夏世中

摘要：在九年級(jí)緊張的復(fù)習(xí)階段，教師若善用回歸策略，緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)，能引導(dǎo)學(xué)生在茫茫題海的探尋中讓數(shù)學(xué)知識(shí)得以鞏固，在追根溯源中讓數(shù)學(xué)理論得以歸真，在解題總結(jié)和反思中讓數(shù)學(xué)思想與方法得以彰顯，從而有效提升解題能力.

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí)；回歸；原型；數(shù)學(xué)思想與方法

在九年級(jí)復(fù)習(xí)階段，尤其在各類考試之前，許多學(xué)生都會(huì)陷入題海無(wú)法自拔，只重視解題的數(shù)量而忽視解題的質(zhì)量，只重視解題的結(jié)果而忽視解題的過(guò)程，只忙于解題而忽視解題后的反思，尤其是對(duì)于題中考查的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法等數(shù)學(xué)本質(zhì)方面的思考幾乎為零.這種為了解題而解題的做法不僅消耗了學(xué)生大量的精力，浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間，而且復(fù)習(xí)效果甚微，也在一定程度上制約著學(xué)生解題能力的提高.

那么，結(jié)合九年級(jí)復(fù)習(xí)的特點(diǎn)，如何有效解題才能更好地提升復(fù)習(xí)的效果和學(xué)生解題能力呢？筆者認(rèn)為，回歸策略是一種行之有效的策略.九年級(jí)的復(fù)習(xí)是一個(gè)龐大的系統(tǒng)，在復(fù)習(xí)中，要讓學(xué)生回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，如回歸基礎(chǔ)知識(shí)、基本原型、基本思想與方法等，并以此指導(dǎo)解題，在解題之后進(jìn)一步反思，以促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解和內(nèi)化，形成數(shù)學(xué)觀念，提升解題的思維能力.從數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征來(lái)說(shuō)，可以把回歸的方法細(xì)分為回歸定義、回歸基本原型、回歸數(shù)學(xué)思想與方法三種，下面具體談?wù)劽糠N方法的應(yīng)用.

1 回歸定義

概念是構(gòu)成學(xué)科的基石，定義是對(duì)一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延所作的簡(jiǎn)要而準(zhǔn)確的描述，反映了知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)屬性.“回歸定義”實(shí)質(zhì)是以定義為核心知識(shí)點(diǎn)，用定義的本質(zhì)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，是一種樸素又重要的回歸方法.核心概念、重要定義向來(lái)都是中考試題的重要考點(diǎn)，在突出考查數(shù)學(xué)的本質(zhì)與基礎(chǔ)的同時(shí)，也引導(dǎo)著教與學(xué)要回歸本源，重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的夯實(shí).

例1 （2020湖北黃岡中考試題）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)五次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表1所示，如果從這四位同學(xué)中，選出一位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.那么應(yīng)選（）去.

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

分析：本題主要考查平均數(shù)、方差的定義.先看平均數(shù)，平均數(shù)大的同學(xué)其成績(jī)相對(duì)較好，若平均數(shù)相同，則選擇方差小的同學(xué).方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的量.方差越大，則數(shù)據(jù)與平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，方差越小，數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性也越好.所以乙的成績(jī)好且穩(wěn)定.故選：B.

概念和定義是數(shù)學(xué)本質(zhì)的根本，熟練掌握它們的內(nèi)涵與外延，是深入理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)，是起決定性作用的第一步，因此教師要予以重視并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行靈活運(yùn)用.

2 回歸基本原型

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題要善于退，直到退到不能再退為止，再?gòu)拇顺霭l(fā)向前推進(jìn).九年級(jí)的復(fù)習(xí)中，有大量的綜合題型，對(duì)于這類復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，要化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知，找出其中的原型.當(dāng)然回歸原型，不光可以把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題，也可以是把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，還可以是把復(fù)雜的方法轉(zhuǎn)化為基本的方法.這樣一個(gè)撥云去霧溯根源的過(guò)程有利于我們深入理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，達(dá)到解一題通一類的復(fù)習(xí)效果.

例2 （2022年武漢市中考題）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF.過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J.分別交DF，LH于點(diǎn)I，K.若CI=5，CJ=4，則四邊形AJKL的面積是___________.

分析：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥CI，交CI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥CI于點(diǎn)Q.通過(guò)作兩條垂線，構(gòu)造兩組全等三角形△ACJ≌△CDP（AAS）和△BCJ≌△CFQ（AAS）.因此借助全等三角形實(shí)現(xiàn)線段長(zhǎng)度關(guān)系的轉(zhuǎn)移，AJ=CP，DP=CJ=4，BJ=CQ，QF=CJ=4，所以DP=QF，從而△DPI≌△FQI（AAS），所以DI=FI，PI=QI.因?yàn)椤螪CF=90°，所以DI=FI=CI=5.

在Rt△DPI中，由勾股定理可得PI=3，所以QI=PI=3，于是AJ=CP=CI+PI=5+3=8，從而B(niǎo)J=CQ=CI-QI=5-3=2，則AB=AJ+BJ=8+2=10.因?yàn)樗倪呅蜛BHL為正方形，所以AL=AB=10.又四邊形AJKL為矩形，故四邊形AJKL的面積為AL·AJ=80.

由圖2可以總結(jié)出以下幾個(gè)結(jié)論：（1）S_△ABC=S_△DFC；（2）若IJ⊥AB，則DI=FI，AB=2CI；（3）若DI=FI，則IJ⊥AB，AB=2CI.回歸到以往的解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這類幾何圖形還有其他的形態(tài).如圖3，把兩個(gè)正方形換成兩個(gè)等腰直角三角形；如圖4，把兩個(gè)正方形換成兩個(gè)相似直角三角形；等等.它們的相關(guān)結(jié)論也是成立的.

多組相似的幾何圖形必然是由某個(gè)原始的幾何模型衍生和變形得到的，通過(guò)尋根溯源，我們發(fā)現(xiàn)這一模型來(lái)源于七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（Brahmagupta）的一個(gè)定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)這條邊對(duì)邊的中點(diǎn).由該定理衍生了一系列的幾何圖形，其模型的結(jié)論當(dāng)然都成立.至此，學(xué)生豁然開(kāi)朗.盡管圖形有著七十二變的魔力，但是總也逃不出我們的掌心，我們有復(fù)原它的能力，讓其回歸本真，各個(gè)擊破.

3 回歸數(shù)學(xué)思想與方法

雖然九年級(jí)的復(fù)習(xí)內(nèi)容多而雜，但是眾多的內(nèi)容所反映出的數(shù)學(xué)思想與方法卻十分有限.比如，在初中階段由一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的概念和性質(zhì)所提煉出的思想都叫做函數(shù)思想，方程知識(shí)對(duì)應(yīng)的是方程思想，幾何與代數(shù)的有機(jī)結(jié)合形成數(shù)形結(jié)合思想.這些思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的概括和濃縮，而數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體反映，如整體思想中體現(xiàn)了換元法.這些數(shù)學(xué)思想與方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓，是解題的金鑰匙.在解題教學(xué)中回歸數(shù)學(xué)思想與方法的滲透，是提升學(xué)生解題能力的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)能力、發(fā)展思維的重要途徑，甚至影響著學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與知識(shí)的應(yīng)用能力.

例3 反比例函數(shù)y=k/x（x＞0）過(guò)點(diǎn)A（3，4），直線AC與x軸交于點(diǎn)C（6，0），過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線BC交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B.

（1）求k的值與點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在平面內(nèi)有點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)D的坐標(biāo).

分析：第（1）問(wèn)以函數(shù)思想來(lái)指導(dǎo)解題，具體體現(xiàn)在用待定系數(shù)法求k的值，求出k=12，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，2）.

第（2）問(wèn)，若以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則需在已知A（3，4），B（6，2），C（6，0）的前提下求點(diǎn)D.由于平行四邊形的形狀具有不確定性，因此需要分類討論，所以以分類討論思想為指導(dǎo)來(lái)解題.

不妨以AC為平行四邊形的邊還是對(duì)角線為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論.

①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖5，AD∥BC，且AD=BC，建立關(guān)系，列方程y_A-y_D=y_B-y_C，求得D（3，2）.

②當(dāng)AC為一邊時(shí)，如圖5，當(dāng)四邊形ACBD′為平行四邊形時(shí)，AD′∥CB且AD′=CB.

建立關(guān)系，列方程y_D′-y_A=y_B-y_C，求得點(diǎn)D′（3，6）.

③當(dāng)AC為一邊時(shí)，如圖5，當(dāng)四邊形ACD″B為平行四邊形時(shí)，AC=BD″且AC=BD″.

建立關(guān)系，列方程x_D″-x_B=x_C-x_A，y_D″-y_B=y_C-y_A，求得D″（9，-2）.

綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，2）或（3，6）或（9，-2）.

這是一道反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合題，以此題為載體，在講解時(shí)以函數(shù)思想、方程思想和分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想為統(tǒng)領(lǐng)，指導(dǎo)學(xué)生如何一步步運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解題.在融會(huì)貫通平行四邊形的性質(zhì)、判定等知識(shí)的同時(shí)，也讓學(xué)生理解蘊(yùn)含在其中的思想方法，以及思想方法對(duì)解題的指導(dǎo)作用.

九年級(jí)的復(fù)習(xí)資料堆積如山，唯有把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能把資料從厚變薄，把所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化、條理化.九年級(jí)的題型千變?nèi)f化，題設(shè)條件錯(cuò)綜復(fù)雜，唯有緊扣數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能隨機(jī)應(yīng)變，輕松應(yīng)對(duì).回歸定義、基本原型、數(shù)學(xué)思想與方法正是回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)的具體方法.這種由表及里、循序漸進(jìn)、步步深入的解題方式，能幫助學(xué)生尋覓到解題的門(mén)道，尋求到通解與通法，以不變應(yīng)萬(wàn)變，從而脫離茫茫題海，體驗(yàn)成功解題的樂(lè)趣，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的有效提升，也無(wú)形中增強(qiáng)了學(xué)生備戰(zhàn)中考的信心.