摘 要：為了提高鋼筋混凝土深梁設(shè)計的合理性，提出一種拓?fù)鋬?yōu)化-拉壓桿模型（strut-and-tie model，STM）設(shè)計方法，并展開與中國現(xiàn)行規(guī)范推薦的經(jīng)驗設(shè)計方法的對比研究。共設(shè)計了3組6根鋼筋混凝土開孔深梁，開展了相應(yīng)的非線性有限元靜力仿真。結(jié)果表明，采用拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法設(shè)計的構(gòu)件不僅能在減少15%～25%鋼筋用量的情況下提升20%以上的承載力和30%左右的變形能力，而且可以減少孔洞角部等應(yīng)力較大處的混凝土拉損傷，提升這些部位鋼筋的利用率。因此，拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法可為日后的鋼筋混凝土開孔深梁設(shè)計提供參考。

關(guān)鍵詞：鋼筋混凝土開孔深梁；拓?fù)鋬?yōu)化；拉壓桿模型；經(jīng)驗設(shè)計方法

中圖分類號：TU375

文獻標(biāo)志碼：A

收稿日期：2024-02-19

基金項目：湖南省自然科學(xué)基金面上項目（2021JJ30270）

作者簡介：孟燦，男，高級工程師，主要從事工程結(jié)構(gòu)設(shè)計與優(yōu)化研究工作；E-mail：22463516@qq.com

通信作者：張鵠志，男，副教授，博士，主要從事混凝土結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法研究工作；E-mail：zhanghz_hnu@163.com

Simulation study on reinforced concrete deep beams with openingsdesigned using topology optimization-STM method

MENG Can1，2， LI Kefei2， ZHOU Zhijin1，2， ZHANG Huzhi2

（1. Xiangtan Architectural Design Institute Group Co.， Ltd.， Xiangtan 411199， China;

2. School of Civil Engineering， Hunan University of Science and Technology， Xiangtan 411201， China）

Abstract： To improve design rationality， a topology optimization-strut-and-tie model （STM） design method for reinforced concrete deep beams was proposed. A comparative study was performed between the method and the empirical design approach recommended by current Chinese standard codes. Six reinforced concrete deep beams with openings were divided into three groups for design， followed by corresponding nonlinear finite element static simulations. The results findings reveal that beams designed using the topology optimization-STM method can achieve an increase of over 20% in load-bearing capacity and about 30% in deformation capability， while reducing the amount of steel bars by 15%～25%. Additionally， these beams mitigated concrete tension damage in high-stress areas， notably in the corners of openings. The reduction in tension damage improved the efficiency of reinforcement utilization in these specific regions. Conclusively， the topology optimization-STM method offers valuable insights for future designs of reinforced concrete deep beams with openings.

Key words： reinforced concrete deep beam with openings; topology optimization; strut-and-tie model （STM）; empirical design method

鋼筋混凝土深梁［1-2］作為高承載力水平跨越構(gòu)件，在土木工程中發(fā)揮著重要作用。但它不滿足平截面假定，設(shè)計相較于淺梁難度更高。有時因建筑使用功能需求，梁腹還需要開孔，這將進一步加劇這類構(gòu)件中應(yīng)力分布的復(fù)雜性，繼而使設(shè)計更加困難。

拉壓桿模型［3］（strut-and-tie model，STM）是一種基于應(yīng)力分布，簡化描述結(jié)構(gòu)內(nèi)部傳力路徑的桿系結(jié)構(gòu)模型。在此基礎(chǔ)上開展鋼筋混凝土深梁設(shè)計，靈活性高、適應(yīng)性佳、直觀性強，因而得到了歐美規(guī)范［4-7］的普遍認(rèn)同。在該方法中，STM的構(gòu)建是關(guān)鍵。因此，近年來，不少學(xué)者展開相關(guān)研究，SCOTT等［8］提出了一種高兼容性的STM，可用于分析應(yīng)力擾動區(qū)域和混凝土深梁的非線性行為；SOMRAJ等［9］建立了一種具有加載速率效應(yīng)的STM，其壓桿厚度可以隨著加載速率的增加而增加；薛茹等［10］基于梁柱節(jié)點抗震性能試驗中節(jié)點核心區(qū)的受力變形特征，提出了能較準(zhǔn)確計算節(jié)點峰值剪應(yīng)力的改進STM；CHEN等［11］提出一套開裂STM新理論，CHETCHOTISAK等［12］提出一種交互STM方法，ZHOU等［13-14］提出一系列彈塑性STM方法，都在一定程度上提升了STM的構(gòu)建精度。也有研究表明，傳統(tǒng)方法構(gòu)建STM再據(jù)之設(shè)計的鋼筋混凝土深梁性能不夠理想，LU等［15］完成了STM設(shè)計高強度混凝土深梁試驗，得出了STM理論在預(yù)測深梁抗剪強度上偏于保守的結(jié)論；ISMAIL等［16］的研究表明，深梁STM中用于描述雙向應(yīng)力狀態(tài)壓桿的有效系數(shù)不夠可靠；ARABZADEH等［17］認(rèn)為目前的STM理論不適用于具有固定支座的鋼筋混凝土深梁。

拓?fù)鋬?yōu)化［18］作為一種新興數(shù)學(xué)理論，具備良好的構(gòu)型能力，因而在構(gòu)建STM上表現(xiàn)出較強的能力，得到不少STM支持者的關(guān)注。喬文正等［19］采用可移動變形組件顯式拓?fù)鋬?yōu)化方法，通過一組可移動、變形、交叉和重疊的組件來自動形成最優(yōu)拓?fù)?，進而獲取可靠的STM；張鵠志等［20］從建立STM的角度，以其力學(xué)特性出發(fā)，通過遺傳演化結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法，建立了考慮荷載工況多目標(biāo)的直觀可行的STM；賀華軍［21］利用遺傳演化算法建立了開孔深梁的STM，完成了相應(yīng)配筋設(shè)計，并通過試驗證明了這種方法的有效性和設(shè)計能力。

然而，現(xiàn)有研究大多為理論層面或是僅能得到傳力路徑的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，缺乏實際操作性。歐美規(guī)范對于我國的工程實踐而言，雖有一定參考意義，但終究是舶來方法，且它們在STM構(gòu)建和開孔深梁配筋設(shè)計方面自身也尚有不足［22］。國內(nèi)外對通過優(yōu)化結(jié)果構(gòu)建STM再指導(dǎo)開孔深梁配筋設(shè)計的思路并未形成有效和系統(tǒng)的方法，且相關(guān)的驗證性研究非常有限。因此，本文采用拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法和混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范： GB 50010—2010［23］附錄G的經(jīng)驗方法設(shè)計了3組開孔深梁對比構(gòu)件，并完成了相應(yīng)非線性有限元仿真分析，比較兩種設(shè)計方法的同時，驗證了拓?fù)鋬?yōu)化方法構(gòu)造STM的能力和基于STM開展鋼筋混凝土深梁設(shè)計的合理性。

1 拓?fù)鋬?yōu)化-STM設(shè)計方法

1.1 漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法

拓?fù)鋬?yōu)化方法多通過從結(jié)構(gòu)中逐漸刪除低效和無效材料，使結(jié)構(gòu)的形狀向桁架等最佳結(jié)構(gòu)進化，而保留結(jié)構(gòu)單元的應(yīng)力水平趨向均勻。運用傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法中的準(zhǔn)則法，可以在一定程度上對它的結(jié)果進行論證，如在給定的初始設(shè)計域和目標(biāo)體積條件下，具有最小結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，處于滿應(yīng)力狀態(tài)的Michell桁架解，通常與拓?fù)鋬?yōu)化解具有極高的相似性［20-21］，證實了兩者在理論上的吻合。

目前，在工程領(lǐng)域應(yīng)用較多的拓?fù)鋬?yōu)化方法包括固體各向同性材料懲罰模型和漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化（evolutionary structural optimization，ESO）。采用其中的ESO算法［24］，并以體積約束下最小化結(jié)構(gòu)柔度為目標(biāo)，優(yōu)化模型如下：

min：C=12uTKu= ∑Ni=112EixiuTikiui

s.t.：Ku=P

ρV≥ρV，obj（1）

式中：C為結(jié)構(gòu)柔度；K為結(jié)構(gòu)總剛度矩陣；u和P分別為位移向量和荷載向量；N為單元數(shù)目；Ei為單元i的彈性模量；ui和ki分別為單元i的位移向量和單元剛度矩陣；xi為設(shè)計變量，對于被刪除單元和存留單元分別賦為0和1；ρV和ρV，obj分別為結(jié)構(gòu)當(dāng)前體積率及目標(biāo)體積率。

當(dāng)任意單元（例如單元j）被刪除時，結(jié)構(gòu)柔度的改變量（即基于平均柔度的單元應(yīng)變能靈敏度）ΔC可按下式計算：

ΔC=－12PTK－1ΔKu=12uTjkjuj（2）式中：uj和kj分別為單元j的位移向量和單元剛度矩陣。

執(zhí)行ESO的過程中，須事先設(shè)定每代單元刪除數(shù)量n（一般取為初始代單元總數(shù)量的1%左右）以控制優(yōu)化的進程，即每代優(yōu)化中，對存留單元按它們的靈敏度值排序后，將靈敏度值較小的n個單元的xi從1改為0，對應(yīng)刪除操作。

1.2 設(shè)計思路與步驟

STM根據(jù)應(yīng)力分布將傳力路徑簡化為由拉桿和壓桿構(gòu)成的桿系結(jié)構(gòu)，使工程師更容易理解和分析結(jié)構(gòu)在節(jié)點等連接處的受力情況。拓?fù)浣馔ǔ３尸F(xiàn)為Michell桁架，而STM正是一種特定的桁架。因此，引入拓?fù)鋬?yōu)化為構(gòu)建STM提供了一種先進而高效的途徑。對于鋼筋混凝土深梁等復(fù)雜受力結(jié)構(gòu)來說，利用拓?fù)鋬?yōu)化開展設(shè)計還需要一個基于解的圖形處理的STM轉(zhuǎn)建環(huán)節(jié)；再開展STM的力學(xué)分析，基于分析結(jié)果開展受力鋼筋設(shè)計；最終還需要根據(jù)現(xiàn)行規(guī)范要求增加必要的構(gòu)造鋼筋。為此，結(jié)合ESO和STM，可以得到一種成套的鋼筋混凝土深梁的拓?fù)鋬?yōu)化-STM設(shè)計方法。具體步驟如下：

1）按照所得拓?fù)鋱D形中桿件中軸線位置對結(jié)構(gòu)骨架線進行細(xì)化［25］，獲取初步桿系。

2）基于獲取的初步桿系，判斷其節(jié)點位置以及與其相連的桿件。結(jié)構(gòu)中若存在分叉的桿件，當(dāng)兩根桿件間夾角較?。ㄒ话惆葱∮?5°）時，可將它們合并；結(jié)構(gòu)中若存在曲桿，可使用直桿代替。

3）分析以上調(diào)整后桿系的幾何組成。若為幾何可變體系，則添加必要的零桿，使其成為幾何不變體系；同時，將桿系中較細(xì)且對結(jié)構(gòu)幾何組成不起作用的短桿消除。最終的桿系結(jié)構(gòu)即為所建的STM。

4）對以上STM完成結(jié)構(gòu)力學(xué)計算，得到各桿內(nèi)力。

5）驗算壓桿和節(jié)點區(qū)混凝土抗壓強度，當(dāng)壓桿強度不足時，配置受壓鋼筋。

6）對拉桿進行配筋計算和設(shè)計。

7）增設(shè)構(gòu)造配筋及受力鋼筋錨固長度，得到最終的配筋設(shè)計圖。

2 鋼筋混凝土深梁算例設(shè)計

2.1 算例概況

某兩端固定鉸支鋼筋混凝土開孔深梁，如圖1所示，厚度為150 mm。在加載點和支座處均設(shè)有120 mm寬剛性墊塊，以防止混凝土局部受壓破壞。混凝土強度等級為C30，初始彈性模量和泊松比分別取2.15×104 N/mm2和0.2；鋼筋采用HRB400級，彈性模量和泊松比分別取2.0×105 N/mm2和0.3。

2.2 按拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法設(shè)計

優(yōu)化中，單元尺寸選用10 mm×10 mm。每代單元刪除數(shù)量設(shè)為200 個，目標(biāo)體積率設(shè)為8%。對3種工況下的深梁算例開展二維平面ESO后得到拓?fù)浣夥謩e如圖2（a）、圖3（a）和圖4（a）所示，相應(yīng)構(gòu)建的STM分別如圖2（b）、圖3（b）和圖4（b）所示，完成受力鋼筋設(shè)計和構(gòu)造鋼筋增配后得到的配筋方案分別如圖2（c）、圖3（c）和圖4（c）所示（每根梁內(nèi)有兩片完全相同的鋼筋網(wǎng)，分別距梁兩側(cè)表面30 mm處，圖示為其中一片）。由此設(shè)計的3個構(gòu)件分別編號為SL-1-S、SL-2-S和SL-3-S。

2.3 按經(jīng)驗方法設(shè)計

對第2.1節(jié)這些深梁算例，先視作實腹構(gòu)件，根據(jù)文獻［23］中推薦的深受彎構(gòu)件設(shè)計方法進行正截面和斜截面承載力計算及配筋設(shè)計，再基于該規(guī)范中的水平和豎向分布鋼筋等構(gòu)造要求，以及在孔洞周邊增配補強鋼筋的工程慣常做法，得到配筋如圖5所示。由此設(shè)計的3個構(gòu)件分別編號為SL-1-E、SL-2-E和SL-3-E。

根據(jù)工況的不同，將以上6根深梁劃分成3組，SL-1-S和SL-1-E為第1組，SL-2-S和SL-2-E為第2組，SL-3-S和SL-3-E為第3組。各組中兩個對比構(gòu)件僅配筋方案不同，其余設(shè)計參數(shù)均相同。

2.4 用鋼量

比較圖2（c）、圖3（c）、圖4（c）與圖5可知，拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法設(shè)計的深梁鋼筋配置方式更集中，分布筋更少。6個構(gòu)件用鋼量如表1所示，可以看出，優(yōu)化方法設(shè)計的構(gòu)件用鋼量均較少，這一方面是由于經(jīng)驗方法考慮了更多的設(shè)計工況；另一方面是因為優(yōu)化方法布設(shè)了斜鋼筋，更有效地利用了鋼筋，降低相關(guān)消耗。

3 非線性有限元仿真

3.1 仿真參數(shù)介紹與有限元模型驗證

本節(jié)基于ABAQUS平臺，按位移控制加載，開展非線性有限元仿真?；炷羻卧捎肅3D8R八節(jié)點實體單元和CDP損傷塑性模型進行模擬，CDP模型中的膨脹角設(shè)為54°［26］；CDP模型綜合考慮了混凝土材料的剛度退化和不可逆變形，引入累積損傷變量DCDP來表示損傷程度，其值為0表示材料未損壞，1表示完全失效或損壞。假設(shè)開裂后的應(yīng)變軟化將應(yīng)力線性地降低到零，總應(yīng)變約為開裂時應(yīng)變的10倍。鋼筋單元采用T3D2桁架單元和雙線性模型，該模型通過彈性模量、屈服應(yīng)力和切線模量定義了應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線，適用于符合Mises屈服準(zhǔn)則的材料。材料本構(gòu)如圖6所示。采用Newton-Raphson求解策略進行有限元迭代分析，為了避免潛在的數(shù)值問題，強制要求開裂后的應(yīng)力不小于開裂應(yīng)力的1%。由于有限元模型充分考慮了混凝土與鋼筋之間的相互作用，網(wǎng)格相關(guān)性基本可以忽略，在單元網(wǎng)格劃分時，梁體以及支座與加載點處墊塊的單元尺寸分別設(shè)為50 mm和25 mm。

取文獻［27］中的簡支開孔深梁KSL-C-b-1試件，尺寸與配筋等設(shè)計信息如圖7（a）所示，實測混凝土軸心抗壓強度為20.5 N/mm2，底部縱筋、豎向和水平分布筋的抗拉強度分別為396 N/mm2、590 N/mm2和559 N/mm2，最終裂縫分布和破壞形態(tài)如圖7（b）所示?；谝陨蠈崪y材料強度和本節(jié)采用的本構(gòu)模型以及混凝土楊氏模量取3×104 N/mm2、泊松比取0.2，HRB335級和HPB300級鋼筋楊氏模量分別取2×105 N/mm2和2.1×105 N/mm2、泊松比均取0.3，開展非線性有限元分析，結(jié)果如圖7（c）和圖7（d）所示。比較圖7（b）和圖7（c），不難看出，試件裂縫發(fā)展及最終損傷形態(tài)與仿真構(gòu)件混凝土拉損傷有相近規(guī)律；而從圖7（d）可以看出，仿真與試驗得到的荷載-撓度曲線均較為吻合，僅加載初期仿真構(gòu)件的剛度比試件略大，這可能與試驗誤差有關(guān)。經(jīng)過以上對比，本節(jié)采用的有限元模型的有效性和可靠性得到證實。

3.2 仿真結(jié)果

3.2.1 荷載-撓度曲線

3組構(gòu)件的荷載-撓度曲線如圖8所示?？梢钥闯?，第1組中，深梁SL-1-S的極限彈塑性位移和承載力都略大于深梁SL-1-E，且由用鋼量統(tǒng)計（表1）可知，深梁SL-1-S比深梁SL-1-E減少了43%的用鋼量；第2組中深梁SL-2-S在用鋼量比深梁SL-2-E減少33%的前提下，其承載力還比后者高出27%以上，且極限彈塑性位移也要大近41%；第3組中深梁SL-3-S用鋼量比深梁SL-3-E減少了39%，雖然承載力略低于后者，但是其極限彈塑性位移接近后者的2倍?？梢?，采用拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法設(shè)計深梁能大幅減少鋼筋用量，并保證其承載力、變形能力等受力性能不弱于，甚至優(yōu)于經(jīng)驗法設(shè)計的構(gòu)件。

3.2.2 混凝土拉損傷與鋼筋應(yīng)力

3組構(gòu)件的混凝土拉損傷如圖9所示。可以看出，采用拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法和經(jīng)驗法設(shè)計的深梁在混凝土拉損傷上呈現(xiàn)出基本相同的幾何分布特性，較大損傷處為加載點、支座上以及洞口附近。在前兩組中采用拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法和經(jīng)驗法設(shè)計的構(gòu)件損傷程度超過75%的單元數(shù)量分別占總數(shù)的20%和44%；第3組中深梁SL-3-S損傷程度超過75%的單元數(shù)量比深梁SL-3-E少3%。因此，由拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法得到的配筋方案更合理。

3組構(gòu)件的鋼筋應(yīng)力分布如圖10所示?？梢钥闯?，前兩組中采用拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法設(shè)計的構(gòu)件孔洞附近的斜鋼筋全部屈服，而采用經(jīng)驗法設(shè)計的構(gòu)件孔洞四周的構(gòu)造補強鋼筋大多沒有屈服，且深梁SL-1-S的最大鋼筋應(yīng)力比深梁SL-1-E高33%，深梁SL-2-S的最大鋼筋應(yīng)力比深梁SL-2-E高11%，由此表明，拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法可以得到更高的鋼筋利用率，這正是其鋼筋用量大幅減少后，承載力和變形能力還較優(yōu)的直接原因；在第3組中，兩種方法設(shè)計的構(gòu)件孔洞附近的鋼筋屈服情況相差不大，但考慮到深梁SL-3-S鋼筋用量少得多，也表明其鋼筋利用率更高。

3.3 關(guān)于配筋方案與力流傳遞的討論

從圖2（c）可見，當(dāng)集中荷載作用在開孔深梁頂面時，拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法通過在加載點與支座連線上布置斜鋼筋，改善了受洞口影響的力流傳遞，即輔助壓應(yīng)力流繞過洞口，以最短距離傳遞至支座。

當(dāng)集中荷載作用在深梁腹部或底部時，如圖3（c）、圖4（c）所示，通過在集中力作用點處布置傘狀鋼筋，可以將荷載傳遞至構(gòu)件上部混凝土，實現(xiàn)用較少的鋼筋以獲得更大的構(gòu)件承載力。

相對于通用的經(jīng)驗法，拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法設(shè)計出的配筋方案對構(gòu)件內(nèi)部的力流傳遞有著更強的針對性，即可以根據(jù)荷載工況的特點，以最短、最直接的方式將荷載向支座傳遞。這也體現(xiàn)了拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法在結(jié)構(gòu)設(shè)計中的靈活性和高效性。

4 結(jié)論

1）拓?fù)鋬?yōu)化解能夠作為STM構(gòu)建的直接參考，而STM的力學(xué)分析結(jié)果又可以作為鋼筋混凝土深梁等復(fù)雜構(gòu)件中受力鋼筋設(shè)計的依據(jù)。

2）相較于經(jīng)驗方法，拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法設(shè)計深梁能在降低15%～25%用鋼量的前提下，提升構(gòu)件20%以上的承載力和30%左右的極限變形能力。

3）拓?fù)鋬?yōu)化-STM方法設(shè)計開孔深梁，在孔洞角部等應(yīng)力較大處精準(zhǔn)布置斜鋼筋，一方面減少這些部位的混凝土拉損傷，另一方面提升這些部位鋼筋的利用率。

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