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圖形直觀和代數(shù)表達(dá)

2024-05-23 10:24:25張娟萍
數(shù)理天地(初中版) 2024年9期
關(guān)鍵詞:有理數(shù)

張娟萍

【摘要】借助圖形準(zhǔn)確把握問題特征,用代數(shù)表達(dá)揭示數(shù)量關(guān)系.本文從“有理數(shù)”復(fù)習(xí)出發(fā),以數(shù)和形的兩個(gè)方面貫穿“有理數(shù)、平方根、整式乘法,坐標(biāo)系、多維空間、向量”等中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程,由一維到二維到多維,整合點(diǎn)線面體的思想,由數(shù)與字母、圖形與代數(shù)聯(lián)通,體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生而言是已有知識(shí)不斷擴(kuò)張、按一個(gè)邏輯方式生長(zhǎng)出來(lái)的.數(shù)學(xué)知識(shí)探究過(guò)程就是學(xué)生思維的拓展和創(chuàng)造的過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】圖形直觀;代數(shù)表達(dá);有理數(shù)

1 引言

從浙教版七年級(jí)上“有理數(shù)”復(fù)習(xí)出發(fā),以數(shù)和形兩個(gè)方面貫通知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展脈絡(luò),貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程,由有理數(shù)的概念、有理數(shù)的運(yùn)算、實(shí)數(shù)和代數(shù)式,進(jìn)一步作思維和方法的拓展到直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系以及向量等.

2 數(shù)的表達(dá)與圖形表現(xiàn)

問題1 有理數(shù)表達(dá)方式區(qū)別于小學(xué)常用的自然數(shù)表達(dá),有什么特征?

生 與小學(xué)的數(shù)比較,表達(dá)一個(gè)有理數(shù)有兩部分——符號(hào)和數(shù)值.

問題2 那么還有什么辦法表示數(shù)呢?不同的表示方法怎么統(tǒng)一呢?

學(xué)生發(fā)現(xiàn),數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示數(shù).數(shù)的表示中符號(hào)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上原點(diǎn)左右的方向,數(shù)的表示中數(shù)值部分對(duì)應(yīng)數(shù)軸上點(diǎn)的位置距離數(shù)軸原點(diǎn)的長(zhǎng)度,這樣就建立了有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

我們把數(shù)的概念和計(jì)算聯(lián)系到圖形的表示為:符號(hào)對(duì)應(yīng)方向,數(shù)值對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度.

3 有理數(shù)相關(guān)概念的圖形表現(xiàn)

問題3 有理數(shù)這一章提到了很多相關(guān)概念,能否用這兩種方法統(tǒng)一表示呢?

學(xué)生先獨(dú)立思考,再群組互動(dòng):有理數(shù)學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容包括有理數(shù)定義、相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)比較大小、有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算,進(jìn)一步到乘方、開方運(yùn)算. 學(xué)生互動(dòng)交流,并將所有的結(jié)論分類和細(xì)化,達(dá)成共識(shí).

4 有理數(shù)運(yùn)算的圖形表現(xiàn)

4.1 有理數(shù)加法的圖形表現(xiàn)

學(xué)生用數(shù)軸表示兩個(gè)有理數(shù)相加時(shí),以一個(gè)加數(shù)在數(shù)軸上的點(diǎn)為起點(diǎn),加另一個(gè)加數(shù),如果是負(fù)的,就向左方向移動(dòng)該加數(shù)數(shù)值所對(duì)應(yīng)的單位長(zhǎng)度,到數(shù)軸上所在點(diǎn)的位置,得到結(jié)果;如果另一個(gè)加數(shù)是正的,就向右方向移動(dòng)對(duì)應(yīng)的單位長(zhǎng)度,同樣得到結(jié)果.所以,加減運(yùn)算(減法轉(zhuǎn)化為加法)其實(shí)就是數(shù)軸上的線性運(yùn)算.

學(xué)生們研究得到加法運(yùn)算的圖形表現(xiàn),相當(dāng)于由一個(gè)點(diǎn)(被加數(shù))所在位置出發(fā),向左或右(加數(shù)的正或負(fù))移動(dòng)一段距離(加數(shù)的數(shù)值),得到的和就是所在點(diǎn)的位置.

4.2 有理數(shù)乘法的圖形表現(xiàn)

有理數(shù)乘法運(yùn)算,怎么樣用圖形的方式來(lái)體現(xiàn)呢?

生 兩數(shù)相乘時(shí)想到的圖形就是長(zhǎng)方形面積.

那么長(zhǎng)方形如何在數(shù)軸上體現(xiàn)出來(lái)呢?

學(xué)生交流 乘法得到圖形的面積相當(dāng)于加法得到數(shù)軸上的長(zhǎng)度,乘法得到的符號(hào)該如何體現(xiàn)呢?類比數(shù)軸的方向表示符號(hào)的辦法,在這個(gè)直角坐標(biāo)系中也得規(guī)定圖形所在區(qū)域的符號(hào),這就是直角坐標(biāo)系的象限符號(hào),如表1.

例如 -3×(-2)在直角坐標(biāo)系中表示:在橫軸上取-3;在縱軸上取-2,得到第三象限中面積為6的長(zhǎng)方形,第三象限取正,所以-3×(-2)的結(jié)果表示為+6,如表2.

4.3 有理數(shù)平方、開方的圖象表現(xiàn)

師 平方運(yùn)算怎么在坐標(biāo)系中用圖形體現(xiàn)呢?如,22,(-2)2;用直角坐標(biāo)系以圖形表現(xiàn)?

生 平方運(yùn)算,兩個(gè)數(shù)一樣,即符號(hào)和數(shù)值一樣的,圖形在一、三象限內(nèi)的正方形.

反過(guò)來(lái),說(shuō)明開方運(yùn)算,正方形其邊長(zhǎng)是相同的兩個(gè)值,對(duì)應(yīng)的數(shù)分別在橫軸與縱軸的正負(fù)半軸上,說(shuō)明了一個(gè)正數(shù)開方后有正負(fù)兩個(gè)平方根.

4.4 有理數(shù)乘方的圖形表現(xiàn)

師 有了前面的啟示(乘法轉(zhuǎn)化成圖形面積表示),大家能否用圖形表示立方呢?如,你能用圖形表示(2.7)3嗎?

生 用立方體,如何放到數(shù)軸上呢?

生 可以用三條數(shù)軸.用空間模型展示(三維坐標(biāo)).

為了研究空間圖形與數(shù)的關(guān)系,需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系,為此我們通過(guò)引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn).過(guò)定點(diǎn)O,作三條互相垂直的數(shù)軸,都以O(shè)為原點(diǎn)且具有相同的長(zhǎng)度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸),統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線,三條坐標(biāo)軸組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).

由學(xué)生在三維坐標(biāo)中表示-3×(-2)×2,并歸納一般方法.

4.5 有理數(shù)數(shù)形結(jié)合的思維拓展

師 有些同學(xué)肯定還會(huì)想4次冪、5次冪、更多次冪怎么辦?

生 可以建立多維空間坐標(biāo)系.

生 三個(gè)有理數(shù)相乘,想到立方體的體積,要建立三維坐標(biāo)系.同樣的思維,多個(gè)有理數(shù)相乘,可以抽象到多維的坐標(biāo)系表示.

師 在解決問題的過(guò)程中,可以大膽拓展和創(chuàng)設(shè),由點(diǎn)想到線想到面想到體,然后創(chuàng)設(shè)數(shù)軸—直角坐標(biāo)系—空間直角坐標(biāo)系—多維直角坐標(biāo)系,可以說(shuō)思路打開,創(chuàng)造力無(wú)限.你們還有什么新奇的想法?

生 圓弧形數(shù)軸,圓形時(shí)鐘的圓周有均勻刻度可以規(guī)定正方向、單位長(zhǎng)度、原點(diǎn),可以類比數(shù)軸.

5 整式乘法的圖形表現(xiàn)

5.1 圖形幾何意義

下面選擇浙教版七年級(jí)下第六章多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算的典型例子——兩數(shù)差的完全平方公式(b-a)2=b2-2ab+a2,用圖形來(lái)解釋等式的意義.

生 等式右邊表示邊長(zhǎng)為(b-a)的正方形面積,等式左邊表示總的面積為:邊長(zhǎng)為b的正方形面積+邊長(zhǎng)為a的正方形面積-2個(gè)長(zhǎng)為a寬為b的長(zhǎng)方形面積的總和.根據(jù)圖形整體等于局部之和,所以等式成立.

5.2 整式乘法的圖象表現(xiàn)

數(shù)的乘法可以在直角坐標(biāo)系中的圖形面積及象限符號(hào)表現(xiàn),同樣的方式可以在直角坐標(biāo)系內(nèi)表示式(字母表示數(shù))的乘法,如上例兩數(shù)差的完全平方公式.

生 如圖1中,(b-a)2在直角坐標(biāo)系所表示圖形為:邊長(zhǎng)為(b-a)的正方形,一邊(b-a)放在橫軸上,b是正的,取原點(diǎn)右側(cè)b的長(zhǎng)度單位,-a是負(fù)的,取原點(diǎn)左側(cè)a的長(zhǎng)度單位;另一邊(b-a)放在縱軸上,b是正的,取原點(diǎn)上側(cè)b的長(zhǎng)度單位,-a是負(fù)的,取原點(diǎn)下側(cè)a的長(zhǎng)度單位.b2-2ab+a2在直角坐標(biāo)系所表示圖形為:邊長(zhǎng)為b的正方形面積是b2的數(shù)值,由于在第一象限;邊長(zhǎng)為a,b長(zhǎng)方形的面積是ab的數(shù)值,由于這兩個(gè)長(zhǎng)方形分別在二、四象限,所以符號(hào)取負(fù),因此得到-2ab,邊長(zhǎng)為a的正方形面積是a2的數(shù)值,由于在第三象限,所以符號(hào)取正.兩者說(shuō)的是同一個(gè)圖,所以它們的值完全相同.

5.3 整式表達(dá)和圖象直觀的向量解釋

在初中數(shù)學(xué)教材中,學(xué)習(xí)整式乘法的時(shí)候要求表示它的幾何意義,就是用整體面積等于局部面積之和來(lái)驗(yàn)證乘法公式成立,代數(shù)表達(dá)僅體現(xiàn)在數(shù)值的角度.而在直角坐標(biāo)系內(nèi)表示整式乘法,是體現(xiàn)代數(shù)表達(dá)的時(shí)候數(shù)值與符號(hào)全體參與的過(guò)程.

如何找到二者恰當(dāng)?shù)慕忉屇??下面從向量[5]的角度作一些分析.向量是既有大小又有方向的量,它與數(shù)值和符號(hào)相對(duì)應(yīng),數(shù)與式的加法運(yùn)算相當(dāng)于平行向量(也叫做共線向量,是指方向相同或相反的非零向量)的和差,加法運(yùn)算,相當(dāng)于線性運(yùn)算.數(shù)與式的乘法運(yùn)算相當(dāng)于平行向量乘數(shù)運(yùn)算,實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的乘數(shù),記作λa.當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向和a的方向相同,當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向和a的方向相反,當(dāng)λ = 0時(shí),λa=0,這樣就實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何的融合.

6 結(jié)語(yǔ)

本課的明線是數(shù)形結(jié)合,把代數(shù)表達(dá)與圖形的直觀表現(xiàn),聯(lián)系起來(lái),由有理數(shù)復(fù)習(xí)出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生串起所有學(xué)過(guò)的知識(shí),由一維的數(shù)軸拓展到二維直角坐標(biāo)系、三維空間直角坐標(biāo)系.用幾何圖形來(lái)解構(gòu)有理數(shù)、整式乘法,沿途所產(chǎn)生的所有知識(shí)(包括平方根、坐標(biāo)系、乘法公式、多維空間)對(duì)學(xué)生而言不是完全新的東西,而是已有的東西的不斷擴(kuò)張,它整合了點(diǎn)線面體的思維、整合了數(shù)與字母的自然轉(zhuǎn)換,沖破了教材編排的順序和結(jié)構(gòu),讓知識(shí)按同一個(gè)思想連貫起來(lái).找到一個(gè)合適的邏輯,初一的有理數(shù)和乘法公式、初二和高中的直角坐標(biāo)系,甚至大學(xué)的多維空間,都是由已有知識(shí)擴(kuò)展起來(lái).本課暗線是學(xué)生思維的拓展和創(chuàng)造,體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方法.

參考文獻(xiàn):

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)(2022年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.5.

[2]義務(wù)教育教科書.數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊(cè)[M].杭州:浙江教育出版社,2012.

[3]義務(wù)教育教科書.數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊(cè)[M].杭州:浙江教育出版社,2012.

[4]義務(wù)教育教科書.數(shù)學(xué) 七年級(jí)下冊(cè)[M].杭州:浙江教育出版社,2012.

[5]普通高中教科書.高中數(shù)學(xué)(必修2)[M].北京:人民教育出版社,2017.

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