畢學(xué)慧 劉華明 王秀友 范國婷 李懷敏

摘要：在傳統(tǒng)的概率統(tǒng)計教學(xué)中，受多種因素的影響，一般只注重專業(yè)理論知識的傳授，往往忽視了思政元素的融入以及動手能力、創(chuàng)新能力等多種能力的提高。以概率統(tǒng)計中兩個重要的公式——全概率公式和貝葉斯公式為例，探討了如何在概率統(tǒng)計中充分挖掘思政元素并合理開展實(shí)驗(yàn)教學(xué)，以實(shí)現(xiàn)專業(yè)知識傳授與思政教育的同向同行，理論知識傳授與實(shí)踐教育的相輔相成，真正地開展立德樹人工作，培育出符合社會需求的高素質(zhì)人才。

關(guān)鍵詞：全概率公式；貝葉斯公式；課程思政；實(shí)驗(yàn)教學(xué)

中圖分類號：O211? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2024）07-0127-04

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）

0 引言

世界正在發(fā)生著巨大的變化，教育也必須進(jìn)行大變革。課程思政在高校人才培養(yǎng)中起著關(guān)鍵作用，因此，在高校教育改革中，應(yīng)在提出專業(yè)教學(xué)目標(biāo)的同時，明確提出德育教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)到的知識和技能轉(zhuǎn)化為內(nèi)在德性和素養(yǎng)，潛移默化地為培養(yǎng)學(xué)生具有良好品行、良好素養(yǎng)而服務(wù)[1]。隨著大數(shù)據(jù)時代的來臨，當(dāng)代大學(xué)生僅僅掌握課本理論知識，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足社會需求，社會更需要應(yīng)用、創(chuàng)新等能力較強(qiáng)的高素質(zhì)人才，在數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)教學(xué)的引入勢在必行。

在傳統(tǒng)的概率統(tǒng)計教學(xué)中，主要以傳授理論知識為主，較少涉及價值引領(lǐng)、立德樹人和應(yīng)用創(chuàng)新能力培養(yǎng)等問題。如何在專業(yè)知識的海洋中挖掘到豐富的文化內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)專業(yè)知識傳授與思政教育同向同行，理論教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)交叉融合，是當(dāng)前迫切需要研究并解決的問題。全概率公式和貝葉斯公式是概率統(tǒng)計課程中非常重要的公式，兩者聯(lián)系密切，本文以它們?yōu)槔?，主要探討如何進(jìn)行“思政+實(shí)驗(yàn)”教學(xué)，為社會培養(yǎng)具有正確三觀的高素質(zhì)人才。

1 全概率公式教學(xué)

全概率公式是條件概率的延伸和拓展，是計算復(fù)雜事件發(fā)生概率的一種有效方法，在經(jīng)濟(jì)、保險、生物、醫(yī)療等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

全概率公式[2]設(shè)試驗(yàn)[E]的樣本空間為[S]，[A]為[E]的事件，[B1，B2，...，Bn]為[S]的一個劃分，且[P（Bi）>0]（[i=1，2，...，n]） ，則：

[P（A）=P（AB1）P（B1）+P（AB2）P（B2）+...+P（ABn）P（Bn）]

1.1 基本思想——化整為零，逐個擊破

全概率公式的主要用途是求復(fù)雜事件發(fā)生的概率，基本思想是將復(fù)雜事件[A]化為一個個簡單的事件，如圖1所示。因?yàn)檫@些小事件兩兩互斥，所以[A]發(fā)生的概率等于這些小事件發(fā)生的概率之和，這樣就將一個復(fù)雜事件的概率計算問題轉(zhuǎn)化為一些簡單事件的概率計算問題。

啟示1：在日常生活和學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會面臨很多難題，當(dāng)大家遇到困難時不要害怕和退縮，要勇于面對問題，學(xué)會將難題轉(zhuǎn)化為一個一個小問題，再逐個擊破，最終問題就會迎刃而解。

1.2 整體論——全面分析，拒絕片面

在全概率公式中，可以將[B1，B2，...，Bn]理解為導(dǎo)致[A]產(chǎn)生的一系列原因，再對構(gòu)成整體的這些原因一一查找，全面考查，最后利用概率的有限可加性即可求出概率。用概率樹圖展示這種關(guān)系，如圖2所示。

啟示2：在實(shí)際中，要學(xué)會從全局分析問題，不要將問題片面化，才能將問題看透徹，很好地解決問題。

1.3 解決專業(yè)問題——理論和實(shí)踐相結(jié)合

學(xué)數(shù)學(xué)的目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決專業(yè)和實(shí)際中的一些問題。就全概率公式而言，醫(yī)學(xué)院的學(xué)生應(yīng)該熟悉該公式在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用；商學(xué)院的學(xué)生應(yīng)該了解并討論該公式在保險、生產(chǎn)生活中責(zé)任分擔(dān)、股票交易等方面的應(yīng)用；計算機(jī)學(xué)院的學(xué)生應(yīng)該討論基于全概率公式的網(wǎng)絡(luò)性能分析和在人臉識別中的應(yīng)用[3]。表1是有關(guān)某種疾病的一些數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)學(xué)軟件，分析全概率公式在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用。

借助數(shù)學(xué)軟件Matlab或Excel可以求出各國感染率。下面以學(xué)生熟悉的Excel軟件，自己編輯公式進(jìn)行求出感染率（先將光標(biāo)定位到D2單元格，輸入“=B2/C2”，再按回車鍵即可求出0.000728，其他感染率的數(shù)據(jù)可以通過拖拽的方式得到，無須一一輸入公式去求，方便簡潔），結(jié)果如圖3所示。

再用圖形展示，如圖4所示，在視覺上有更清晰的了解（選擇A列和D列，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖表）。

以上面的數(shù)據(jù)為依據(jù)，引入全概率公式的相關(guān)例題。

例1[4]一架飛機(jī)上共有200位乘客，來自A、B、C、D、E、F國家的乘客數(shù)量分別為20人，40人，30人，50人，10人和50人。從這架飛機(jī)上隨機(jī)地選取1位乘客，問其患這種疾病的可能性是多大？

解：設(shè)[A]：這位乘客患病，[Bi]：這位乘客來自第[i]個國家，[i=1，2，3，4，5，6]，其中第[1，2，3，4，5，6]個國家分別指[A，B，C，D，E，F(xiàn)] 6國。則：

[P（A）=P（AB1）P（B1）+P（AB2）P（B2）+P（AB3）P（B3）+P（AB4）P（B4）]

[+P（AB5）P（B5）+P（AB6）P（B6）]

[=0.000728×20200+0.000848×40200+0.001882×30200+0.000827×50200]

[+0.001124×10200+0.001175×50200]

[=0.001081]

這里，仍可借助Excel進(jìn)行計算，快速準(zhǔn)確。計算過程如圖5所示。

以上是借助Excel解決的生物學(xué)中的一個問題。數(shù)學(xué)軟件的引入，大大減少了工作量，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生解決問題的效率明顯提升。

啟示3：在學(xué)生了解了所學(xué)知識點(diǎn)在本專業(yè)的應(yīng)用的基礎(chǔ)上，將理論和實(shí)踐結(jié)合起來，學(xué)有所用，會加深對所學(xué)知識的印象，增強(qiáng)專業(yè)認(rèn)同感，進(jìn)一步增加學(xué)習(xí)興趣。

2 貝葉斯公式教學(xué)

貝葉斯公式是由果溯因，解決推斷問題的一種有效方法，在數(shù)學(xué)、工程、金融、醫(yī)療等領(lǐng)域的應(yīng)用意義很強(qiáng)。

貝葉斯公式[2]設(shè)試驗(yàn)[E]的樣本空間為[S]，[A]為[E]的事件，[B1，B2，...，Bn]為[S]的一個劃分，且[P（A）>0]，[P（Bi）>0]（[i=1，2，...，n]） ，則：

[P（Bi|A）=P（A|Bi）P（Bi）j=1nP（A|Bj）P（Bj），i=1，2，...，n]

2.1 生平事跡——追求真理，持之以恒

貝葉斯是英國的一位神學(xué)家、數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，他提出的一整套貝葉斯理論在很長一段時間內(nèi)都未被接受[5]。我國著名數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家陳希儒教授曾這樣評價過：“雖然這個產(chǎn)生于 18 世紀(jì)的統(tǒng)計學(xué)學(xué)派在19 世紀(jì)上半葉備受爭議和冷落，但在20世紀(jì)，它卻占據(jù)了數(shù)理統(tǒng)計學(xué)這塊領(lǐng)地的半壁江山，撐起了統(tǒng)計學(xué)的半邊天?！盵6]

啟示4：通過貝葉斯的事跡可以看出，追求真理的過程往往是一個漫長的過程，只有持之以恒，才能勇攀高峰。

2.2 寓言——引出公式，強(qiáng)調(diào)誠信

在教學(xué)過程中，教師可以通過伊索寓言中“狼來了”的故事先引起學(xué)生的興趣，再介紹貝葉斯公式內(nèi)容，最后運(yùn)用貝葉斯公式解釋“為什么最后沒有村民相信孩子的話”。

例2[7]? ?在“狼來了”的故事中，設(shè)[A]：孩子說謊，[B]：孩子可信。孩子說謊前，[P（B）=0.8]，[P（A|B）=0.1]，[P（A|B）=0.5]，求說謊一次后，孩子的可信度[P（B|A）]。

[解： P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.8×0.10.8×0.1+0.2×0.5=0.444]

如果孩子說謊兩次后，信任程度又變?yōu)槎嗌倌兀?/p>

這時可以繼續(xù)運(yùn)用貝葉斯公式進(jìn)行計算，這里[P（B）=0.444，P（B）=0.556]。

[P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.444×0.10.444×0.1+0.556×0.5=0.138]

可見，信任程度已由0.444降為0.138了。

此時，可能還有少數(shù)善良的村民選擇繼續(xù)相信孩子。那么，孩子說謊三次后，信任程度又變?yōu)槎嗌倌?？此時[P（B）=0.138，P（B）=0.862]

[P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.138×0.10.138×0.1+0.862×0.5=0.031]

利用Matlab軟件，可以求出說謊n次后可信程度[P（B|A）]的值。Matlab代碼如下：

PB= 0.8 ;? % P（B）：

P_A_B = 0.1; % P（A|B） = 0.1

P_A_B1 = 0.5; % P（A|B^） = 0.5

i = 1;

A= zeros（10）;

while i<=10

P_B_A =（ PB* P_A_B）/（ PB* P_A_B + （1-PB）* P_A_B1）; % 求P（B|A）

PB= P_B_A;? ? %? P（B） = P（B|A）

disp（P_B_A）;? % 輸出P（B|A）的值

A（i）= P_B_A ;? ? % P（B|A）保存在數(shù)組中

i=i+1;

end

n = 1：1：10;

figure;plot（A）; % 畫圖

xlabel（'n'）;

ylabel（'P（B|A）'）;

利用Matlab軟件，求出說謊次數(shù)[n]后可信程度[P（B|A）]的值如表2所示。

利用Matlab中的plot函數(shù)，繪制出[n]和[P（B|A）]的關(guān)系圖，如圖6所示。

表3和圖6給出了[n=1，…，10]的孩子的可信程度，從中可以看出，隨著說謊次數(shù)的增多，孩子的可信程度下降很快。

啟示5：誠信是人必備的基本品質(zhì)之一，是社會主義核心價值觀的重要體現(xiàn)。大學(xué)生作為祖國未來的建設(shè)者和接班人，已接受多年教育，在誠信方面更應(yīng)走在前列，為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國夢而努力。

2.3 傳承哲學(xué)思想——培養(yǎng)學(xué)生哲學(xué)辯證思維能力

貝葉斯公式是運(yùn)用先驗(yàn)知識并結(jié)合樣本知識獲得后驗(yàn)概率的過程，反映了從認(rèn)識到實(shí)踐，再從實(shí)踐到認(rèn)識的過程，即不斷用新獲得的數(shù)據(jù)資料來調(diào)整原有的知識和看法[8]。

啟示6：在實(shí)際中，要學(xué)會用辯證的思維方法認(rèn)識事物發(fā)展規(guī)律，勇于創(chuàng)新，不斷地修正自己的看法并解決實(shí)踐中遇到的問題。

2.4 自我審視——理性分析，查缺補(bǔ)漏

概率統(tǒng)計這門課程一般開設(shè)在大二上學(xué)期，此時的大學(xué)生基本上已成年，除學(xué)習(xí)外，對戀愛也越來越向往，如何樹立正確的戀愛觀？畢業(yè)班學(xué)生如何挑選到自己滿意的工作？生活中被很多人誤解，又如何處理？這些問題都可以借助貝葉斯公式去理性分析，分析過程即是一個自我審視的過程，通過分析可以發(fā)現(xiàn)自己的不足，進(jìn)而逐步提升自己[9]。

3 兩個公式間的聯(lián)系及共同展現(xiàn)的思政元素

3.1 公式間的聯(lián)系

全概率公式和貝葉斯公式是條件概率的兩個基本公式，簡單來說，全概率公式是由因索果，貝葉斯公式是由果索因，兩者之間的聯(lián)系如圖7所示[10]。

通過仔細(xì)觀察并分析得到，貝葉斯公式求得的后驗(yàn)概率是利用先驗(yàn)概率、條件概率和全概率公式得到的，具體如圖8所示。

3.2 次品率問題——科學(xué)分析數(shù)據(jù)，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)

例3[3]某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家原件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：

設(shè)這些產(chǎn)品均勻混合。1） 設(shè)[A]：任取的一只元件是次品，求[P（A）]；2） 在倉庫中任取一只元件，發(fā)現(xiàn)是次品，分析該次品來自何廠的可能性最大。

分析：1） 三個元件制造廠中的每個廠都可能生產(chǎn)次品，這是原因；在倉庫中任取一只元件，是次品，出現(xiàn)了結(jié)果。先因后果，用全概率公式求解。

2） 在倉庫中任取一只元件，發(fā)現(xiàn)是次品，已知出現(xiàn)了結(jié)果；現(xiàn)要追查，考查來自何廠的可能性最大，這是要尋找原因。由結(jié)果尋找原因，用貝葉斯公式求解。有的學(xué)生覺得3廠的次品率最高，所以來自3廠的可能性最大；有的學(xué)生覺得2廠所占的份額最大，所以來自2廠的可能性最大。那么，到底來自哪個廠的可能性最大呢？

解：[B1，B2，B3]表示所取到的產(chǎn)品分別是由第1，2，3家提供的。由題意知：[P（B1）=0.15，P（B2）=0.80，P（B3）=0.05]，[P（A|B1）=0.02，P（A|B2）=0.01，P（A|B3）=0.03]

1） 由全概率公式，[P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.0125]

2） 由貝葉斯公式，[P（B1|A）=P（A|B1）P（B1）P（A）=0.02×0.150.0125=0.24]，同理? [P（B2|A）=0.64]，[P（B3|A）=0.12]，所以，抽到的這只次品來自2廠的可能性最大。

啟示7：次品率問題是全概率公式和貝葉斯公式中的典型例題，通過該例題的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生更清楚地了解這兩個公式的內(nèi)涵，同時要科學(xué)地分析數(shù)據(jù)，正確得出結(jié)論，不能想當(dāng)然。

4 結(jié)束語

在全概率公式的教學(xué)中，先介紹公式內(nèi)容，再通過圖形解釋公式的基本思想和內(nèi)涵，最后通過討論公式在解決專業(yè)問題方面的運(yùn)用，增強(qiáng)了學(xué)生的專業(yè)認(rèn)同感，幫助學(xué)生樹立了正確的價值觀。在講授貝葉斯公式的過程中，先介紹貝葉斯的生平事跡，告訴學(xué)生學(xué)習(xí)貴在堅持；再通過伊索寓言“狼來了”的故事引入貝葉斯公式，同時強(qiáng)調(diào)了誠信的重要性；進(jìn)一步讓學(xué)生感受到要用辯證思維認(rèn)識事物，并學(xué)會用貝葉斯公式理性分析，查缺補(bǔ)漏，解決學(xué)習(xí)、就業(yè)和生活中的問題。最后，分析并通過圖形展現(xiàn)了全概率公式和貝葉斯公式的聯(lián)系，給學(xué)生一個直觀形象的認(rèn)識，并通過典型的“次品率問題”告訴學(xué)生要科學(xué)地分析數(shù)據(jù)，得到正確結(jié)論。另外，選取了“狼來了”這個案例，展示了數(shù)學(xué)軟件可以快速、精準(zhǔn)地求解概率，通過圖形直觀形象地展示信息，讓學(xué)生切身感受信息技術(shù)所帶來的便捷性。

在寶貴的課堂中，教師一定要在傳授理論學(xué)科知識的同時，無聲地融入思政元素，并輔以實(shí)驗(yàn)教學(xué)，讓學(xué)生不僅能提高思想認(rèn)識，而且能提升自身的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，把學(xué)生培養(yǎng)成社會需要的高素質(zhì)人才。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳宏鍔，梁瑛，郭學(xué)軍.由一堂正態(tài)分布課展現(xiàn)的課程思政[J].南陽理工學(xué)院學(xué)報，2021，13（3）：95-97，111.

[2] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].4版.北京：高等教育出版社，2008.

[3] 李萍，鐘守銘，李沛瑜，等.以“金課”建設(shè)為導(dǎo)向的混合式教學(xué)探索——以概率論與數(shù)理統(tǒng)計為例[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2022，41（1）：85-89.

[4] 章美月.基于Mathematica的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程教學(xué)改革探索與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2020，36（5）：49-56.

[5] 鄧小華，許宇翔，羅曉萍.新時代高校數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)改革實(shí)踐探析[J].遵義師范學(xué)院學(xué)報，2022，24（2）：122-126，131.

[6] 陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)簡史[M].長沙：湖南教育出版社，2002.

[7] 封希媛.Bayes公式在實(shí)踐教學(xué)中的應(yīng)用[J].青海師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2017，33（2）：39-41.

[8] 陳耀庚，孫博文，王娜，等.以貝葉斯公式為案例的醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)課程思政教學(xué)設(shè)計[J].醫(yī)學(xué)教育研究與實(shí)踐，2021，29（5）：781-784.

[9] 李廣玉，田研.“課程思政”理念指導(dǎo)下的貝葉斯公式教學(xué)[J].惠州學(xué)院學(xué)報，2020，40（6）：126-128.

[10] 陳中明.全概率公式與貝葉斯公式的啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計淺談[J].教育教學(xué)論壇，2019（25）：202-203.

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