彭月 曹文棟 童莉 譚英

［摘? 要］ 推進(jìn)深度融合是教育信息化2.0的重要任務(wù)，數(shù)學(xué)軟件GeoGebra與“圖形與幾何”的深度融合有利于挖掘數(shù)形結(jié)合思想、培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)、促進(jìn)自主合作學(xué)習(xí)，對(duì)形成動(dòng)態(tài)開放、以學(xué)生為本、可持續(xù)的新型教學(xué)形態(tài)具有積極的意義. 研究者以勾股定理教學(xué)為例，從勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明、延伸三個(gè)方面設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，通過GeoGebra形成和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、推理能力、問題解決能力，促進(jìn)深度融合.

［關(guān)鍵詞］ GeoGebra軟件；深度融合；圖形與幾何

隨著教育信息化2.0時(shí)代的到來，信息技術(shù)受到越來越廣泛的關(guān)注. 2021年3月1日，教育部等六部門印發(fā)的《義務(wù)教育質(zhì)量評(píng)價(jià)指南》中強(qiáng)調(diào)了義務(wù)教育階段信息技術(shù)深度融合的重要性，技術(shù)發(fā)展對(duì)教育發(fā)展推動(dòng)的必然性. 信息技術(shù)的使用能有效優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的繪制圖形、展示變化、探究性質(zhì)等環(huán)節(jié)，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、探究熱情，培養(yǎng)思維能力、創(chuàng)新能力.

初中階段是學(xué)生思維發(fā)展的黃金時(shí)期，處于由具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段的過渡. 幾何特有的抽象性有利于發(fā)展學(xué)生的抽象能力和推理能力，但學(xué)生對(duì)幾何的理解受限于空間想象力不足，很難對(duì)幾何動(dòng)態(tài)進(jìn)行清晰描述. GeoGebra作為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，對(duì)幾何變化的呈現(xiàn)與分解能降低抽象難度，幫助學(xué)生理解復(fù)雜的變化過程，為學(xué)生的幾何認(rèn)知、方法構(gòu)建提供腳手架，促進(jìn)理解、發(fā)展學(xué)力［1］，下文就初中“圖形與幾何”的內(nèi)容探究深度融合的實(shí)現(xiàn).

GeoGebra軟件與初中“圖形

與幾何”教學(xué)深度融合的含義

GeoGebra軟件因?yàn)樾畔⒓夹g(shù)的特點(diǎn)，能將“圖形與幾何”中的變化與難點(diǎn)可視化，有利于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀. GeoGebra在“圖形與幾何”中的教學(xué)優(yōu)勢(shì)是實(shí)現(xiàn)深度融合的基礎(chǔ).

1. GeoGebra軟件與初中“圖形與幾何”的關(guān)聯(lián)

GeoGebra軟件名稱來源于Geometry（幾何）與Algebra（代數(shù)）的組合，作為一款數(shù)形結(jié)合的軟件，具有方便繪制、動(dòng)態(tài)直觀、查看進(jìn)度等優(yōu)點(diǎn)［2］，為圖形的動(dòng)態(tài)展示與合作探究提供諸多便利.

具體到初中“圖形與幾何”板塊而言，GeoGebra的功能首先體現(xiàn)在繪制圖形的便捷性上，豐富的基礎(chǔ)圖形與指令輸入極大地簡化了操作難度. 同時(shí)它還體現(xiàn)在動(dòng)態(tài)展示的直觀性上，能幫助學(xué)習(xí)者洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)、分解變化難點(diǎn)、明確因果邏輯. 更為重要的是，GeoGebra洞悉數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)，繪制過程由形到數(shù)，輸入過程由數(shù)到形，構(gòu)建了數(shù)與形的理解通道. 最后是探究進(jìn)度可視化，在GeoGebra制作的課程中可以實(shí)時(shí)查看學(xué)生的探究情況，智能化的操作方便教師了解課堂情況，優(yōu)化教學(xué)進(jìn)程. 綜上所述，GeoGebra在“圖形與幾何”上的豐富功能與獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)是深度融合的基礎(chǔ).

2. GeoGebra軟件與初中“圖形與幾何”教學(xué)深度融合的內(nèi)涵

目前信息技術(shù)與深度融合的豐富內(nèi)涵主要體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)主體、教學(xué)環(huán)境的改變上，何為深度融合學(xué)界并沒有統(tǒng)一或可操作的結(jié)論，綜合文［3］［4］的觀點(diǎn)，對(duì)GeoGebra軟件與“圖形與幾何”教學(xué)深度融合的內(nèi)涵歸納如下：將GeoGebra軟件應(yīng)用到“圖形與幾何”教學(xué)中，形成動(dòng)態(tài)開放、以學(xué)生為本、可持續(xù)的新型教學(xué)形態(tài)，它使得學(xué)生能主動(dòng)參與探究，構(gòu)建幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)終身化學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力.

在這樣的教學(xué)形態(tài)中，教師需要具備較強(qiáng)的信息素養(yǎng)與創(chuàng)新能力，成為活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、教學(xué)的指導(dǎo)者、過程的評(píng)估者；學(xué)生是知識(shí)理解的聯(lián)結(jié)者、活動(dòng)交流的合作者、有效思考的創(chuàng)造者，讓GeoGebra軟件的應(yīng)用不只局限于課堂，從課堂到課外，提升師生的信息素養(yǎng)，真正實(shí)現(xiàn)可持續(xù)與終身化的學(xué)習(xí).

對(duì)幾何內(nèi)容而言，教學(xué)軟件Geo-Gebra應(yīng)充分發(fā)揮信息時(shí)代的優(yōu)點(diǎn)與特點(diǎn)，形成處處可學(xué)、時(shí)時(shí)能學(xué)的開放學(xué)習(xí)資源，并通過數(shù)形結(jié)合優(yōu)化圖形展示、擴(kuò)增幾何內(nèi)容、重構(gòu)單元教學(xué)，形成和發(fā)展學(xué)生的抽象能力、幾何直觀、推理能力，具體的內(nèi)涵如圖1所示.

GeoGebra軟件與初中“圖形

與幾何”教學(xué)深度融合的策略

GeoGebra軟件的豐富功能與多元呈現(xiàn)有利于教學(xué)形態(tài)的轉(zhuǎn)變，從功能上看，GeoGebra軟件的深度融合能優(yōu)化教學(xué)過程中的探究驗(yàn)證、計(jì)算推理、動(dòng)態(tài)變化、內(nèi)容擴(kuò)增等環(huán)節(jié)；從效果上看，GeoGebra軟件對(duì)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想、培養(yǎng)直觀感知能力、促進(jìn)自主合作學(xué)習(xí)具有重要意義.

1. 開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想

GeoGebra軟件的數(shù)形結(jié)合特點(diǎn)為教學(xué)活動(dòng)提供了有效的探究平臺(tái)，讓學(xué)生經(jīng)歷用代數(shù)方法解決幾何問題的過程，并在探究中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的深入理解，提升教學(xué)實(shí)效，體現(xiàn)學(xué)生本位. 在實(shí)際課堂中，由于探究問題的不規(guī)范或探究工具的缺失，往往會(huì)讓探究活動(dòng)流于形式. 在以學(xué)生為主體的課堂中，教師會(huì)通過問題串引發(fā)學(xué)生的思考從而引出探究活動(dòng)，但問題的設(shè)置總是追求知識(shí)而非原理，探究的目的是證明而非對(duì)實(shí)際情況的探索發(fā)現(xiàn). 這樣的探究過程忽視了學(xué)生的思維邏輯，不利于體現(xiàn)學(xué)生的主體性.

有效的概念探究應(yīng)該類似于概念的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生在此過程中理解概念從何而來、應(yīng)用于何處，在實(shí)際問題的探究中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力. GeoGebra軟件作為探究平臺(tái)，能有效簡化繪制、測(cè)量等步驟，并且繪圖區(qū)自帶直角坐標(biāo)系，通過圖形與代數(shù)的一一對(duì)應(yīng)讓學(xué)生更加深刻地理解數(shù)形結(jié)合在問題探究中的優(yōu)勢(shì)，并且充分發(fā)揮以上優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生在有效的探究體驗(yàn)中培養(yǎng)思維能力.

2. 提供動(dòng)態(tài)變化環(huán)境，培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)

GeoGebra軟件作為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，對(duì)圖形變化過程的展現(xiàn)能讓學(xué)生直觀感知圖形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和變化邏輯，有助于學(xué)生對(duì)變化的整體感知，并通過對(duì)變化過程的拆解，把握變化本質(zhì)，優(yōu)化問題解決.

許多幾何問題的難點(diǎn)在于無法將文字轉(zhuǎn)化成圖形，GeoGebra軟件的多維呈現(xiàn)能直觀展示運(yùn)動(dòng)變化過程，讓思維在具體圖形中找到落腳點(diǎn)，觸及圖形變化規(guī)律，分析變化中的不變量. 比如在“動(dòng)角問題”中，對(duì)于多個(gè)不繞同一方向旋轉(zhuǎn)的三角形，難以想象三角形各邊互相形成直角的情況，講解中也只能繪制符合條件的特殊情況，并借助教具大致說明. 學(xué)生很難理解抽象的變化過程，對(duì)思維較薄弱的學(xué)生更加重了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理負(fù)擔(dān). 而GeoGebra軟件通過完整展現(xiàn)先讓學(xué)生整體感知問題，觀察變化過程與符合要求的情況；再通過講解總結(jié)優(yōu)化，用圖形展示直觀，借證明規(guī)范邏輯，在GeoGebra軟件的深度融合中培養(yǎng)直觀感知能力與嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)思維.

3. 滿足內(nèi)容延伸需求，激活自主學(xué)習(xí)意識(shí)

GeoGebra軟件的動(dòng)態(tài)直觀與開放性，能優(yōu)化許多教學(xué)資料的呈現(xiàn)方式. 從核心素養(yǎng)上看，為了讓學(xué)生了解概念的來源與原理，教材中通常設(shè)置了課外延伸，如果能用Geo-Gebra軟件呈現(xiàn)延伸內(nèi)容，能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，從而營造更加自主開放的學(xué)習(xí)環(huán)境.

以勾股定理為例，勾股定理的證明方法據(jù)記載已超過了400種，課堂上卻只對(duì)畢達(dá)哥拉斯、趙爽弦圖、“總統(tǒng)”證法這三種面積法進(jìn)行介紹，其他證明中精彩的邏輯推導(dǎo)、圖形展示往往難以涉及. 但教材的課外延伸不僅介紹了勾股定理的來源，還展示了中國的“青朱出入圖”、古印度的“無字證明”、達(dá)·芬奇的證明方法等豐富資料，其中蘊(yùn)含著面積等量代換的證明思路與悠久傳承的數(shù)學(xué)文化. GeoGebra軟件的有效呈現(xiàn)會(huì)激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，使學(xué)生產(chǎn)生深入探索的欲望.

這也意味著，知識(shí)講解與探索不能僅靠課上，GeoGebra與課堂的深度融合將打破課堂的“墻”，教師可以將課堂資源和延伸資料上傳，供學(xué)生自主下載，讓學(xué)生反復(fù)觀看、操作、理解，溫故知新聯(lián)系知識(shí)；同時(shí)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)課堂的延伸內(nèi)容進(jìn)一步地探索，擴(kuò)增課堂知識(shí). 培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力能有效幫助學(xué)生適應(yīng)復(fù)雜變化的信息化時(shí)代，塑造未來的世界公民，實(shí)現(xiàn)人的可持續(xù)發(fā)展.

GeoGebra軟件與初中勾股

定理教學(xué)深度融合的實(shí)踐

為了更直觀地展現(xiàn)GeoGebra與幾何教學(xué)的深度融合，本文以勾股定理為例進(jìn)行設(shè)計(jì). 勾股定理位于北師大版初中八年級(jí)上冊(cè)第一章，是繼全等三角形、軸對(duì)稱等章節(jié)后對(duì)三角形的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，將三角形的研究對(duì)象從角擴(kuò)充成邊. 承接于等腰三角形、30°與45°特殊直角三角形邊長關(guān)系的認(rèn)識(shí)，其本質(zhì)是對(duì)直角三角形三邊關(guān)系的總結(jié)，下啟高中正余弦定理、基本不等式、解三角形等知識(shí)，與著名的費(fèi)馬猜想、鮑恩猜想、埃斯柯特猜想等相關(guān)聯(lián)，是初中最重要的幾何定理之一.

勾股定理的教學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、推理能力、問題解決能力，以素養(yǎng)為引領(lǐng)，以問題為驅(qū)動(dòng)，通過探究活動(dòng)激發(fā)學(xué)生的推理熱情，從特殊到一般發(fā)現(xiàn)并總結(jié)勾股定理. 勾股定理內(nèi)涵豐富，探究過程能有效培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力. 借助Geo-Gebra軟件探索勾股定理，有利于學(xué)生更深刻地理解勾股定理的來源，融合過程具有典型性、豐富性、開放性的特點(diǎn). 下文以第一節(jié)“認(rèn)識(shí)勾股定理”的三個(gè)探究活動(dòng)為例作為展示.

1. 觀圖測(cè)積，化形為數(shù)

觀察圖形，激發(fā)問題意識(shí)；測(cè)量面積，發(fā)現(xiàn)三邊關(guān)系；化形為數(shù)，得到勾股定理. 通過畢達(dá)哥拉斯故事中的地磚引發(fā)學(xué)生對(duì)于直角三角形三邊的思考，提出問題：對(duì)于任意直角三角形是否滿足兩直角邊的正方形面積之和等于斜邊正方形的面積？激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)，讓學(xué)生產(chǎn)生量一量、算一算的沖動(dòng). 引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng)一，在探究開始前詳細(xì)說明探究課題、內(nèi)容、步驟，明確研究問題，規(guī)范學(xué)生行為，讓學(xué)生把探究過程變成解決問題的過程.

在探究活動(dòng)中，對(duì)步驟的理解存在一個(gè)過程，而復(fù)選框可以讓多個(gè)研究對(duì)象按順序出現(xiàn)，逐個(gè)分解重點(diǎn)，降低學(xué)生的理解難度，且多次探究操作能幫助學(xué)生獲得豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為定理的發(fā)現(xiàn)啟發(fā)思路，培養(yǎng)學(xué)生歸納推理的能力. 該環(huán)節(jié)先讓學(xué)生對(duì)圖形有一個(gè)直觀認(rèn)知，再通過計(jì)算驗(yàn)證思路，整個(gè)過程由淺入深、由形到數(shù). 通過多感官參與激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)熱情，通過數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力，是GeoGebra功能的典型體現(xiàn).

2. 旋轉(zhuǎn)弦圖，理解證明

旋轉(zhuǎn)弦圖，分解變化過程；聚焦變化，證明勾股定理. 引導(dǎo)學(xué)生通過GeoGebra進(jìn)行探究證明，綜合考慮各個(gè)證明的挑戰(zhàn)性與觀賞性，在探究過程中主要針對(duì)趙爽弦圖證法進(jìn)行動(dòng)態(tài)操作. 分步驟展現(xiàn)弦圖變化，從分析組成、切割分類到旋轉(zhuǎn)變化，從正方形回到正方形，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力.

該過程原始圖與弦圖的呈現(xiàn)，從兩個(gè)方面展現(xiàn)了圖形的變化，沒有弦圖時(shí)的圖形是一大一小兩個(gè)正方形，有弦圖時(shí)被分割成了四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形. 由復(fù)雜到簡單的過渡，幫助學(xué)生直觀體會(huì)圖形的旋轉(zhuǎn)變化，親自動(dòng)手操作能有效激發(fā)學(xué)生的探究熱情. 獨(dú)立的探究活動(dòng)能讓學(xué)生自主掌握操作的快慢，每個(gè)學(xué)生都可以根據(jù)自己的理解充分探索變化過程，達(dá)成學(xué)習(xí)的個(gè)性化，促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí). 不過完整的證明還需要強(qiáng)調(diào)書寫要求和格式規(guī)范，通過面積的等量代換思想，幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的數(shù)學(xué)習(xí)慣.

證明后，還可以設(shè)置下列思考題：分別以直角三角形的三邊往外作半圓、等腰直角三角形、等邊三角形，如圖4所示，S1，S2，S3的面積之間分別是什么大小關(guān)系？分層教學(xué)幫助學(xué)生深化對(duì)勾股定理的理解.

思考題將勾股定理的應(yīng)用進(jìn)行拓展，通過變式練習(xí)讓學(xué)生領(lǐng)悟核心、熟悉公式、明確本質(zhì).

3. 勾股樹下，文化育人

延伸勾股定理，呈現(xiàn)精彩文化. 在探究完勾股定理的證明后可以簡單科普《周髀算經(jīng)》，讓學(xué)生感受中國古代的數(shù)學(xué)文化與發(fā)展. 接下來回到勾股樹的基本圖形，提出問題：若對(duì)勾股定理的圖形進(jìn)行多次重復(fù)會(huì)變成什么樣子呢？以此激發(fā)學(xué)生的探究熱情，使教學(xué)走入學(xué)生的情感與思維深處. 引出探究活動(dòng)三：探究勾股樹的形成與變化（如圖5）. 通過正方形個(gè)數(shù)的增加與滑動(dòng)條的滑動(dòng)感受勾股樹的動(dòng)態(tài)變化，該過程能極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和分享欲望.

該探究作為教材內(nèi)容的擴(kuò)增，一方面能讓學(xué)生從更本質(zhì)的角度發(fā)現(xiàn)模型、總結(jié)規(guī)律，更全面地理解勾股定理的應(yīng)用與含義；另一方面Geo-Gebra生成的勾股樹體現(xiàn)了勾股定理的奇異美，對(duì)美的體驗(yàn)深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，同時(shí)教師還可以通過勾股樹為學(xué)生科普數(shù)學(xué)分形與數(shù)學(xué)文化，展示豐富的分形圖形：謝爾賓斯三角形、科赫雪花曲線等，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣與探究欲望，感受知識(shí)的豐富應(yīng)用.

在對(duì)以上三個(gè)活動(dòng)進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐后，不難發(fā)現(xiàn)GeoGebra的參與能有效吸引學(xué)生的注意力，讓更多的學(xué)生參與到課堂探究中來. 這說明GeoGebra與教學(xué)的深度融合是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、合作交流意識(shí)的有效路徑，也是對(duì)創(chuàng)造開放的、以學(xué)生為本課堂的積極嘗試. 隨著教育信息化2.0時(shí)代的到來，我們對(duì)Geo-Gebra的思考也應(yīng)該進(jìn)一步深化，為什么要融合、何時(shí)融合、怎么融合、融合到何種程度都還值得繼續(xù)追問，通過GeoGebra發(fā)展學(xué)生的終身化學(xué)習(xí)能力任重而道遠(yuǎn).

參考文獻(xiàn)：

［1］羅建宇. 從融合到創(chuàng)新：基于GeoGebra的數(shù)學(xué)深度教學(xué)［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（02）：23-26.

［2］張志勇. 基于GeoGebra的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與可視化教學(xué)［M］. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2018.

［3］祝智庭，魏非. 教育信息化2.0：智能教育啟程，智慧教育領(lǐng)航［J］. 電化教育研究，2018，39（09）：5-16.

［4］譚奇，袁智強(qiáng). 整合技術(shù)的數(shù)學(xué)問題解決框架及其應(yīng)用［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（04）：48-54.