奇偶性是函數(shù)的一種重要性質(zhì).判斷函數(shù)奇偶性問題的難度不大，同學(xué)們需靈活運用奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的定義域、圖象、性質(zhì)等進(jìn)行判斷.判斷函數(shù)的奇偶性主要有三種路徑：利用定義法、圖象法以及性質(zhì)法，下面將結(jié)合實例作詳細(xì)的介紹.

一、利用定義法

定義法是指根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義來進(jìn)行判斷，該方法是判斷函數(shù)奇偶性的重要方法.我們知道，具有奇偶性的函數(shù)關(guān)于原點對稱，因此判斷函數(shù)的奇偶性，需首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；然后令x=-x，將其代入函數(shù)式中，得到f（-x）的表達(dá)式，并將其與f（x）進(jìn)行比較.若f（x）=-f（-x），則該函數(shù)為奇函數(shù)；若f（x）=f（-x），則該函數(shù)為偶函數(shù).

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=x2-4；（2）g（x）=ln.

解：（1）由題意可知，f（x）的定義域為（-∞，-2]∪[2，+∞），關(guān)于原點對稱.

又因為f（-x）=（-x）2-4=f（x），

所以f（x）為偶函數(shù).

（2）因為gt;0，即（2+x）（2-x）gt;0，

所以g（x）的定義域為（-2，2），關(guān)于原點對稱.

又因為g（-x）=ln=-ln，則g（x）=-g（-x），所以g（x）為奇函數(shù).

運用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，要注意：（1）判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；（2）要根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，明確f（x）與f（-x）之間的關(guān)系.

二、借助圖象

我們知道，具有奇偶性的函數(shù)具有對稱性.運用圖象法判斷函數(shù)的奇偶性，需先根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，然后判斷函數(shù)是否具有對稱性.若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則該函數(shù)為偶函數(shù)；若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)為奇函數(shù).

例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=ex+e-x；

（2）g（x）={x（-）x（2）x，x 0，

解：（1）作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖1所示.由圖可知該函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，

所以f（x）=ex+e-x為偶函數(shù).

（2）作出函數(shù)g（x）的圖象，如圖2所示.

所以函數(shù)g（x）={x（-）x（2）x，x，為奇函數(shù).

對于分段函數(shù)，往往需先進(jìn)行分段討論；然后根據(jù)函數(shù)的解析式畫出各部分的函數(shù)圖象；最后觀察圖象的對稱性，進(jìn)而判斷出函數(shù)的奇偶性.

三、采用性質(zhì)法

若函數(shù)由幾個簡單函數(shù)復(fù)合而成，則往往需運用性質(zhì)法來判斷函數(shù)的奇偶性.先將復(fù)合函數(shù)拆分為幾個簡單函數(shù)，并判斷出幾個簡單函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而判斷出復(fù)合函數(shù)的奇偶性.一般地，偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)等運算性質(zhì).

例3.已知g（x）為奇函數(shù)，試判斷函數(shù)f（x）=xg（x）?的奇偶性.

解：設(shè)h（x）=x，易知x∈R，定義域關(guān)于原點對稱.

所以h（x）=x為奇函數(shù).

又因為g（x）為奇函數(shù)，f（x）=g（x）?h（x），

所以f（x）=xg（x）?（）為偶函數(shù).

函數(shù)f（x）=xg（x）?可看作h（x）=x和g（x）的積.分別判斷出g（x）和h（x）的奇偶性，即可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)：奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù).

綜上所述，定義法、圖象法和性質(zhì)法都是判斷函數(shù)奇偶性的重要方法.在解題時，同學(xué)們只有仔細(xì)觀察函數(shù)的形式，抓住函數(shù)的特征，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，才能?zhǔn)確而快速地判斷出函數(shù)的奇偶性.

（作者單位：江蘇省如皋市第二中學(xué)）