徐松齡

【摘要】初中數(shù)學(xué)動點問題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要內(nèi)容，它涉及運動變化的概念和方法，在中考考卷中極易以生活化試題的形態(tài)出現(xiàn)，學(xué)生容易在多種知識點雜糅的題干中產(chǎn)生迷失感，因此在教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從運動變化的角度理解數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解決問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；動點問題

初中數(shù)學(xué)動點問題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要內(nèi)容，具有較高的難度和挑戰(zhàn)性，需要學(xué)生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和綜合運用知識的能力.教師應(yīng)該通過多種方式來教授這個內(nèi)容，幫助學(xué)生理解運動變化的概念，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決動點問題的方法和技巧，如分析問題、劃歸為一般形式、利用圖形性質(zhì)等，幫助學(xué)生掌握解決問題的方法和技巧，提高數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力.

1 動點問題的綜述

1.1 動點問題的內(nèi)涵

動點問題也稱為幾何動態(tài)題，是指在題設(shè)圖形中存在一個或多個在線段、直線上運動的點的一類開放性題目，此類題目需要探求動點在運動過程中的幾何圖形變化規(guī)律，靈活性較強.解決動點問題的一般性思路是“動中取靜”，將一切動點問題全部靜點化，將點在運動過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、比例關(guān)系等以規(guī)律性公式揭示出來，達到運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識將問題解決的目的.

1.2 動點問題的特點

動點問題在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，是一個特點較為鮮明的大類題型，具體特點如下：（1）題型繁多.就其表現(xiàn)形態(tài)來看，至少可分為穿越型、定點型、極限型、幾何計算型、行程型幾個類別，在各個類別當(dāng)中還存在大量的命題創(chuàng)新空間，尤其是穿越問題和行程問題最近在中考題型中大量融合生活化趨勢，給學(xué)生帶來了不小的解題壓力，對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、思維方法和解題思路都提出了種種挑戰(zhàn)；（2）涉及跨學(xué)科知識.動點問題不僅考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，還會涉及物理、化學(xué)、生物等多學(xué)科知識，學(xué)生需要利用一定的數(shù)學(xué)思維能力、綜合運用能力多角度分析問題、找到關(guān)鍵信息和解決方法，所需思維量極大；（3）與生活實踐相結(jié)合.這是近年來中考題型中最常見的變化題型，不僅具有動點問題一貫的抽象性，還結(jié)合了極強的靈活性和創(chuàng)新性，從考生訪談中不難發(fā)現(xiàn)，凡是曾經(jīng)參與過、解決過實踐題型的考生均反映此種題型不難解答，而對實踐題型參與較少或未參與過的學(xué)生，則表示在分析問題和尋找解題思路上花費了相對較多的時間，由此可見，動點問題未來的一個發(fā)展趨勢就是將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中，從而演化出更為結(jié)合實際生活的試題.

1.3 動點問題的表現(xiàn)形態(tài)

初中數(shù)學(xué)動點問題在試題中一般以幾何圖像為題干，以特定方向、特定范圍運動的動點為核心組織題型，一般有如下表現(xiàn)形態(tài)：（1）穿越型試題.此類試題通常會給出一個帶有參數(shù)的三角形、矩形、梯形等幾何圖形，要求求出從圖形中穿過的未知數(shù)，例如，計算從點A到點C的直線距離；（2）定點型試題.此類試題通常會給出一個物理模型或幾何模型，要求求出物體在該模型中的位置或某些物理量的值；（3）極限型試題.此類試題通常會給出一個變化趨勢明顯的二次函數(shù)圖像，要求計算該函數(shù)圖像中某一點上的極限值或某些極限性質(zhì);（4）幾何計算試題.這類問題通常會給出一個平面或空間的圖形，要求計算圖形中某些幾何量的值；（5）行程試題.此類試題通常會給出一個表示路程或位移的數(shù)學(xué)表達式，要求計算從起點到終點的實際路程中某一點上的速度、距離、時間等物理量.

由此可見，初中數(shù)學(xué)的動點問題在題型表現(xiàn)方面相對復(fù)雜，外在表現(xiàn)多樣化，對學(xué)生的理解能力和基礎(chǔ)知識掌握程度、整合能力要求較高，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個較大難點.

2 初中數(shù)學(xué)動點問題教學(xué)策略

2.1 創(chuàng)設(shè)生活化問題的實踐條件

動點問題的題型無論是具象還是抽象、無論是代數(shù)問題還是幾何問題，其本質(zhì)都是來源于實際生活中的案例與素材，教師可以立足于實證科學(xué)的精神幫助學(xué)生增加對動點問題的體驗感，例如通過一些具體的生活細節(jié)如行程問題、速度問題、相遇問題等，讓學(xué)生通過貼近生活情境、親自實踐測試的方式掌握動點問題的解決方法，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)起來，學(xué)習(xí)效果也會相應(yīng)提升.在實際踐行問題解決方案時，教師要指導(dǎo)學(xué)生準備一些思想性、功能性的數(shù)學(xué)工具，例如描繪基本圖形、線段圖、示意圖、縮放比例尺等，增強學(xué)生對動點問題的描述效果，在畫草圖、信息標注、圖形特征等方面創(chuàng)造條件，使學(xué)生有條件將動點的運動方向、速度、運動時間等的相對關(guān)系、表現(xiàn)方式等以可視化形態(tài)做好實時記錄，如此一來學(xué)生在實踐中獲得了解題思路、解后反思的自然過程，使得創(chuàng)設(shè)情境為學(xué)生的解題過程而服務(wù)，則學(xué)生的解題經(jīng)驗也得到相應(yīng)提升，在遇到生活化題型的時候能夠激發(fā)聯(lián)想，捋順題干中的有用信息及關(guān)聯(lián)關(guān)系.

2.2 探究動點內(nèi)涵及邏輯關(guān)系

由于動點問題往往涉及變量、時間、空間等多個因素，因此在初中學(xué)生動點問題的教學(xué)過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將關(guān)注點放在動點問題對應(yīng)的因素上，引導(dǎo)學(xué)生觀察動點的運動軌跡，理解運動變化的主要過程及內(nèi)在規(guī)律，發(fā)現(xiàn)動點問題的具體特征，分清變量及不變量之間的對應(yīng)關(guān)系.具體而言，由于動點題型的變化較多，因此教師可以先指導(dǎo)學(xué)生從理解問題背景入手，從動點問題相對復(fù)雜的背景和條件中，明確問題的目標和約束條件，對動點問題進行形象化處理，教師可以動員學(xué)生通過相關(guān)知識點及定理建立合適的數(shù)學(xué)模型公式，作為解決問題的支撐點，在數(shù)學(xué)工具和解題方法無誤的基礎(chǔ)上，有意識地引導(dǎo)學(xué)生將具體問題分解為若干子項問題，捋順解題步驟，學(xué)生按照邏輯完成解題步驟之后，可以通過解后反思促進自身數(shù)學(xué)思維發(fā)展，起到加深印象的作用.

2.3 培養(yǎng)解決問題的思維能力

初中數(shù)學(xué)教師可以通過教授初中數(shù)學(xué)動點問題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的思維能力.動點問題的求解需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)思維，而這些數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)植根于動點問題中的變量和不變量的相對關(guān)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維目標也通常集中于此，一旦學(xué)生考慮清楚了動點問題的性質(zhì)和特點，發(fā)現(xiàn)了動點問題中時間和空間關(guān)系的變化規(guī)律之后，往往急于應(yīng)用數(shù)學(xué)公式和方法，此時教師應(yīng)注意學(xué)生的思維過程中是否尚存留一定盲區(qū).許多學(xué)生往往在找到突破口之后，忽略了運動過程的復(fù)雜性，在逐步解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)自己對變量的變化和影響因素的相互作用關(guān)系方面考慮得不夠全面，只解決了局部問題而缺失幾個關(guān)鍵步驟，導(dǎo)致大量的計算不得不暫時中止，重新分析過程，降低解題效率.因此教師一定要注意提醒學(xué)生在解題思維過程中明確完整、全面的解題思路.

2.4 通過變式練習(xí)強化解題能力

動點問題的求解過程不但要注重計算精度，避免因為計算誤差導(dǎo)致結(jié)果不準確，而且要通過多種方式幫助學(xué)生理解運動變化的形態(tài)，為了起到加深印象、熟悉動點問題解決方式的效果，教師可以根據(jù)建立公式的適用條件和限制，適當(dāng)?shù)貙狱c問題改變表現(xiàn)形式、增加條件等，讓學(xué)生的思路進一步打開，以提高學(xué)生解決問題的能力，全面掌握解決問題的方法和技巧.可以通過應(yīng)用數(shù)學(xué)公式和方法入手，讓學(xué)生在解題的每一個關(guān)鍵步驟基礎(chǔ)上，建立相應(yīng)的坐標系以描述點的運動狀態(tài)，然后選擇合適的公式和方法進行求解，起到舉一反三的效果.

3 動點問題例題分析

3.1 雙動點問題的例題解析

雙動點問題一般關(guān)注于復(fù)雜圖形之中的最短路線問題，即考查學(xué)生在兩點之間的線段及相關(guān)圖形的知識、定理掌握程度，現(xiàn)有如下一道例題：

例1 如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）.

（A）120°. （B）125°. （C）130°. （D）135°.

由于該題目是選擇題，因此可以從圖形直觀上判斷可應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理及其相關(guān)知識縮小選擇范圍，降低解題難度.但在教學(xué)過程中則應(yīng)要精煉，要使學(xué)生們確定M、N的位置并熟練利用相關(guān)知識解決此類問題，激活學(xué)生的解題思維.本題應(yīng)采用作圖法直觀地確定兩點之間的位置關(guān)系，作點A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值，此題的解題思路就此打開了，解題步驟如下：

本題是雙動點問題中比較有代表性的軸對稱問題，需要圍繞兩點之間的軸對稱性質(zhì)創(chuàng)設(shè)解題思路，進而通過最直觀簡便的方法求出答案，如遇選擇題型，可適當(dāng)省略若干求解步驟，直接判斷選項.

3.2 單動點問題的例題解析

單動點問題也常常圍繞求最短距離問題創(chuàng)設(shè)題型，一般情況下，常常圍繞軸對稱、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點進行考查，適宜從線段的性質(zhì)、軸對稱變換等數(shù)學(xué)知識作為突破口，采取作對稱點的方式進行解題.此類問題一般不會出現(xiàn)在大題上，因此往往在作圖過程中就比較容易分辨出正確選項.現(xiàn)有如下例題：

例2 如圖3，△ABC中，AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于點D，EF是AB的垂直平分線，交AB于點E，交AC于點F，現(xiàn)要在EF上確定一點P，使PB+PD最小，則這個最小值為（）.

（A）3.5.（B）4. （C）4.5.（D）5.

4 結(jié)語

動點問題是初中數(shù)學(xué)中的一類重要問題，它涉及變量、時間、空間等多個因素，具有較高的綜合性和復(fù)雜性.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和分析能力，引導(dǎo)學(xué)生建立合適的數(shù)學(xué)模型，分析問題中變量的變化和影響因素的相互作用，應(yīng)用數(shù)學(xué)公式和方法進行求解.通過教師的合理引導(dǎo)，使學(xué)生深刻地理解動點問題的本質(zhì)和解決方法，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的同時，更加深入地理解生活中的動點問題，最終提高數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)和應(yīng)用能力.

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