之中。

在小學(xué)階段能夠利用代數(shù)思維進(jìn)行推理的案例還有很多，這需要教師充分掌握教材的知識(shí)脈絡(luò)，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行代數(shù)推理，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)。

三、滲透模型思想，提升代數(shù)思維

數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程就是不斷抽象、概括、模式化的過(guò)程，模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想方法之一。模型思想指通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的一種思想方法。數(shù)學(xué)模型是通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題和研究對(duì)象的基本屬性、功能和特征進(jìn)行理解和認(rèn)識(shí)，用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言抽象出描述客觀現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。數(shù)學(xué)模型具備了原型對(duì)象的本質(zhì)屬性，但是不能反映原型的所有方面［5］。比如，“速度×?xí)r間=路程”是用來(lái)研究行程問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材雖然沒(méi)有對(duì)模型思想進(jìn)行明確的定義，但是模型思想無(wú)處不在。在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透模型思想，能讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、合作、交流、歸納、符號(hào)抽象、代數(shù)推理，建立起具有一般性的數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用模型。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾倪^(guò)程，體會(huì)到代數(shù)思維的一般性和廣泛性，能為學(xué)生使用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界奠定必要的基礎(chǔ)。

人教版數(shù)學(xué)教材從五年級(jí)起，運(yùn)用代數(shù)思維進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的案例很多，比如“打電話（如圖5）”“探索圖形（如圖6）”等典型課例。

在作業(yè)設(shè)計(jì)中教師要有意識(shí)地滲透模型思想，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。比如，筆者在作業(yè)設(shè)計(jì)中的一些嘗試（見(jiàn)圖7、圖8）。

上面的作業(yè)設(shè)計(jì)既突出了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，又有利于培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維和符號(hào)意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)。這些作業(yè)設(shè)計(jì)凸顯了代數(shù)思維的一般性和普遍性，通過(guò)符號(hào)化的推理、建模，能提高學(xué)生的代數(shù)思維能力。

綜上，在小學(xué)階段教師應(yīng)精心培養(yǎng)學(xué)生良好的代數(shù)思維習(xí)慣，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與關(guān)系、特殊與一般，洞察并把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。在小學(xué)階段適時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，是對(duì)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的一種銜接、完善和延展。代數(shù)思維的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，提升其抽象意識(shí)、推理能力和模型意識(shí)，從而促進(jìn)其全面發(fā)展。

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