林越

摘要：圓是幾何學(xué)中最基本的平面圖形之一，它的性質(zhì)是解決幾何問題的基本工具.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)圓的定義、半徑、直徑和周長等基礎(chǔ)知識和基本概念，不僅有利于學(xué)生形成幾何思維和空間想象力，還有利于培養(yǎng)學(xué)生分析思維、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的能力，幫助學(xué)生解決與圓有關(guān)的最值問題.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；圓；最值問題；解題技巧

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）32-0044-03

圓是數(shù)學(xué)中一個重要的幾何圖形，在實際生活和數(shù)學(xué)理論中都具有廣泛的應(yīng)用.與圓有關(guān)的最值問題作為初中數(shù)學(xué)的一部分，是培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題和培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵內(nèi)容之一.然而，由于其涉及圓的特殊性質(zhì)，求解過程較為復(fù)雜，許多學(xué)生在解題過程中常常感到困惑和迷茫，因此，教師研究圓中最值問題的解題技巧，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和解決實際問題具有重要意義[1].

1 緊扣概念，垂線段求最值

在初中數(shù)學(xué)中，圓的垂線段是指從圓上的一個點(diǎn)向圓的直徑或半徑所引的線段.這條線段與所引的直徑或半徑垂直相交，被稱為垂線段，在圓的解題中，垂徑是一個特殊的位置，對圓的最值問題可以造成一定的影響，因此，教師在課堂中可以引入垂線段求圓的最值的技巧.

垂線段的特點(diǎn)是它的兩個端點(diǎn)分別位于圓上和圓心上，并且與圓的直徑或半徑垂直相交.在課堂上，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生研讀教材，緊扣概念，理解圓的特殊位置.通過緊扣概念求解圓中垂線段的最值，教師可以通過提供一些實際問題，引發(fā)學(xué)生的思考和討論.例如，給定一個圓，學(xué)生可以思考如何找到圓中垂線段的最大值或最小值，或者如何確定垂線段的長度在什么條件下取得最值.教師可以指導(dǎo)學(xué)生從幾何角度出發(fā)，利用相似三角形或勾股定理等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行推理和證明.學(xué)生思考完如何找到圓中垂線段的最大值或最小值后，教師可以引導(dǎo)他們從幾何角度出發(fā)，利用相似三角形和勾股定理等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行推理和證明.首先，教師可以考慮如何找到圓中垂線段的最大值，可以假設(shè)圓的半徑為r，垂線段的長度為x，然后通過相似三角形來解決這個問題，教師可以在圓上選擇一個點(diǎn)A，連接圓心O和點(diǎn)A，并假設(shè)點(diǎn)B為垂線段的另一端點(diǎn).根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到比例關(guān)系x：r=r：（r+x），從而可以得到一個關(guān)于x的一元二次方程x2-rx-r2=0，解這個方程，便得到兩個解.根據(jù)實際意義，垂線段的長度必須為正值，因此需要取正解.接下來，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生考慮如何確定垂線段的長度在什么條件下取得最小值.在了解基本概念后，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生實戰(zhàn)演練.

例1如圖1，在圓O中，弦AB＝1，點(diǎn)C在AB上移動，連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥OC，且與圓O相交于點(diǎn)D，則CD的最大值為多少？

教師可以提示學(xué)生從垂線段的角度出發(fā)，作出如圖1所示的輔助線.如圖1，連接OD，根據(jù)條件OC⊥CD得出∠DCO＝90°，在△OCD中，當(dāng)OC取值最小時，CD就取最大值，也就是當(dāng)OC⊥AB時，OC最小，此時B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，所以CD的最大值為12AB=12.

通過這樣的教學(xué)方法，學(xué)生不僅可以掌握解決圓中垂線段最值問題的方法，還能培養(yǎng)學(xué)生幾何圖形的空間感，讓學(xué)生在圖形的動態(tài)與靜態(tài)的轉(zhuǎn)化中找到臨界點(diǎn)，幫助學(xué)生提高對數(shù)學(xué)圓圖形的全面認(rèn)識，找到解題的多重技巧，并突破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)瓶頸，找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心.

2 位置轉(zhuǎn)化，對稱點(diǎn)求最值

對稱點(diǎn)是指平面上的兩個點(diǎn)，它們相對于某個中心點(diǎn)或某條直線對稱，即以這個中心點(diǎn)為對稱中心或以這條直線為對稱軸，兩個點(diǎn)的位置互相鏡像，對稱點(diǎn)在平面幾何中起到重要作用，常常用于解決對稱性相關(guān)的問題.圓圖形本身屬于對稱圖形，因此，教師可以在課堂中為學(xué)生滲透豐富的對稱知識，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化特殊點(diǎn)、特殊線段的位置，從而求解最值[2].

對稱方法在圓中求最值可以幫助學(xué)生降低計算的難度，由于圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性，其任意一點(diǎn)的性質(zhì)都與其對稱點(diǎn)相同，因此，在使用對稱方法時，只需計算部分圓內(nèi)的點(diǎn)，然后通過對稱性推斷出其它對應(yīng)點(diǎn)的值，而無需逐個計算所有點(diǎn).通過利用對稱性，教師可以將問題簡化為只需考慮部分圓內(nèi)的點(diǎn)，從而減少了可能出錯的計算步驟，這樣一來，學(xué)生能夠更加準(zhǔn)確地求得圓中的最值，避免了由于繁瑣的計算過程導(dǎo)致的誤差累積.此外，通過觀察和利用圓的對稱性，學(xué)生還可以更加直觀地理解問題，并通過圖形化表示來幫助自己解決問題，從而更加清晰地把握問題的本質(zhì)，更好地求得圓中的最值.教師可以帶領(lǐng)學(xué)生探索例題解法，促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)ΨQ求最值的奧秘.

例2如圖2，AB是圓O的直徑，點(diǎn)M在圓O上，且AB=8，∠MAB=20°.N點(diǎn)是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一個動點(diǎn)，如果MN=1，則△MNP周長的最小值為多少？

教師可以在圖形中作出輔助線，如圖2所示.作N關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N′，連接MN′，NN′，ON′和ON.根據(jù)圖形可以看出，MN′與AB的交點(diǎn)P′即為△PMN周長的最小時的點(diǎn)，并且又因為N是弧AB的中點(diǎn)，此時有學(xué)生回答，這一步得出了∠A=∠NOB=∠MON=20°，也就進(jìn)一步推出了∠MON′=60°，所以根據(jù)等邊三角形的特點(diǎn)，可以推論出周長的最小值為5.

利用作對稱的方法求最值，有利于降低計算過程的復(fù)雜性，提高學(xué)生的計算效率，減少出錯可能性，增強(qiáng)問題的可視化.同時，這種方法還能夠簡化問題，形成簡單的模型，幫助學(xué)生提高解決問題的效率和準(zhǔn)確性，讓學(xué)生更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和工具解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

3 技巧升格，阿氏圓求最值

阿氏圓是一個由希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼烏斯在數(shù)學(xué)中引入的概念，它是由三個互相切于一點(diǎn)的圓構(gòu)成的，這些圓可以是內(nèi)切或外切的，這些圓的切點(diǎn)和切線之間存在一些特定的關(guān)系.教師可以在數(shù)學(xué)課堂中為學(xué)生引入阿氏圓的概念，幫助學(xué)生求解隱圓的最值難題.

在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生通常會在幾何學(xué)的學(xué)習(xí)中接觸到阿氏圓，學(xué)生需要學(xué)習(xí)如何構(gòu)造阿氏圓、確定它們的性質(zhì)以及探索它們的幾何關(guān)系.首先，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生了解阿氏圓的定義，教師需要讓學(xué)生了解阿氏圓是由三個互相切于一點(diǎn)的圓構(gòu)成的，并且這些圓可以是內(nèi)切或外切的，然后帶著學(xué)生探索阿氏圓的性質(zhì)，學(xué)生可以通過構(gòu)造阿氏圓，觀察它們的性質(zhì).為了更深入地理解與阿氏圓相關(guān)的問題，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生嘗試解決一些與阿氏圓相關(guān)的問題，如給定一些切點(diǎn)和切線的條件，求解阿氏圓的半徑和圓心的坐標(biāo)等，幫助學(xué)生逐漸認(rèn)識和理解阿氏圓，并掌握與之相關(guān)的概念和技巧.

例3如圖3，圓O的半徑為r，點(diǎn)A和點(diǎn)B都在圓O外，點(diǎn)P為圓O上的動點(diǎn)，已知r＝k·AO，連接PB與PA，則當(dāng)PB+k·PA的值最小時，P點(diǎn)的位置如何確定？

經(jīng)過前期的教學(xué)鋪墊，教師可以讓學(xué)生分析題意，有學(xué)生指出兩條線段的最值問題可以轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間的線段來解決，如圖3所示.本題的關(guān)鍵在于如何確定待定系數(shù)k與AP乘積的大小.此時，另一位學(xué)生指出，可以根據(jù)題目中給出的條件得到關(guān)系式PB+k·PA，然后可以將PA表示為PO+OA，其中PO為圓心O到點(diǎn)P的距離，OA為點(diǎn)A到圓心O的距離.因此PB+k·PA=PB+k（PO+OA），PA是圓O上的動點(diǎn)，所以PA的長度是固定的，即PA=2r.將其代入上式得PB+k·PA=PB+k（PO+2r）.接下來，需要分析PB和PO之間的關(guān)系.由于點(diǎn)B在圓O外，所以PB的長度是固定的，即PB=2r.將其代入上式得PB+k·PA=2r+ k（PO+2r）.再確定k的值，使得PB+k·PA的值最小，就可以將上式化簡為2r+k（PO+2r）=2r+k·PO+2kr，由題意可以發(fā)現(xiàn)，PO是圓心O到點(diǎn)P的距離，而我們知道，圓心O到圓上的任意一點(diǎn)的距離是固定的，即PO=r.將其代入上式得2r+k·r+2k·r=（2+k+2k）·r，然后只需要確定k的值，使得（2+k+2k）·r的值最小.由于r是圓O的半徑，是固定的，所以只需要確定k的值即可，為了使（2+k+2k）·r的值最小，我們需要使k的值盡可能小.由于k是待定系數(shù)，可以取任意實數(shù)，所以我們可以取k=0這樣，（2+k+2k）·r的值就達(dá)到了最小值.因此，當(dāng)k=0時，P點(diǎn)的位置可以確定為圓O上與點(diǎn)A相對的點(diǎn).

通過阿氏圓求最值的方法，學(xué)生可以更好地理解圓的概念，讓圓的概念突破傳統(tǒng)的題目設(shè)定的框架，阿氏圓的概念將幾何圖形與代數(shù)式結(jié)合了起來，有利于學(xué)生找到兩者中的平衡關(guān)系，提升思維品質(zhì)，從而更好地求解圓中最值問題[3].

綜上所述，學(xué)生學(xué)習(xí)圓的最值問題具有重要性和意義，圓的最值問題涉及如何通過數(shù)學(xué)方法確定圓的最大值或最小值，如何通過建立數(shù)學(xué)模型、推理和計算，找到最優(yōu)解.這種思維方式可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、數(shù)學(xué)思維和問題解決的能力.學(xué)生掌握了圓的最值問題，不僅可以培養(yǎng)分析和解決問題的能力，還能夠發(fā)展數(shù)學(xué)建模和抽象推廣的能力，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和未來的發(fā)展打下堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 田海霞.初中數(shù)學(xué)幾何圖形中有關(guān)最值問題的解題思路分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（25）：155-157.

[2] 孫明松.初中數(shù)學(xué)圓的解題技巧研究[J].數(shù)理天地（初中版），2022（5）：84-85.

[3] 玉蘭.初中數(shù)學(xué)中關(guān)于“圓”的解題策略探索[J].數(shù)學(xué)之友，2022（14）：71-72.

［責(zé)任編輯：李璟］