［摘? 要］ 整合設(shè)計(jì)學(xué)科知識，形成促進(jìn)課堂動(dòng)態(tài)生成的教學(xué)內(nèi)容是踐行“三個(gè)理解”的良好舉措. 文章以“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用”的教學(xué)為例，從“基于‘三個(gè)理解，分析整合教學(xué)”“遵循PCK理論，實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)”“緊扣教學(xué)方法，發(fā)展核心素養(yǎng)”“滲透數(shù)學(xué)文化，激發(fā)愛國熱情”等方面談一些思考.

［關(guān)鍵詞］ 理解數(shù)學(xué)；理解學(xué)生；理解教學(xué)；整合教學(xué)

“三個(gè)理解”是章建躍教授提出的理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué). 該理論要求教師全面關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知能力與理性精神，以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為定向，促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展［1］. 實(shí)踐證明，整合設(shè)計(jì)學(xué)科知識，形成促進(jìn)課堂動(dòng)態(tài)生成的教學(xué)內(nèi)容是踐行“三個(gè)理解”的良好舉措. 本文以“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用”的教學(xué)為例，具體從下文幾方面對踐行“三個(gè)理解”，實(shí)施整合教學(xué)展開剖析.

教學(xué)分析

2. 學(xué)生活動(dòng)

探索方法：筆者帶領(lǐng)學(xué)生先從特殊情況下尋找規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律獲得猜想，然后嚴(yán)謹(jǐn)論證猜想. 在活動(dòng)過程中，有意識地利用楊輝三角滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)：圖1展示的是（a+b）n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù). 在學(xué)生觀察圖1的同時(shí)，筆者趁機(jī)展示圖2（楊輝三角的漢字版），介紹楊輝三角相關(guān)知識，以滲透數(shù)學(xué)文化，并提出楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比法國著名的帕斯卡三角早500年左右，以觸發(fā)學(xué)生的愛國情懷.

學(xué)生在筆者的帶領(lǐng)下，通過對兩幅圖的整體結(jié)構(gòu)的觀察與分析，經(jīng)過短時(shí)間的討論，總結(jié)出二項(xiàng)式系數(shù)的主要特征有（板書）：①對稱性；②相鄰兩行，除1外，其余的數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和；③從兩端往中間的數(shù)逐漸增大（增減性）；④第n行的數(shù)的和是2n.

設(shè)計(jì)意圖 帶領(lǐng)學(xué)生在觀察、嘗試與列舉中歸納并猜想二項(xiàng)式系數(shù)的特征，同時(shí)介紹楊輝三角，以滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情感. 引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用從特殊到一般的研究方法探索問題，發(fā)展學(xué)生的觀察力、概括力與抽象力，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

3. 性質(zhì)建構(gòu)

問題：可以用怎樣的數(shù)學(xué)符號來表示二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)？

要求學(xué)生通過自主思考與合作交流的方式進(jìn)行分析與推理.

（1）性質(zhì)①和性質(zhì)②為組合數(shù)公式，要求學(xué)生說說這兩個(gè)公式的證明思路（組合數(shù)公式代入法）.

（2）性質(zhì)③為二項(xiàng)式系數(shù)的增減性，該性質(zhì)為本節(jié)課教學(xué)的重難點(diǎn)，筆者教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了如下探究活動(dòng).

①提出問題：C什么時(shí)候隨r的增加而增大，什么時(shí)候隨r的增加而減??？

方法1（分析法）：當(dāng)r<時(shí)，要證明C時(shí)，C>C成立.

方法2（比較法）：C-C=-==. 因?yàn)閚！>0，（r+1）！·（n-r）！>0，當(dāng)r<時(shí)，2r-（n-1）<0，所以C時(shí)，2r-（n-1）>0，所以C>C. （筆者板書以上證明過程）

④歸納結(jié)論（略）.

（3）對于性質(zhì)④，引導(dǎo)學(xué)生利用賦值法進(jìn)行證明，即令a=b=1可直接獲得結(jié)論C+C+…+C=2n.

4. 實(shí)際運(yùn)用

題1 證明：在（a+b）n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為相等的關(guān)系.

如同性質(zhì)④，引導(dǎo)學(xué)生利用賦值法進(jìn)行證明. 除此之外，在證明過程中，可得多個(gè)結(jié)論，常見的有：①C+2C+22C+…+2nC=3n；②2n-C·2n-1+C·2n-2+…+（-1）n-1·C·2+（-1）n=1.

變式題：若（x+1）n=a+a（x-1）+a（x-1）2+…+a（x-1）n（n∈N*），則a的值與a+a+a+…+a的值分別為多少？

提煉：想要求出展開式的系數(shù)、系數(shù)的和、系數(shù)的差，最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是給字母賦值，而賦值根據(jù)待求展開式的系數(shù)的特征來做決定.

題2 若在（a+b）n的展開式中，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求n的值；若二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第10項(xiàng)和第11項(xiàng)，求n的值.

由上述典型的整合教學(xué)案例，筆者總結(jié)出以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn).

1. 基于“三個(gè)理解”，分析整合教學(xué)

章建躍教授的“三個(gè)理解”為課堂教學(xué)提供了分析方向，本節(jié)課從理解數(shù)學(xué)，明確教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，通過分析學(xué)情，在充分理解學(xué)生的基礎(chǔ)上因材施教，根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)科學(xué)合理地設(shè)計(jì)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，課堂時(shí)間分配得當(dāng)，教學(xué)節(jié)奏張弛有度，學(xué)生在這種氛圍下建構(gòu)新知，有種水到渠成之感.

基于合理分析，筆者瞄準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)，課堂上踩住教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生在“回顧、觀察、理解、經(jīng)歷”中獲得二項(xiàng)式系數(shù)的四個(gè)性質(zhì)，并通過知識的實(shí)際應(yīng)用增加學(xué)生的應(yīng)用能力. 其中，性質(zhì)③為本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)，筆者基于“三個(gè)理解”，在性質(zhì)③的講解上鉚足了勁. 整個(gè)教學(xué)過程時(shí)間安排得當(dāng)，練習(xí)“度”掌握得比較合理，順利完成教學(xué)任務(wù)的同時(shí)，凸顯了教學(xué)的時(shí)效性.

2. 遵循PCK理論，實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)

舒爾曼教授將PCK定義為：教師個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、教師學(xué)科內(nèi)容知識和教育學(xué)的特殊整合. 實(shí)際上是將PCK作為學(xué)科知識、課程知識、教學(xué)法、教學(xué)情境等的綜合，是“用專業(yè)學(xué)科知識和教育學(xué)的綜合去理解特定教學(xué)內(nèi)容的組織方法與呈現(xiàn)方式”.

簡而言之，PCK就是將學(xué)科知識轉(zhuǎn)化成學(xué)生更加容易接受的教學(xué)知識，具有顯著的整合性與融合性等特征. 例如本節(jié)課，在“三個(gè)理解”的基礎(chǔ)上，筆者根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，精心剖析教學(xué)內(nèi)容，制定教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)方案，通過整合讓整個(gè)教學(xué)活動(dòng)緊扣目標(biāo)、適當(dāng)取舍、弛張有度、詳略得當(dāng).

3. 緊扣教學(xué)方法，發(fā)展核心素養(yǎng)

性質(zhì)③為本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)，特別是對問題“C什么時(shí)候隨r的增加而增大，什么時(shí)候隨r的增加而減小”的探究，存在較大難度. 想要突破這個(gè)重難點(diǎn)，就要從特殊值著手，通過嘗試、觀察、分析、猜想與論證，推理出相應(yīng)結(jié)論.

為了突破這個(gè)重難點(diǎn)，本節(jié)課設(shè)計(jì)了幾個(gè)重要的局部探究活動(dòng)，主要為：①提出問題，明確教學(xué)目標(biāo)；②從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，取特殊值探索主要規(guī)律；③用分析法和比較法證明猜想，訓(xùn)練學(xué)生的推理能力；④歸納結(jié)論. 學(xué)生從這個(gè)流程中能感知體驗(yàn)到“由特殊到一般、由猜想到驗(yàn)證”是研究數(shù)學(xué)問題的重要方法.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等的綜合體現(xiàn)，它是在學(xué)習(xí)過程中逐步形成且發(fā)展而來的. 本節(jié)課的局部探究活動(dòng)充分體現(xiàn)了學(xué)生邏輯推理能力的形成與發(fā)展，主要表現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：①從特殊到一般進(jìn)行歸納推理；②從一般到特殊進(jìn)行演繹推理.

事實(shí)證明，邏輯推理是獲得結(jié)論的主要方法，是保證數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)無捷徑可言，必須立足課堂，通過不斷探索與日積月累獲得良好的觀察、猜想、抽象與概括等能力. 將歸納推理與演繹推理交織融合在一起，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維變得清晰、明朗，從真正意義上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

4. 滲透數(shù)學(xué)文化，激發(fā)愛國熱情

新課標(biāo)明確提出：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是運(yùn)算或推理的教學(xué)，更是語言表達(dá)或數(shù)學(xué)思想文化的教學(xué)［2］. 數(shù)學(xué)史的應(yīng)用是滲透數(shù)學(xué)文化的主要方式，本節(jié)課提到楊輝三角，并強(qiáng)調(diào)它的發(fā)現(xiàn)比法國的帕斯卡三角早500年左右，這一段素材的應(yīng)用，能成功激發(fā)學(xué)生的愛國熱情. 尤其對高三學(xué)生而言，近在咫尺的高考讓他們感到壓力很大，甚至有學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)喪失了信心，而數(shù)學(xué)文化的滲透則能幫助學(xué)生緩解壓力，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心.

總之，基于“三個(gè)理解”的高中數(shù)學(xué)整合教學(xué)不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效率，還能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展. 因此，這是一種值得研究與實(shí)施的教學(xué)措施.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010（07）：2-5+11.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

作者簡介：馮秋霞（1985—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.