王保紅 梁詩晗

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在課程結(jié)構(gòu)中明晰了“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容”的要求，闡明了“數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展”是數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容.

“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容之一.課標(biāo)要求“收集、閱讀對(duì)數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文，論述對(duì)數(shù)發(fā)明的過程以及對(duì)數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用”等不作為考試內(nèi)容的要求.人教A版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)“對(duì)數(shù)的概念”兩處融入了數(shù)學(xué)史.“閱讀與思考”中，“對(duì)數(shù)的發(fā)明”在于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，使學(xué)生通過數(shù)學(xué)閱讀加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次理解.“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”中，“對(duì)數(shù)概念的形成與發(fā)展”是新增設(shè)的版塊，目的是希望學(xué)生自主了解數(shù)學(xué)知識(shí)形成與發(fā)展的脈絡(luò)，感受數(shù)學(xué)文化.本文中以“對(duì)數(shù)的概念”教學(xué)為例，力求在教學(xué)中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)史，以期為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

2 梳理對(duì)數(shù)的發(fā)展歷史

2.1 對(duì)數(shù)思想的萌芽

約公元前1700年巴比倫泥版上出現(xiàn)了類似解指數(shù)方程的題目.15世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家許凱（N.Chuquet）在《算術(shù)三部》提出了解指數(shù)方程的問題，還列出了等比和等差數(shù)列，即1，2，4，8，16，……，1 048 576和0，1，2，3，4，……，20，指出數(shù)列對(duì)應(yīng)關(guān)系：上一列數(shù)的乘除運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)下一列數(shù)的加減運(yùn)算結(jié)果.

16世紀(jì)涌現(xiàn)出了許多研究等比數(shù)列乘法法則的數(shù)學(xué)家.德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾（M.Stifel）提出了四條乘法法則，即幾何級(jí)數(shù)中的乘法、除法、乘方、開方與算術(shù)級(jí)數(shù)的加法、減法、乘法、除法對(duì)應(yīng)，還將法則推廣到負(fù)指數(shù)，形成雙數(shù)列對(duì)應(yīng)關(guān)系.

天文、航海等領(lǐng)域要求大數(shù)運(yùn)算.而想要算出一個(gè)復(fù)雜的數(shù)據(jù)，需長(zhǎng)達(dá)幾年的時(shí)間.因此，迫切需要改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法，以提高計(jì)算速度和準(zhǔn)確度.

2.2 對(duì)數(shù)方法和思想的產(chǎn)生

蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier）研究大數(shù)運(yùn)算，最終發(fā)明了對(duì)數(shù)，并將對(duì)數(shù)（logarithm）意為“比的數(shù)”.1614年出版的《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》標(biāo)志著對(duì)數(shù)的誕生.英國(guó)數(shù)學(xué)家布里格斯（H.Briggs）與納皮爾商定了“曠世之約”：1的對(duì)數(shù)為0，10的對(duì)數(shù)為1.布里格斯制作

的常用對(duì)數(shù)表更容易算出數(shù)值，將底數(shù)為10的對(duì)數(shù)稱其為常用對(duì)數(shù)，底數(shù)概念也由此誕生.法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（P.S.Laplace）評(píng)價(jià)道：“因?yàn)槭r(shí)省力，對(duì)數(shù)倍增了天文學(xué)家的壽命.”

瑞士?jī)x器制造者比爾吉（J.Burgi）也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)并用它來造表.1620年他出版了《等差數(shù)列和等比數(shù)列》，盡管那時(shí)納皮爾發(fā)明的對(duì)數(shù)已聞名歐洲.18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”.

2.3 自然對(duì)數(shù)的由來

使用常用對(duì)數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)N與其對(duì)數(shù)并非同時(shí)均勻增長(zhǎng)，為了尋求能使兩邊對(duì)稱的底數(shù)，讓式子化繁為簡(jiǎn)，發(fā)現(xiàn)若以e作底數(shù)最“自然”，符合數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和簡(jiǎn)潔美.故以e為底的對(duì)數(shù)叫“自然對(duì)數(shù)”，亦定義logeN=ln N，在科技、經(jīng)濟(jì)中有廣泛應(yīng)用.

3 基于數(shù)學(xué)史的對(duì)數(shù)概念教學(xué)

3.1 教學(xué)思路

依據(jù)對(duì)數(shù)歷史，整體采用重構(gòu)式的設(shè)計(jì)（如圖1），借鑒對(duì)數(shù)歷史，追溯思想起源，呈現(xiàn)知識(shí)自然發(fā)生的過程.

3.2 重構(gòu)對(duì)數(shù)概念的數(shù)學(xué)課堂

3.2.1 天文學(xué)發(fā)展的需要

例1?隨著科技的發(fā)展，人類對(duì)宇宙的探索愈加深入.天文學(xué)定義，光在真空中的速度為299 792.468 km/s，一年的總秒數(shù)是31 536 000 s，能否動(dòng)筆求出一光年的值？

（列式為299 792.468×31 536 000=？）

師：介紹對(duì)數(shù)產(chǎn)生的原因.該如何簡(jiǎn)化運(yùn)算？

設(shè)計(jì)意圖：利用生活實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生感受大數(shù)運(yùn)算的不易，由此產(chǎn)生探究簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的想法.

3.2.2 感受表之便利，發(fā)現(xiàn)表之局限

例2?展示斯蒂菲爾雙數(shù)表（表1），讓學(xué)生觀察規(guī)律.

師：第二行中后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的兩倍.若第1行表示2的指數(shù)，則第2行表示其對(duì)應(yīng)的冪.16世紀(jì)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在研究上表時(shí)，把第一行的各項(xiàng)稱為“指數(shù)”.他還發(fā)現(xiàn)第一行指數(shù)相加得到其乘積的指數(shù)，指數(shù)相減得到其商的指數(shù).

師：求32×512，先找到32和512在數(shù)表中對(duì)應(yīng)的第一行的數(shù).即32對(duì)應(yīng)5，512對(duì)應(yīng)9；將二者相加，即5+9=14；再找到14對(duì)應(yīng)的下一行數(shù)為16 384.

師：按照規(guī)律，能否快速求出下列各式子的值？

16×1 024；8 192÷32；643；81×729.

上面有些數(shù)并不能從數(shù)表中查到，該如何解決？發(fā)現(xiàn)81與729兩個(gè)數(shù)都能變成以3為底的冪的形式，但查不到.法國(guó)數(shù)學(xué)家許凱也曾遇到這樣的問題，而且是在斯蒂菲爾之前.相對(duì)于自然數(shù)列而言，他研究的雙數(shù)表可表示2或3的指數(shù).

例3?請(qǐng)大家根據(jù)許凱雙數(shù)表（表2）完成計(jì)算.

師：如果算式是其他數(shù)呢？由于第二行相鄰兩項(xiàng)的差值越來越大，數(shù)便難以找到.當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家對(duì)此非常苦惱.于是數(shù)學(xué)家開始制作更加詳細(xì)的數(shù)表.其中貢獻(xiàn)最大的是納皮爾（可介紹納皮爾與對(duì)數(shù)）.例1該怎么解決？

找到299 792.468和31 536 000分別對(duì)應(yīng)的數(shù)，先求和再查表.令2x=299 792.468，2y=31 536 000.

追問：整數(shù)可以通過查表得到，小數(shù)點(diǎn)后幾位怎么算？如何得到精確值？

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)乘法法則，讓學(xué)生經(jīng)歷簡(jiǎn)化運(yùn)算的過程，感受查表的便利.講述納皮爾貢獻(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神和探究意識(shí).利用提示語啟示學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)表的局限性，引出新知識(shí).

3.2.3 引入對(duì)數(shù)符號(hào)，彌補(bǔ)表之遺憾

師：之前是否遇到過類似的難題？初中是如何計(jì)算x2=2的？在學(xué)習(xí)“[YY（]1[YY）]”后，我們解決了非完全平方數(shù)的平方根問題.同理，當(dāng)現(xiàn)有知識(shí)不足以解決問題時(shí)，需要?jiǎng)?chuàng)造新的符號(hào)來表示.數(shù)學(xué)家將對(duì)數(shù)“l(fā)ogarithm”簡(jiǎn)寫為“l(fā)og”.這樣就解決了像例1中這種“天文數(shù)字”的計(jì)算.引用數(shù)學(xué)家對(duì)對(duì)數(shù)的評(píng)價(jià).

設(shè)計(jì)意圖：借助舊知，引入新知.體會(huì)引入符號(hào)的必要性，彌補(bǔ)數(shù)表局限的遺憾.

3.2.4 形成對(duì)數(shù)概念，拓展對(duì)數(shù)應(yīng)用

師：觀察對(duì)數(shù)，思考它與指數(shù)有何關(guān)系？

追問：二者可以互相轉(zhuǎn)化，即對(duì)數(shù)logaN與指數(shù)互逆.對(duì)數(shù)中a的取值范圍是什么？

回顧指數(shù)概念.得到對(duì)數(shù)概念：一般地，若ax=N（a>0，且a≠1），那么數(shù)x稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，其中a叫作底數(shù)，N叫作真數(shù).當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，ax=Nx=logaN，這是互化公式.計(jì)算方便，又能比較大小.0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).

利用數(shù)學(xué)家軼事講解常用對(duì)數(shù).把常用對(duì)數(shù)log10N記作lg N.總結(jié)：logaa=1，loga1=0，log10N=lgN.由常用對(duì)數(shù)引出自然對(duì)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：暗示學(xué)生指數(shù)與對(duì)數(shù)存在互逆關(guān)系；滲透數(shù)學(xué)史，將知識(shí)自然呈現(xiàn)；強(qiáng)調(diào)一般對(duì)數(shù)與常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化.

3.2.5 鞏固練習(xí)，總結(jié)課堂

（1）在巴比倫泥版上有一道復(fù)利題目1.2x=2，請(qǐng)求解.

（2）將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式（教材例題）.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生整理思路，感受對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算方面的作用，總結(jié)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用.

4 總結(jié)與反思

數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育有重要意義.數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生清除認(rèn)知障礙，同時(shí)數(shù)學(xué)史也是一面鏡子，把當(dāng)時(shí)思想的碰撞反映到數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中.對(duì)教師而言，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，可以幫助教師根據(jù)學(xué)生認(rèn)知障礙設(shè)計(jì)教學(xué)，提升教書育人的能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).對(duì)學(xué)生而言，可以幫助他們了解知識(shí)的由來與發(fā)展，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，體會(huì)其中蘊(yùn)含的思想，提升科學(xué)精神，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).