李建良

【摘 要】中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有多方面的價(jià)值。在教學(xué)內(nèi)容的把握方面，可以為教學(xué)順序的確定與核心內(nèi)容的提煉等提供啟示；在教材內(nèi)容的分析方面，可以為教材編排的合理性和教學(xué)框架設(shè)置的科學(xué)性等提供參考；在單元整體教學(xué)的設(shè)計(jì)方面，可以為整體目標(biāo)的制訂及圍繞整體目標(biāo)的分課時(shí)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)提供方向。文章指出，教師應(yīng)以嚴(yán)格審慎、寧缺毋濫的態(tài)度，將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的各個(gè)環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的深度理解和對(duì)傳統(tǒng)文化魅力的深刻體會(huì)。

【關(guān)鍵詞】傳統(tǒng)文化；多邊形的面積；單元整體教學(xué)；小學(xué)數(shù)學(xué)

近年來，隨著《關(guān)于實(shí)施中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化傳承發(fā)展工程的意見》《中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)中小學(xué)課程教材指南》等文件的相繼發(fā)布，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化在教育教學(xué)工作中的重要地位日益凸顯，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)校園、進(jìn)課堂勢在必行。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化作為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它的教育價(jià)值在我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)中被多次提及。特別是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)此尤為重視，在修訂原則、課程理念、教學(xué)建議、評(píng)價(jià)建議、教材編寫建議等方面都提出了相應(yīng)的要求。如何有效挖掘傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的素材為數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的分析提供啟示？如何處理好我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材內(nèi)容之間的關(guān)系？如何利用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的精華為單元整體教學(xué)所用？這些是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入數(shù)學(xué)課堂面臨的主要問題。本文以人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元教學(xué)設(shè)計(jì)為例展開討論。

一、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化對(duì)教學(xué)內(nèi)容的啟示

1.關(guān)于教學(xué)內(nèi)容順序的啟示

根據(jù)“歷史相似性”原理，當(dāng)前學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷的過程，很大程度上與人類歷史上數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程相一致。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中豐富的數(shù)學(xué)史料，可以為教師設(shè)計(jì)教學(xué)方案、組織教學(xué)活動(dòng)等提供素材和思路。英國數(shù)學(xué)教師齊利亞克斯基于自己的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)了數(shù)學(xué)史對(duì)于教師和學(xué)生的價(jià)值，其中的一條是通過數(shù)學(xué)史獲取引入新知識(shí)點(diǎn)的順序。［1］這一價(jià)值同樣適用于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化可以為不同教學(xué)路徑的設(shè)計(jì)提供方向，也可以為某一教學(xué)路徑是否具有科學(xué)性與合理性提供佐證。

不同版本的教材有關(guān)多邊形面積的內(nèi)容一般遵照平行四邊形、三角形、梯形的順序編排，這是不是唯一的順序呢？《九章算術(shù)》中的“方田章”記載了多種平面圖形面積的計(jì)算方法，包括方田、圭田、邪田、箕田、圓田、宛田、弧田和環(huán)田。其中，除宛田和弧田不屬于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容外，其余基本和小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的編排順序一致，即長方形（正方形）、三角形、梯形、圓和圓環(huán)，但唯獨(dú)少了平行四邊形。查閱其余數(shù)學(xué)名著，如《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》等，也不見有關(guān)平行四邊形面積計(jì)算方法的記載。那么，少了平行四邊形，是否會(huì)影響多邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的邏輯順序呢？《九章算術(shù)》中關(guān)于三角形面積的計(jì)算提到：“圭田術(shù)曰，半廣以乘正從。”我國數(shù)學(xué)家劉徽對(duì)其解釋為“半廣知，以盈補(bǔ)虛為直田也”，并提出另一種方法“半正從以乘廣”。蘇教版和人教版數(shù)學(xué)教材分別對(duì)兩種方法進(jìn)行了介紹并給出圖示（如圖1、圖2）。

《九章算術(shù)》把梯形分為邪田（直角梯形）和箕田（等腰梯形）兩類，兩者的面積計(jì)算公式相似，分別是“并兩邪而半之，以乘正從若廣”和“并踵、舌而半之，以乘正從”，即梯形的面積=（上底+下底）÷2×高。另外，梯形面積還有另一種算法：“半正從若廣，以乘并”，即梯形的面積=高÷2×（上底+下底）（如圖3）。

在《九章算術(shù)》中，三角形和梯形面積的計(jì)算方法是一脈相承的，都是利用了“出入相補(bǔ)”原理轉(zhuǎn)化成長方形。當(dāng)然，這一方法也可以用于平行四邊形的面積公式推導(dǎo)。借由傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化可知，沒有平行四邊形也不影響三角形和梯形面積公式的推導(dǎo)，換言之，平行四邊形的面積并不一定要安排在三角形或梯形的面積之前，它們之間沒有嚴(yán)格的先后順序，這就為不同教學(xué)順序和路徑的設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。

2.關(guān)于核心內(nèi)容提煉的啟示

某一類數(shù)學(xué)知識(shí)在發(fā)生、發(fā)展和完善的過程中，必然會(huì)形成一個(gè)核心內(nèi)容。這個(gè)核心可以表現(xiàn)為核心問題、核心知識(shí)、核心方法或核心思想等，它揭示了一類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并貫穿學(xué)習(xí)的始終。教師能夠抓住核心問題，就能切中要害，達(dá)到提綱挈領(lǐng)的效果，使數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)迎刃而解。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在漫長的發(fā)生、發(fā)展、鞏固和應(yīng)用的過程中去粗取精、不斷完善。由此，數(shù)學(xué)問題的表象逐漸剝離，本質(zhì)逐漸清晰。這個(gè)過程對(duì)師生雙方都具有啟發(fā)作用，比如能克服常見的主次不分、舍本逐末的弊端，能從中獲得問題研究的視角、思路和方案等。

筆者對(duì)人教版、蘇教版、北師大版等版本的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行梳理和分析發(fā)現(xiàn)，各版本數(shù)學(xué)教材“多邊形的面積”單元基本按照“平行四邊形面積—三角形面積—梯形面積—組合圖形面積—不規(guī)則圖形面積”的順序編排。在各版本數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)中，都通過圖示對(duì)平面圖形的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行了整理（如圖4）。

從平面圖形面積教學(xué)的整體性角度來看，這樣的編排存在一個(gè)較大的問題，即忽視了圓的轉(zhuǎn)化是建立在將圓分割成若干（偶數(shù)）個(gè)近似三角形的基礎(chǔ)之上的。各版本數(shù)學(xué)教材“圓的面積”一課中，主要都安排了通過小正方形或網(wǎng)格圖估算圓的面積和通過分割重組的方法將圓轉(zhuǎn)化成近似平行四邊形（或長方形）兩種方法。但是以上兩種方法之間并不存在直接的聯(lián)系，也就是說，圓是很難直接轉(zhuǎn)化為長方形的。并且，教材前期并沒有相關(guān)的鋪墊，學(xué)生又如何能想到將圓分割成若干個(gè)近似三角形呢？通過對(duì)《九章算術(shù)》及劉徽注釋的研究，郭書春認(rèn)為，劉徽的面積理論是一個(gè)以長方形面積為出發(fā)點(diǎn)，以三角形面積為核心，運(yùn)用“出入相補(bǔ)”原理和無窮小分割方法的有機(jī)整體。［2］陳敏、許含英認(rèn)為，平行四邊形、梯形都可通過對(duì)角線分成兩個(gè)三角形，因此可以用三角形面積計(jì)算公式來導(dǎo)出平行四邊形與梯形面積的計(jì)算法則。最后，可將圓無限細(xì)分成近似三角形，再同樣以三角形面積之和來求圓的面積。［3］既然圓的面積研究繞不開三角形，而三角形又是直線圖形中最基本的圖形，那么，何不未雨綢繆，在“多邊形的面積”單元中，就確立以三角形的面積計(jì)算方法為核心，來推導(dǎo)其他圖形的面積公式呢？因此，在長方形面積計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，以三角形的面積計(jì)算方法作為平面圖形面積體系的核心展開學(xué)習(xí)也是值得嘗試的。

由上可知，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在漫長的歷史中，經(jīng)歷了實(shí)踐的檢驗(yàn)，形成了自己的體系，為教師提煉單元核心內(nèi)容提供了視角，也為核心內(nèi)容的準(zhǔn)確性提供了依據(jù)和保障。

二、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的關(guān)系

1.基于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化視角的教材內(nèi)容分析

在整體教學(xué)思路上，教材的編排遵循螺旋式上升的規(guī)律，但具體到每個(gè)課時(shí)，往往是各有側(cè)重的。教師在對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)時(shí)，如果不能把握現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，那么在對(duì)單元核心的把握上容易出現(xiàn)問題，從而導(dǎo)致看似面面俱到，實(shí)則各行其是的不利局面。如果教師對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化或相關(guān)的數(shù)學(xué)史料具有充分的了解、認(rèn)知和理解，則能更好地根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律把握全局，在提煉單元核心的基礎(chǔ)上，使教學(xué)設(shè)計(jì)的歷史序、邏輯序和認(rèn)知序更好地融合。

現(xiàn)行教材大多將平行四邊形的面積置于單元的第一課時(shí)，隨后，主要通過“倍拼法”將三角形和梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形來推導(dǎo)它們的面積公式。但這種方法無法體現(xiàn)平面圖形的“運(yùn)動(dòng)不變性”這一重要屬性，反之，“出入相補(bǔ)法”與“運(yùn)動(dòng)不變性”的關(guān)系非常緊密。因此，采用“出入相補(bǔ)法”推導(dǎo)面積公式，更能充分體現(xiàn)三角形作為平面圖形面積研究的出發(fā)點(diǎn)的地位和作用。那么，如果要嘗試以三角形為核心推導(dǎo)其余平面圖形的面積公式，又需要哪些知識(shí)、技能、方法和原理的支持呢？顯然，以“出入相補(bǔ)”原理為依據(jù)的圖形分割、運(yùn)動(dòng)是重要的一面。另外，還需要用到“等底等高的三角形面積相等”這一規(guī)律。大多數(shù)教材都沒有將“等底等高”規(guī)律作為一個(gè)獨(dú)立的內(nèi)容來學(xué)習(xí)，一般把相關(guān)的問題編排在練習(xí)課中，目的是利用“等底等高”規(guī)律解決圖形面積計(jì)算的相關(guān)問題，促進(jìn)圖形之間的一致性認(rèn)知和理解。但是，這一規(guī)律的一個(gè)重要價(jià)值——在將多邊形分割成三角形的基礎(chǔ)上，通過運(yùn)動(dòng)變換，借助“等底等高”規(guī)律合并成大三角形，通過類比推導(dǎo)多邊形的面積公式?jīng)]有得到充分發(fā)揮。

因此，如果確立以三角形面積作為多邊形面積學(xué)習(xí)的核心，則能充分將“出入相補(bǔ)”原理與“等底等高”規(guī)律融為一體，凸顯圖形面積的本質(zhì)屬性，更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性與一致性。

2.融合多種元素的單元教學(xué)路徑架構(gòu)

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化有其獨(dú)特的價(jià)值和魅力，但傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂，并不排斥外國數(shù)學(xué)文化的引入。多元文化進(jìn)課堂，能使學(xué)生在古今對(duì)照、中外對(duì)比中，更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更多地了解世界文化，更好地感悟傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的獨(dú)特魅力。［4］而要更好地發(fā)揮傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，必須將其與數(shù)學(xué)教材內(nèi)容及常用方法等多種元素進(jìn)行有效關(guān)聯(lián)和整合。

將“出入相補(bǔ)”原理與“等底等高”規(guī)律有機(jī)融合，既能體現(xiàn)圖形的“運(yùn)動(dòng)不變性”屬性，又能確立以三角形面積計(jì)算方法為核心的多邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)體系，同時(shí)還能兼顧長方形面積這一基礎(chǔ)，并將多邊形面積公式的推導(dǎo)方法和過程推廣到正多邊形，為后續(xù)圓面積的學(xué)習(xí)提供思路和方法，幫助學(xué)生對(duì)平面圖形的面積公式推導(dǎo)形成更為整體、一致的認(rèn)知與理解?；趯?duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的整理、解讀，以及對(duì)現(xiàn)行教材的分析和重構(gòu)，我們可以把多邊形的面積體系看作一棵小型的“結(jié)構(gòu)樹”。其中，長方形（正方形）的面積是根本，三角形的面積是主干，平行四邊形、梯形、組合圖形（正多邊形）的面積，包括后續(xù)圓的面積，都可以看作分枝（如圖5）。有了這棵“結(jié)構(gòu)樹”，“多邊形的面積”單元教學(xué)的路徑就變得清晰且具有可操作性了。

三、融入傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

單元整體教學(xué)最本質(zhì)、最關(guān)鍵的應(yīng)該是基于“大單元”或“系列單元”的視角，打破自然單元之間和課時(shí)之間的壁壘，提煉單元核心概念，圍繞核心概念，提出單元核心問題，以核心素養(yǎng)為目標(biāo)進(jìn)行整體設(shè)計(jì)。［5］傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化兼具門類齊全、脈絡(luò)清晰、知識(shí)豐富、方法多樣、思想深刻、體系完備等特點(diǎn)。在數(shù)學(xué)教育教學(xué)活動(dòng)中，相較于單課時(shí)教學(xué)而言，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化運(yùn)用于單元整體教學(xué)活動(dòng)，更能發(fā)揮其重要價(jià)值。根據(jù)單元整體教學(xué)的特點(diǎn)和實(shí)際需求及傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值，教師可以通過搜集與整理、篩選與解讀、分析與關(guān)聯(lián)、設(shè)計(jì)與融合等環(huán)節(jié)，制訂教學(xué)目標(biāo)，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，形成單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)。

筆者通過對(duì)“多邊形的面積”單元進(jìn)行素材整理、核心聚焦、教材分析與路徑構(gòu)架，形成了單元整體教學(xué)目標(biāo)：（1）以長方形面積公式為基礎(chǔ)，以三角形面積公式為核心，探索并經(jīng)歷多邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的過程；（2）綜合運(yùn)用多種知識(shí)、結(jié)論、方法、原理和規(guī)律，借助統(tǒng)一路徑，探究并得出各類多邊形的面積計(jì)算公式，并體會(huì)它們之間的關(guān)系；（3）了解傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，體會(huì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的魅力，感受傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法相結(jié)合的巨大推動(dòng)力。

圍繞核心內(nèi)容，本文將“多邊形的面積”單元的內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，主要是四個(gè)方面：一是將三角形的面積調(diào)整為第一課時(shí)，以便平行四邊形和梯形都能轉(zhuǎn)化為三角形進(jìn)行公式推導(dǎo)；二是根據(jù)平行四邊形與梯形都能分解成兩個(gè)三角形再組合成大三角形的特點(diǎn)，將平行四邊形與梯形的面積合并為一個(gè)課時(shí)；三是在組合圖形中融入正六邊形面積的研究，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“出入相補(bǔ)”原理和“等底等高”規(guī)律的運(yùn)用價(jià)值；四是考慮到不規(guī)則圖形的面積與單元核心內(nèi)容之間的關(guān)系比較疏遠(yuǎn)而暫時(shí)未將其納入單元整體教學(xué)中來。

因此，本文研究的內(nèi)容主要包括“三角形的面積”“四邊形的面積”和“多邊形的面積”三個(gè)課時(shí)（見表1）。在第一課時(shí)中，教師主要借助網(wǎng)格圖，鼓勵(lì)學(xué)生從長方形與直角三角形的面積的兩倍關(guān)系及“出入相補(bǔ)”（移多補(bǔ)少）兩個(gè)角度推導(dǎo)出直角三角形的面積公式，并將“出入相補(bǔ)”的方法推廣到銳角三角形和鈍角三角形面積公式的推導(dǎo)。另外，在運(yùn)用面積公式計(jì)算等底等高的兩個(gè)三角形面積的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)等底等高的三角形面積相等的規(guī)律，使學(xué)生能運(yùn)用該規(guī)律解決等高不等底和等底不等高兩類變式問題，加深對(duì)上述規(guī)律的理解。在第二課時(shí)中，教師在喚醒學(xué)生多邊形內(nèi)角和探究方法和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生嘗試將平行四邊形分割成兩個(gè)三角形，并通過“等底等高”規(guī)律或乘法分配律來推導(dǎo)平行四邊形的面積公式。隨后將平行四邊形的面積推導(dǎo)過程遷移到梯形中，推導(dǎo)出梯形的面積公式。當(dāng)然，這兩種四邊形也均可采用出入相補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為長方形進(jìn)行面積公式推導(dǎo)。此外，學(xué)生還需結(jié)合三角形、平行四邊形、梯形的面積公式推導(dǎo)過程和結(jié)果，感受三者之間的聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化的途徑，將“等底等高”規(guī)律推廣到多種平面圖形中。在第三課時(shí)中，教師在常見的組合圖形問題解決的基礎(chǔ)上，加入箏形和正六邊形，從不同角度運(yùn)用“出入相補(bǔ)”原理和“等底等高”規(guī)律解決兩者的面積計(jì)算問題，并得出正六邊形的面積公式S=C×h÷2，為后續(xù)圓的合理分割及圓面積公式的推導(dǎo)奠定基礎(chǔ)。

將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化用于核心問題的分析與提煉、教材內(nèi)容的調(diào)整與關(guān)聯(lián)、教學(xué)路徑的設(shè)計(jì)與實(shí)施，能對(duì)實(shí)現(xiàn)整體單元教學(xué)目標(biāo)起到積極的推動(dòng)作用。在借助傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化開展教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，教師應(yīng)秉持嚴(yán)格審慎、寧缺毋濫的態(tài)度，在有理有據(jù)的前提下，將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿、數(shù)學(xué)教育教學(xué)最新理念相結(jié)合，進(jìn)行大膽的教學(xué)創(chuàng)新。在此過程中，特別要發(fā)揮傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在單元整體教學(xué)中提供整體視角、聚焦核心問題、整合學(xué)習(xí)素材、達(dá)成一致理解的價(jià)值，使學(xué)生有更多的時(shí)間和機(jī)會(huì)浸潤在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化之中，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的深度理解和對(duì)傳統(tǒng)文化魅力的深刻體會(huì)。

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（責(zé)任編輯：羅小熒）