湯雪峰

［摘? 要］ 問題驅(qū)動(dòng)視域下探索初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要渠道之一. 研究者從問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)與深度教學(xué)這兩個(gè)核心概念出發(fā)，以“平面幾何”的中考復(fù)習(xí)教學(xué)為例，分別從“畫圖，問題驅(qū)動(dòng)確定研究對(duì)象”“研圖，問題探究揭露圖形本質(zhì)”“用圖，問題解決引發(fā)深度思考”三方面展開分析與思考.

［關(guān)鍵詞］ 問題驅(qū)動(dòng)；深度教學(xué)；平面幾何

核心概念界定

1. 問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)

問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)簡稱PBL教學(xué)，是指將問題作為教學(xué)主線所規(guī)劃的課堂，以領(lǐng)域內(nèi)初步問題作為探究的起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題通過探索與交流獲取真知的一種教學(xué)方式. 實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，好的問題可有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，營造學(xué)習(xí)氛圍，促使學(xué)生更好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)與技能，并在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作交流，拓展思維，提升學(xué)習(xí)能力.

2. 深度教學(xué)

深度教學(xué)是指在有效教學(xué)的基礎(chǔ)上，深挖教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次思考，以進(jìn)一步提升思維品質(zhì)，獲得自主發(fā)現(xiàn)、提出、探索與解決問題的能力，最終指向核心素養(yǎng)的教學(xué)策略. 因此，深度教學(xué)是促使深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生的基礎(chǔ). 對(duì)數(shù)學(xué)課堂而言，學(xué)生、學(xué)科與學(xué)習(xí)是設(shè)計(jì)教學(xué)的基本對(duì)象，深度教學(xué)則是一種深入教材本質(zhì)，觸及學(xué)習(xí)者心靈深處的一種教學(xué)策略. 深度教學(xué)并不滿足于知識(shí)表面的傳輸，而是在遵循教學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上，促使“教”與“學(xué)”深度融合的過程.

實(shí)施教學(xué)

問題驅(qū)動(dòng)下的平面幾何深度教學(xué)一般遵循“畫圖—研圖—用圖”的過程（見圖1），學(xué)生通過自主操作形成認(rèn)知沖突，隨著觀察、猜想、驗(yàn)證的進(jìn)行，可形成高階的認(rèn)知，提煉從一般到特殊，再從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

1. 畫圖：問題驅(qū)動(dòng)確定研究對(duì)象

多媒體播放微視頻進(jìn)行課堂導(dǎo)入，內(nèi)容為“證明任意三角形均為等邊三角形”，具體過程為：如圖2，作△ABC中BC邊的中垂線與∠BAC的角平分線相交于點(diǎn)O，分別連接BO與CO，并作OC′⊥AB，點(diǎn)C′為垂足，OB′⊥AC，點(diǎn)B′為垂足.

根據(jù)“AAS”可證得△AOC′≌△AOB′，根據(jù)“HL”證得△C′OB≌B′OC，所以AC′=AB′，BC′=CB′，因此C′A+C′B=B′A+B′C，即AB=AC.? 與之類似，可得AC=BC，因此AB=AC=BC，所以△ABC是一個(gè)等邊三角形.

提出問題：視頻中證明任意三角形均為等邊三角形的方法是否合理？如果不合理，問題出在哪里呢？

生1：肉眼觀察圖2，發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖就不是等邊三角形.

師：既然你們覺得這個(gè)圖不標(biāo)準(zhǔn)，那么該怎樣驗(yàn)證這個(gè)疑惑呢？

活動(dòng)1 ？搖尺規(guī)作圖

如圖3，作△ABC中∠A的角平分線，使之與BC邊的中垂線相交于點(diǎn)E，分別連接BE，CE，過點(diǎn)E分別作AB，AC邊的垂線，點(diǎn)G、H為垂足.

師：通過尺規(guī)作圖，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：作圖發(fā)現(xiàn)BC邊的中垂線與∠A的角平分線的交點(diǎn)E落于△ABC的外部.

設(shè)計(jì)意圖？搖 此過程意在引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生通過探索問題對(duì)本節(jié)課知識(shí)產(chǎn)生探索興趣，由此主動(dòng)地參與到幾何圖的探究中，這屬于深度教學(xué)的起點(diǎn)，為深度學(xué)習(xí)的發(fā)生搭建了平臺(tái). 學(xué)生親歷操作與合作，充分認(rèn)識(shí)到等邊三角形的性質(zhì)，為接下來的探究活動(dòng)提供了素材.

2. 研圖：問題探究揭露圖形本質(zhì)

探究1 ？搖通過畫圖，結(jié)合線段中垂線與角平分線的性質(zhì)，說說你們的收獲.

生3：根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，可得BE=CE；根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，可得GE=HE.

探究2？搖 從圖形特征出發(fā)，還能發(fā)現(xiàn)其他結(jié)論嗎？

學(xué)生自主探索，小組合作交流，提煉匯總，匯報(bào)結(jié)論.

（1）圖中特殊圖形或圖形關(guān)系有：等腰三角形CEB，Rt△AGE，Rt△AEH，Rt△BEG，Rt△CEH，△AGE≌△AHE，△BEG≌△CEH.

（2）圖中元素間的聯(lián)系：分別將線段間的聯(lián)系與角之間的聯(lián)系展示出來.

（3）圖中圖形變換為基本圖形.

圍繞著點(diǎn)E進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，可獲得△CEH，且A、G、E、H四點(diǎn)共圓，A、B、E、C四點(diǎn)共圓……

設(shè)計(jì)意圖？搖 引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)研究幾何圖形是復(fù)習(xí)課常用的手段. 此環(huán)節(jié)意在帶領(lǐng)學(xué)生從幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，借助轉(zhuǎn)化思想引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形來，并逐步研究其各個(gè)幾何元素間的聯(lián)系與規(guī)律，由此獲得一定的結(jié)論，為解決實(shí)際問題奠定基礎(chǔ).

探究3？搖 借助一般到特殊的思想進(jìn)行變式探究.

師：我們?nèi)魧栴}進(jìn)行特殊化，比如通過條件的增加，使得△ABC為特殊三角形，以上獲得的結(jié)論還成立嗎？若讓你添加，你會(huì)增加什么條件？

基于學(xué)生回答，提出如下問題：

如圖4，△ABC中的∠C=90°，作∠BCA的角平分線和AB邊的中垂線相交于點(diǎn)E，分別連接AE，BE.

問題：（1）求證：△ABE為一個(gè)等腰直角三角形.

（2）如果CA=8，CB=6則四邊形CAEB的面積是多少？

（3）在問題（2）的基礎(chǔ)上，求EC的長.

問題1？搖 該圖增加的條件是什么？和之前所探索的圖形存在哪些異同點(diǎn)？

問題2？搖 根據(jù)第（1）題可得△ABE為等腰直角三角形，第（2）題中待求四邊形與第（3）題中的線段EC在圖中擁有什么特殊性嗎？怎樣計(jì)算？

基于以上兩個(gè)問題的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考、合作交流，大致形成如下基本圖形及解題方法：

如圖5，因?yàn)镃E為∠BCA的角平分線，可將關(guān)于四邊形CAEB的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成探索正方形CGEH的面積的問題.

如圖6，結(jié)合△ABE為等腰直角三角形的條件，可將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，將四邊形CAEB的面積轉(zhuǎn)化成△ECC′的面積.

關(guān)于第（3）題，則在第（2）題的基礎(chǔ)上借助等腰直角三角形或正方形的面積計(jì)算獲得EC的長. 此例解法不少，最關(guān)鍵的因素在于對(duì)四邊形CGEH的特征進(jìn)行分析，從其特征出發(fā)研究三角形、角、線之間存在怎樣的聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖 ？搖動(dòng)靜結(jié)合、張弛有度是提升幾何教學(xué)效率的根本. 此環(huán)節(jié)，教師在原圖的基礎(chǔ)上鼓勵(lì)學(xué)生自主設(shè)計(jì)變式，讓學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)逐漸深入、全面、深刻，尤其是層次清晰的問題讓學(xué)生的思維拾級(jí)而上，學(xué)生通過深度思考、合作交流等方式，更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到探索幾何圖形的常規(guī)方法.

3. 用圖：問題解決引發(fā)深度思考

問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)視角下的深度教學(xué)需將教學(xué)評(píng)價(jià)貫穿于教學(xué)始終，教師在每一個(gè)環(huán)節(jié)都要關(guān)注學(xué)生的參與度，及時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行自評(píng)、互評(píng)等，讓學(xué)生在第一時(shí)間發(fā)現(xiàn)自身存在的問題和改進(jìn)措施. 如本節(jié)課的尾聲，筆者就設(shè)計(jì)了如下練習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生在自主完成的基礎(chǔ)上實(shí)施交流與評(píng)價(jià).

練習(xí)訓(xùn)練：如圖7，已知⊙O的直徑為AB，且點(diǎn)C恰巧位于圓上，CD是∠ACB的角平分線，且分別與⊙O，AB相交于點(diǎn)D、M，連接DA，DB.

問題：（1）線段AC，BC，DC之間存在怎樣的關(guān)系？

（2）假設(shè)AD=m，CD=n，△ABC的周長該怎樣用含有m、n的代數(shù)式來表達(dá)？

問題：請(qǐng)嘗試提出新的問題.

設(shè)計(jì)意圖？搖 學(xué)生對(duì)于一節(jié)課的掌握情況體現(xiàn)在解題過程中. 教師為了及時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，在研究圖形的基礎(chǔ)上對(duì)問題條件進(jìn)行適當(dāng)改編，以觀察學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握與應(yīng)用水平. 結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平的差異性，此處安排了三個(gè)小問題，每一個(gè)問題的難度適當(dāng)遞增，目的在于促使學(xué)生思維的螺旋式上升，讓學(xué)生從真正意義上掌握與應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.

幾點(diǎn)思考

1. 優(yōu)化問題，營造質(zhì)疑情境

PBL視域下的數(shù)學(xué)深度教學(xué)離不開一個(gè)個(gè)高質(zhì)量問題的參與，尤其是課堂的誘發(fā)階段為一節(jié)課的關(guān)鍵點(diǎn)，其問題的質(zhì)量對(duì)整節(jié)課教學(xué)的成敗具有決定性的作用. 眾所周知，問題是數(shù)學(xué)的心臟，是推動(dòng)教學(xué)的根本. 想要基于PBL實(shí)施深度教學(xué)，就要從本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，關(guān)注學(xué)情特點(diǎn)與知識(shí)特點(diǎn)，不斷優(yōu)化驅(qū)動(dòng)性問題的設(shè)計(jì)，通過豐富的問題營造質(zhì)疑情境，以啟發(fā)學(xué)生的思維，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探索欲.

本節(jié)課雖然是一節(jié)復(fù)習(xí)課，但教師以有趣的問題作為課堂誘發(fā)素材，讓學(xué)生置身于充滿質(zhì)疑的情境中激發(fā)認(rèn)知沖突，形成學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，使得學(xué)生不由自主地進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài). 學(xué)生對(duì)于幾何圖形雖有一定的基礎(chǔ)，但對(duì)其結(jié)構(gòu)特征、命題、定理等的理解還不夠透徹. 這就要求教師在驅(qū)動(dòng)性問題的設(shè)計(jì)上，要從問題的探究性、開放性等角度著手，發(fā)散學(xué)生的思維，促進(jìn)深度教學(xué).

2. 引導(dǎo)參與，細(xì)化知識(shí)生成

對(duì)客觀事物形成有理有據(jù)的解讀以及探索其本來面貌是深度教學(xué)的根本，關(guān)于初中數(shù)學(xué)平面幾何部分的深度教學(xué)，可從對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)著手，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上掌握幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，從知識(shí)的系統(tǒng)性出發(fā)把握?qǐng)D形結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生親歷探索過程，對(duì)圖形形成深刻理解.

本節(jié)課，從研究對(duì)象上來看為三角形與角平分線以及中垂線所構(gòu)成的幾何圖形，而從本質(zhì)上來分析，其涉及的幾何內(nèi)容相當(dāng)豐富，為了讓每個(gè)層次的學(xué)生都能在問題驅(qū)動(dòng)下獲得深度學(xué)習(xí)，教師有針對(duì)性地設(shè)計(jì)了一系列有梯度的探究活動(dòng)，促使學(xué)生更好地置身于問題的探索中，對(duì)知識(shí)的形成與發(fā)展過程形成明確的認(rèn)識(shí)，從而完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)思維的發(fā)展.

3. 注重反思，強(qiáng)化知識(shí)構(gòu)建

深度教學(xué)意在引導(dǎo)學(xué)生通過“層進(jìn)式學(xué)習(xí)”，深化對(duì)知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的理解. 本節(jié)課，隨著知識(shí)結(jié)構(gòu)的變化，不少學(xué)生對(duì)解題方法的多樣性產(chǎn)生了困惑. 教師可針對(duì)學(xué)生所產(chǎn)生的困惑調(diào)整教學(xué)方法，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兺?，幫助學(xué)生更好地強(qiáng)化知識(shí)的構(gòu)建與應(yīng)用.

反思是實(shí)施深度教學(xué)不可或缺的部分，當(dāng)完成一個(gè)教學(xué)活動(dòng)后，教師本身不僅需要對(duì)活動(dòng)過程進(jìn)行反思，還要帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，以進(jìn)一步梳理、總結(jié)教學(xué)情況，幫助學(xué)生完善研究問題的方法. 本節(jié)課的練習(xí)訓(xùn)練就涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)、多種解題思路與運(yùn)算方法等，教師可引導(dǎo)學(xué)生邊解題邊反思，及時(shí)進(jìn)行歸納整理，以形成解決此類問題的一般套路，提升解決綜合性問題的能力.

總之，基于PBL的視角展開問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)可促使學(xué)生更好地理解平面幾何問題，讓學(xué)生從他們熟悉的圖形出發(fā)，經(jīng)歷“畫圖—研圖—用圖”的過程，有效啟發(fā)思維，踐行深度教學(xué)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).