石雨卓

摘要：為了使學(xué)生通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，獲得基本活動經(jīng)驗的自然生長，本文中從學(xué)生的角度出發(fā)，通過GeoGebra的應(yīng)用，對圓錐曲線“離心率和漸近線”教學(xué)進行整合設(shè)計，尊重學(xué)生的知識生成，使學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究過程，成為課堂真正的“主角”.

關(guān)鍵詞：經(jīng)驗生長；信息技術(shù)；圓錐曲線；幾何性質(zhì)

對于圓錐曲線的教學(xué)，人教A版教科書類比初等函數(shù)，“同構(gòu)”研究方法、內(nèi)容和過程，形成如圖1所示的研究流程.

教科書的這一設(shè)計兼顧了三種圓錐曲線的“個性”與“共性”，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)方向，同時搭建了新舊知識間的聯(lián)系，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成數(shù)學(xué)研究思路，提煉基本活動經(jīng)驗.

1 問題提出

在幾何性質(zhì)的研究中，教科書采用“先通過幾何直觀感知圖形，后通過坐標(biāo)代數(shù)驗證性質(zhì)”的思路展開.由于較難精準(zhǔn)畫出圓錐曲線的圖形，教科書多次采用GeoGebra等信息技術(shù)進行探究式教學(xué)，但在實際教學(xué)中出現(xiàn)了以下問題：

（1）橢圓的扁平程度和雙曲線的“張口”大小可用離心率e=[SX（]c[]a[SX）]來刻畫，但通過GeoGebra的動態(tài)展示，學(xué)生自然提出用[SX（]b[]a[SX）]刻畫，并未聯(lián)想到[SX（]c[]a[SX）]；

（2）在研究雙曲線的幾何性質(zhì)時，學(xué)生基于橢圓的研究經(jīng)驗，提出雙曲線范圍、對稱性、定點和離心率的研究內(nèi)容和思路，并未聯(lián)想到漸近線；

（3）對于雙曲線的漸近線與[SX（]b[]a[SX）]之間的聯(lián)系，學(xué)生較難聯(lián)想到，導(dǎo)致知識生成不夠自然.

因此，為了使學(xué)生成為課堂真正的“主角”，基本活動經(jīng)驗得以自然生長，筆者對于橢圓與雙曲線的離心率以及雙曲線的漸近線教學(xué)作出如圖2的設(shè)計：

在橢圓的教學(xué)中，通過基本量間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生得出離心率的概念，并與已產(chǎn)生的新知識，即用[SX（]b[]a[SX）]刻畫橢圓扁平程度產(chǎn)生聯(lián)系；在雙曲線中，采用類比方法，在橢圓的探究基礎(chǔ)上，先探究離心率，再通過思考e與[SX（]b[]a[SX）]之間的關(guān)系，利用GeoGebra觀察二者與雙曲線形狀之間的關(guān)系，進而得出漸近線的概念.充分尊重學(xué)生的知識生成，守護“主體”地位.

2 橢圓的“離心率”教學(xué)

例1?請根據(jù)所學(xué)知識，畫出下列曲線方程所表示的大致圖形，并找出它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.

生：如圖3，兩個橢圓的長軸長一樣，短軸長不一樣，橢圓C2比橢圓C1更扁.

思考1：橢圓的形狀大小與橢圓的哪些量有關(guān)？如何設(shè)計實驗？

生：橢圓的形狀和大小與橢圓長軸長2a以及短軸長2b有關(guān).

利用GeoGebra繪制橢圓[SX（]x2[]25[SX）]+[SX（]y2[]m[SX）]=1（m＞0），控制m的大小，觀察橢圓形狀變化，如圖4.

生：當(dāng)m∈（0，25）時，圖形是焦點在x軸的橢圓，且隨著m的增大，橢圓的長軸不變，短軸變長，橢圓更圓；當(dāng)m=25時，圖形是以原點為圓心，5為半徑的圓；當(dāng)m∈（25，+∞）時，圖形為焦點在y軸的橢圓，且隨著m的增大，橢圓的短軸不變，長軸變長，橢圓更扁.

觀察：如圖5，隨著n的變化，

生：隨著n的增大，橢圓的形狀不變.

思考2：如何通過橢圓方程[SX（]x2[]a2[SX）]+[SX（]y2[]b2[SX）]=1（a＞b＞0），定量刻畫橢圓的扁平程度？

生：當(dāng)[SX（]b[]a[SX）]越接近1時，橢圓的形狀更圓；當(dāng)[SX（]b[]a[SX）]越接近0時，橢圓的形狀更扁.

思考3：如何在例1的圖形中找到橢圓的焦點？

生：對于橢圓C1，直接通過c2=a2-b2計算得到；而對于橢圓C2，則以橢圓上頂點B2為圓心，OA2為半徑作圓，與x軸的交點即為橢圓的焦點.如圖6.

教學(xué)說明：先組織學(xué)生觀察兩個特殊橢圓的區(qū)別與聯(lián)系，聯(lián)想到橢圓的扁平程度與基本量a，b有關(guān)，接著自主設(shè)計并進行GeoGebra實驗，得出結(jié)論.通過在例1中找出橢圓焦點，推導(dǎo)出[SX（]c[]a[SX）]與橢圓扁平程度的關(guān)系，引出離心率的概念.最后通過例2，發(fā)現(xiàn)學(xué)生均利用[SX（]b[]a[SX）]來比較橢圓的扁平程度.因此對于學(xué)生來講，[SX（]b[]a[SX）]比e刻畫橢圓扁平程度效果更好，這需要教師做好引導(dǎo)工作，幫助學(xué)生找出橢圓形狀與基本量間的聯(lián)系.

3 雙曲線的“離心率與漸近線”教學(xué)

類比橢圓，如何確定雙曲線[SX（]x2[]a2[SX）]-[SX（]y2[]b2[SX）]=1（a＞0，b＞0）幾何性質(zhì)的研究內(nèi)容？

生：研究雙曲線的范圍、頂點、對稱性和離心率.（此處，學(xué)生易得雙曲線相關(guān)性質(zhì)，并證明.）

對于雙曲線的頂點，若令x=0，則y2=－b2，方程無實數(shù)解，即雙曲線與y軸沒有交點，但仍將B1（0，－b），B2（0，b）畫在坐標(biāo)系中，類比橢圓得到一個相切矩形，雙曲線落在矩形外的左右兩側(cè)（如圖7）.

思考5：類比橢圓，雙曲線的離心率e與[SX（]b[]a[SX）]有何關(guān)系？

思考6：如何設(shè)計GeoGebra實驗，觀察e與[SX（]b[]a[SX）]能否刻畫雙曲線的形狀？如果能，又如何刻畫？

生：保持a=1不變，控制b的大小，隨著b的增大，離心率e也隨之增大，如圖8.觀察雙曲線的形狀特征及變化.

教學(xué)說明：在類比橢圓進行雙曲線幾何性質(zhì)的研究時，學(xué)生自然想到了對雙曲線的范圍、頂點、對稱性和離心率.為了讓學(xué)生更好地觀察雙曲線“漸近線”的特征，筆者仍以類比的方法，引入相切矩形，使學(xué)生自然觀察到“漸近線”，理解橢圓與雙曲線之間的“共性”與“個性”.

4 教學(xué)反思

4.1 立足經(jīng)驗生長

愛因斯坦曾說“把在學(xué)校所學(xué)到的東西全忘光，所剩下來的東西便是教育”，而經(jīng)驗或許便是那“所剩下來的東西”.在學(xué)習(xí)過程中，不斷產(chǎn)生新的經(jīng)驗，并且先前的經(jīng)驗不斷被檢驗和更新，學(xué)生的基本活動經(jīng)驗從而得到生長.因此，在“離心率和漸近線”的教學(xué)中，為了讓學(xué)生更好地進行類比學(xué)習(xí)，筆者先在橢圓的教學(xué)中尊重學(xué)生的知識生成.例如，用[SX（]b[]a[SX）]刻畫橢圓的扁平程度；后在雙曲線的教學(xué)中尊重學(xué)生的經(jīng)驗檢驗和更新，并適當(dāng)加以引導(dǎo)，以辨析圓錐曲線間的“共性”與“個性”，促進學(xué)生經(jīng)驗的自然生長.

4.2 輔以技術(shù)支持

“工欲善其事，必先利其器”，在探究活動中合理使用GeoGebra進行動態(tài)實驗，不僅可以使原本枯燥乏味的數(shù)學(xué)知識變得更加生動形象，更能促進學(xué)生養(yǎng)成動手操作、觀察猜想、歸納驗證、辨析修正的學(xué)習(xí)習(xí)慣.因此，筆者在探究圓錐曲線的幾何性質(zhì)中通過GeoGebra的動態(tài)實驗，將原本枯燥單調(diào)的圓錐曲線變得活潑生動且富有表達力，拉進了學(xué)生與解析幾何的距離.同時，筆者也注重學(xué)生的主體地位和技術(shù)的輔助角色，讓學(xué)生自主設(shè)計動態(tài)實驗，使GeoGebra成為學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識的有力工具，從而更好地理解圓錐曲線的幾何性質(zhì)，深入本質(zhì)，促進數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展，以便更好地面對時代競爭.