張國龍

【摘要】本文主要探討如何利用一元二次方程解決與增長率有關(guān)的問題．通過建立合適的數(shù)學(xué)模型，就可以將增長率問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的形式，然后利用求解方程的方法得到問題的答案．本文通過具體的案例分析，展示這種方法的實用性和有效性．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；一元二次方程；增長率

增長率問題在實際生活中經(jīng)常出現(xiàn)，如經(jīng)濟增長、人口增長、市場份額變化等．解決這些問題通常需要找到一種簡單而有效的方法．一元二次方程作為一種基本的數(shù)學(xué)工具，在解決增長率問題時具有獨特的優(yōu)勢．

1 建立與增長率有關(guān)的二次函數(shù)

例1 印刷廠10月份印刷一暢銷小說書5萬冊，因購買此書人數(shù)激增，印刷廠需加印，若設(shè)印書量每月的增長率為x，12月印書量y萬冊，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式____．

解析 根據(jù)10月份印刷小說書5萬冊，每月的增長率為x，則11月份印刷小說書51+x萬冊，12月份印刷小說書51+x2萬冊，根據(jù)題意，得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=51+x2．

評析 建立與增長率有關(guān)的二次函數(shù)是用一元二次方程解決增長率問題的基礎(chǔ)，當(dāng)函數(shù)因變量確定時，可以解出自變量的值，從而達(dá)到解決問題的效果．

2 用一元二次方程和增長率預(yù)測未來數(shù)據(jù)

例2 2022年第一季度某省GDP總值約為10000億元，第三季度的GDP總值約為11025億元．

（1）假定第二季度、第三季度某省GDP總值的增長率相同，求這個增長率；

（2）若保持這樣的增長率不變，估計到2023年第一季度，某省的GDP總值能否突破12000億元？并說明理由．

解析 （1）設(shè)這個增長率為x，利用第三季度的GDP總值=第一季度的GDP總值×（1+第二、三季度某省GDP總值的增長率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之，然后取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．

設(shè)第二季度、第三季度某省GDP總值的增長率為x，

根據(jù)題意得10000×1+x2=11025，

解得x1=0.05=5%，x2=-2.05（不合題意，舍去），

可見，第二季度、第三季度某省GDP總值的增長率為5%．

（2）利用預(yù)計2023年第一季度某省的GDP總值=2022年第三季度某省的GDP總值×（1+每季度某省GDP總值的增長率）2，可求出預(yù)計2023年第一季度某省的GDP總值，再將其與12000億元比較后即可得出結(jié)論．

到2023年第一季度，某省的GDP總值能突破12000億元，

理由：2023年第一季度某省GDP總值為11025×1+5%2=12155.0625（億元）>12000（億元），

所以到2023年第一季度，某省的GDP總值能突破12000億元．

評析 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．通過本例題可以發(fā)現(xiàn)，巧用一元二次方程和增長率可起到預(yù)測未來數(shù)據(jù)的作用．

3 用一元二次方程和增長率規(guī)劃未來發(fā)展

例3 某市某酒店有A、B兩種房間，A種房間房價每天200元，B種房間房價每天300元，當(dāng)年2月，該酒店登記入住了120間，總營業(yè)收入28000元．

（1）求當(dāng)年2月該酒店A種房間入住了多少間？

（2）該酒店為提高房間入住量，增加營業(yè)收入，大力借助網(wǎng)絡(luò)平臺進行宣傳，同時將A種房間房價調(diào)低2a元，將B種房間房價下調(diào)a%，由此，當(dāng)年3月，該酒店吸引了大批游客入住，A、B兩種房間入住量都比2月增加了5/2a%，總營業(yè)收入在2月的基礎(chǔ)上增加了a%，求a的值．

解析 （1）設(shè)A、B兩種房間入住分別為x、y間，由題意可知：

x+y=120①200x+300y=28000②，

把①×200得200x+200y=24000③，

用②-③得：100y=4000，

解得y=40，

把y=40代入①中，解得x=80，

故A種房間有80間．

（2）由題意得：下調(diào)后A房間的房價=200-2a，

B房間的房價=3001-a%，

由題目已知條件和（1）中計算的結(jié)果知：

房價下調(diào)后A房間的入住量=801+5/2a%，

B房間的入住量=401+5/2a%，

故三月份的總收入

=80×1+5/2a%200-2a+40×

1+5/2a%×300×1-a%，

又因為三月份比二月份總營業(yè)收入增加了a%，

所以80×1+5/2a%200-2a+40×1+5/2a%×300×1-a%=28000×1+a%，

即1+5/2a%16000-160a+12000-120a=28000×1+a%，

1+5/2a%28000-280a

=28000×1+a%，

1+5/2a%100-a=100×1+a%，

100+5a/2-a-5/2a2%=100+a，

a/2-5/2a2%=0，

解得：a=20，a=0（舍去）.

評析 本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用問題，一元二次方程與增長率的問題，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)已知條件找到等量關(guān)系進行列式計算．不難發(fā)現(xiàn)，用一元二次方程和增長率可以對企業(yè)未來的發(fā)展做規(guī)劃．

4 結(jié)語

通過上述案例分析，可以看到利用一元二次方程解決與增長率有關(guān)的問題的實用性和有效性．這種方法不僅簡單易懂，而且適用于各種增長率問題．在實際應(yīng)用中，可以根據(jù)具體問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后通過求解一元二次方程得到增長率的值，進而解決與一元二次方程和增長率有關(guān)的其他問題．

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