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基于分類(lèi)討論思想的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究

2024-05-15 16:08:46常松
數(shù)理天地(高中版) 2024年9期
關(guān)鍵詞:分類(lèi)討論解題教學(xué)高中數(shù)學(xué)

常松

【摘要】解題教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大組成部分,不僅是鍛煉學(xué)生思維、促進(jìn)學(xué)生邏輯能力提高的有效舉措,也是高中數(shù)學(xué)開(kāi)展的應(yīng)然目的之一.分類(lèi)討論思想作為一種事項(xiàng)劃分的解題思路,在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用具有簡(jiǎn)化問(wèn)題的價(jià)值.本文首先明確高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)與原則,進(jìn)而提出分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用,旨在為提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)質(zhì)量提供助力.

【關(guān)鍵詞】分類(lèi)討論;高中數(shù)學(xué);解題教學(xué)

1? 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)分類(lèi)討論的原則

其一,不遺漏原則.經(jīng)分類(lèi)討論所得的所有的外延總和,應(yīng)與被分類(lèi)的概念外延相一致.

其二,不重復(fù)原則.經(jīng)分類(lèi)討論所得的問(wèn)題各事項(xiàng)不能一致,應(yīng)互相排斥.

其三,統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)原則.經(jīng)分類(lèi)討論所得的集合分類(lèi)或概念應(yīng)具有多層次性.因此問(wèn)題事項(xiàng)分類(lèi)可以分別進(jìn)行,但每一次劃分必須要遵循統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn).從數(shù)學(xué)語(yǔ)言角度出發(fā)進(jìn)行表示:若全域?yàn)榧螦,則分類(lèi)成子集Ai1≤i≤n,則Ai應(yīng)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:(1)A1∪A2∪A3∪…∪An=A;(2)Ai∪Aj=,i≠j,1≤i≤n,1≤j≤n.

即將分類(lèi)討論對(duì)象劃分為若干類(lèi)別,其并集為全集,兩兩的交集為空集.

2? 分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

2.1? 幾何解題中的分類(lèi)討論思想

例1? 如圖1所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O,且∠AOB>∠AOC,求證:OB

圖1

證明? 設(shè)∠AOB=a1,∠AOC=a2,

∠ABO=β,∠ACO=γ.

則由正弦定理得:

ABsina1=AOsinβ,ACsina2=AOsinγ.

因?yàn)锳B=AC,

所以sina1sinβ=sina2sinγ.

又因?yàn)椤螦OB>∠AOC,

即a1>a2,且a1+a2>180°,

得90°

在此區(qū)間sina2是非單調(diào)函數(shù),因此展開(kāi)分類(lèi)討論.

①當(dāng)a2≥90°時(shí),

因?yàn)閍1≥90°,且a1>a2,

則sina1

所以sinβ

則γ>β.

②當(dāng)a2<90°時(shí),

因?yàn)閍1>90°,

則180°-a1<90°,

又a1+a2>180°,

得a2>180°-a1,

則sina1=sin180°-a1

所以sinββ.

綜上,∠ABC=∠ACB,∠OBC=∠OCB,

所以O(shè)B

2.2? 由數(shù)學(xué)概念來(lái)明確分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)

按照數(shù)學(xué)基本概念與定義對(duì)問(wèn)題事項(xiàng)進(jìn)行邏輯劃分,在解決問(wèn)題時(shí)循序漸進(jìn)進(jìn)行分類(lèi)討論.比如,分段函數(shù)概念,絕對(duì)值的定義:

a=aa>00a=0-aa<0.

例2? 函數(shù)fx=2x-1-2lnx的最小值為[3].

解? 由題意知函數(shù)fx的定義域?yàn)椋?,+∞),所以

當(dāng)0

當(dāng)x>12時(shí),fx=2x-1-2lnx,

由f′x=2-2x,

得12

x>1時(shí),f′x>0,此時(shí)fx單調(diào)遞增,又函數(shù)fx的圖象不間斷.

綜上,fx在0,1上單調(diào)遞減;在1,+∞上單調(diào)遞增,因此fx>f1=1,所以所求函數(shù)最小值為1.

2.3? 根據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算的需要確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)

如偶次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù),在整體求解時(shí)需要考慮到不等式兩邊同乘實(shí)數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響,尋找解題規(guī)律.

例3? 正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,an+12=4Sn,

記bn=Sn·sinnπ2+Sn+1·sinn+1π2,若數(shù)列bn前n項(xiàng)和為T(mén)n,則T100的值為(? )

(A)-400.? (B)-200.? (C)200.? (D)400.

解? 解得an=2n-1,Sn=n2,

那么bn=n2·sinnπ2+n+12sinn+1π2,

(1)當(dāng)n=4k,k∈N時(shí),

b4k=S4k·sin2kπ+S4k+1·sin(4k+1)π2=4k+12;

(2)當(dāng)n=4k-1,k∈N時(shí),

b4k-1=S4k-1·sin(4k-1)π2+S4k·sin4kπ2=-4k-12;

(3)當(dāng)n=4k-2,k∈N時(shí),

b4k-2=S4k-2·sin4k-22π+S4k-1·sin(4k-1)π2=-4k-12;

(4)當(dāng)n=4k-3,k∈N時(shí),

b4k-3=S4k-3·sin4(k-3)π2+S4k-2·sin(4k-2)π2=4k-32.

則b4k+b4k-1+b4k-2+b4k-3=4k+12-24k-12+4k-32=8,

所以T100=b1+b2+b3+b4+…+(b97+b98+b99+b100)=25×8=200,

故選(C)[4].

解題評(píng)注由sinnπ2,n∈N周期性取值,將問(wèn)題劃分為四類(lèi)并進(jìn)行分別求解,得出問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律后解決問(wèn)題.

2.4? 不等式中的分類(lèi)討論思想

例4? 設(shè)k∈N,求滿(mǎn)足不等式m+n

解? 學(xué)生在解題時(shí)幾乎無(wú)法對(duì)答案進(jìn)行最直接求解.為了解決這一問(wèn)題,就需要將k視為參數(shù),并將與k相關(guān)的整數(shù)解的組數(shù),設(shè)為gk.從特殊情況著手并得出其中的解題規(guī)律,提出猜想后求證.

當(dāng)k=1時(shí),

則有解0,0,即g1=1;

當(dāng)k=2時(shí),

則有解0,0,0,±1,±1,0,

即g2=1+4=5;

當(dāng)k=3時(shí),

則有解0,0,0,±1,0,±2,±1,0,±1,±1,±2,0,

即g3=1+4+4×2=13;

當(dāng)k=4時(shí),則有解0,0,0,±1,0,±2,0,±3,±1,0,±1,±1,±2,0,±3,0,±1,±2,±2,±1,

即g4=1+4+4×2+4×3=25.

猜想? gk=1+4×1+4×2+…+4k-1=1+2kk-1.

由此可得遞推式gk=gk-1+4k-1.

參考文獻(xiàn):

[1]程斌斌.找準(zhǔn)目標(biāo)切入,問(wèn)題巧妙突破——分類(lèi)討論思想的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友,2023,37(08):71-73.

[2]高利軍.分類(lèi)討論思想解初中數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同情形應(yīng)用分析[J].數(shù)理天地(初中版),2023(15):6-7.

[3]鄔吉利.注重?cái)?shù)學(xué)思想 提升核心素養(yǎng)——以“中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)課之分類(lèi)討論思想”教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2022(35):12-13+18.

[4]董文峰.分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用——以二次函數(shù)中的圖形存在性問(wèn)題為例[J].數(shù)學(xué)之友,2023,37(05):28-30+34.

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